青岛银海学校九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；
②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；
③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①④
C ．①②③
D ．③④
2．已知抛物线()2
0y ax bx c a =++<过()30A -,
、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y <
C ．12y y =
D ．不能确定
3．将抛物线2y
x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则得到新抛物
线的解析式为（ ） A ．()2
12y x =-+ B ．()2
12y x =-- C ．()2
12y x =++
D ．()=+-2
y x 12
4．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程
20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．1t ≥-
B ．13t -≤<
C ．18t -≤<
D ．38t <<
5．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图为二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列
说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．函数()2
0y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．抛物线()2
512y x =--+的顶点坐标为（ ） A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()1,2-
D ．()2,1
9．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则
y 关于x 的函数表达式是（ ）
A ．7.9(12)y x =+
B ．27.9(1)y x =-
C ．27.9(1)y x =+
D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++
10．若关于x 的不等式组232
x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数2
1(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的
交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1或2个
11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）
A ．0b <
B ．0c >
C ．0a b c ++=
D ．240b ac -<
12．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 5
3
+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ） A ．6米
B ．8米
C ．10米
D ．12米
二、填空题
13．对于抛物线2
43y x
x =
-+，当7
12
x -<<
时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．
14．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则m 的取值范围是________． 15．将抛物线2y
x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐
标是__________．
16．小明从如图所示的二次函数()2
0y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：
①3
2
a b =
；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．
信息的有_______________．（请填序号）
17．已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；
②abc>0；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++>，其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）
18．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．
19．已知（-3，y 1），（-2，y 2），（1，y 3）是抛物线2312y x x m =++上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．
三、解答题
21．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.
（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．
（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．
（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．
（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．
24．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化满足1
810
y x =-+；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万元）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．
26．小强根据学习函数的经验，对函数24
(1)1
y x =
-+；图象与性质进行了探究，下面是
小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数24
(1)1
y x =
-+；的自变量x 的取值范围是______；
（2）如表是y 与x 的几组对应值． x
... 2- m
12
- 0 12
1
32
2
52
3 4
... y
...
25 45 163
2
165 4 165 2 1613 45
n
...
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数24
(1)1
y x =
-+的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数24
(1)1
y x =-+的一条性质：______．
（5）解决问题：如果方程2
4
21(1)1
a x =--+的实数根有2个，那么a 的取值范围是______．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后
根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
①由图示知，对称轴是直线x ＝
3122b
a
-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；
③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；
④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确． 综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．A
解析：A 【分析】
根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系． 【详解】
解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=
31
2
-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小， 即y 1＞y 2． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
3．C
解析：C 【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线2y
x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物
线：2(1)2y x =++． 故答案为：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答． 【详解】
解：对称轴为直线x=-21
b
⨯=1， 解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x 2-2x ， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标， ∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
5．D
解析：D 【分析】
先假设0c <，根据二次函数2
y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成
立；
再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数
2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．
【详解】
解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数
2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；
若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在
y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴b
x 02a =-
>，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a
=-<，则D 可能成立． 故选：D ．
本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．
6．C
解析：C 【分析】
由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】
解：∵抛物线的开口向下 ∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a
-
=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；
由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；
由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确； 故选C ． 【点睛】
本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
7．C
解析：C 【分析】
分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【详解】
解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；
②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
8．B
解析：B 【分析】
由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
9．C
解析：C 【分析】
根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】
解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）
2
．
故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
10．C
解析：C 【分析】
根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数2
1(3)4
y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数． 【详解】
解：∵关于x 的不等式组2
32x a x a ≥+⎧⎨<-⎩
有解，
∴3a-2＞a+2， 即a ＞2，
令y=0，2
1(3)4
x x a -
-+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-1
4
）=a-2， ∵a ＞2， ∴a-2＞0，
∴函数图象与x 轴的交点个数为2． 故选：C ． 【点睛】
解答此题要熟知以下概念：
（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解
不了．
（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．
11．C
解析：C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】
A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-
2b a
>0，所以b>0，故A 错误；
B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；
C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；
D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 12．C
解析：C
【分析】
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．
【详解】
解：当y =0时，即y 112=-
x 223+x 53
+=0， 解得：x =﹣2（舍去），x =10．
∴该生此次实心球训练的成绩为10米．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
二、填空题
13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小
解析：﹣1≤t ＜8
【分析】
结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次
函数 21=43y x x -+在712
x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712
x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<
相交， ∵()2
1=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1
当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712
x -<<
是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8
故答案为：﹣1≤t ＜8
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．＞【分析】二次函数开口向上当x 取任意实数时都有y ＞0则−4ac ＜0据此即可列不等式求解【详解】解：−4ac ＝1−4m ＜0解得：m ＞故答案为：＞【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数个数由−4ac 的符
解析：m ＞
14 【分析】
二次函数开口向上，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则2b −4ac ＜0，据此即可列不等式求解．
【详解】
解：2b −4ac ＝1−4m ＜0，
解得：m ＞14
． 故答案为：m ＞
14． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴交点个数，个数由2b −4ac 的符号确定，当△＝2b −4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝2b −4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝2b −4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
15．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-
解析：()2,1-
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．
故答案为：（-2，1）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下∴a ＜0∴对称轴∴故①正确；∵抛物 解析：①③④⑤
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∴对称轴123b x a =-
=-， ∴32
a b =，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴24b ac -＞0，故②错误；
∵对称轴123b x a =-
=-，a ＜0， ∴32
a b =＜0， ∴ab ＞0，故③正确；
当1x =时，y ＞0，即，y ＜0，
∴a b c ++＜0，故④正确；
当1x =-时，y ＞0，即，
a b c -+＞0，
∴222a b c -+＞0， ∵32
a b =， ∴322b b c -+＞0，
∴2b c +＞0，故⑤正确；
故答案是①③④⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．
17．①②【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理进而对所得结论进行判断即可【详解】解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的 解析：①②．
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】
解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2−4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a ＞0；抛物线的对称轴为x ＝2b a
-
＝1，b ＝−2a ，故b ＜0；抛物线交y 轴于负半轴，得：c ＜0；所以abc ＞0；故②正确； ③∵抛物线的对称轴为x ＝2b a
-
＝1，b ＝−2a ，∴2a ＋b ＝0，故③错误； ④根据②可将抛物线的解析式化为：y ＝ax 2−2ax ＋c （a≠0）； 由函数的图象知：当x ＝−2时，y ＞0；即4a−（−4a ）＋c ＝8a ＋c ＞0，故④错误； ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（−1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x ＝−1时，y ＜0，所以当x ＝3时，也有y ＜0，即9a ＋3b ＋c ＜0；故⑤错误； 所以正确的结论有：①②．
故答案为：①②．
【点睛】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，，掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠系
数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数的关系是解题的关键．
18．0＜a≤【分析】依照题意画出图形分0＜＜1及≥1两种情况考虑结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式）解之即可得出a 的取值范围综上即可得出结论【详解】当≥1时有解得：
解析：0＜a≤12 【分析】 依照题意画出图形，分0＜
12a ＜1及12a
≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a 的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a 的取值范围，综上即可得出结论．
【详解】
当12a ≥1时，有011a a a ⎧⎨--≥-⎩
＞， 解得：a ＞0，
∴0＜a≤12
； 当0＜12a ＜1时，有()224114a
a --≥--， 解得：a=
12 ∴0＜a≤12
． 综上所述：0＜a≤
12． 故答案为：0＜a≤12
．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜
12a ＜1及12a
≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键． 19．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征比较y1y2y3的大小比较后即可得出结论【详解】解：∵A(-3y1)B(-2y2)C (1y3)在二次函数y=3x+12x+m 的图象上∵y=3x+12x+m 的对
解析：312y y y >>
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征比较y 1、y 2、y 3的大小，比较后即可得出结论
【详解】
解：∵A (-3，y 1)、B (-2，y 2 )、C (1，y 3)在二次函数y= 3x 2+12x+m 的图象上，
∵y= 3x 2+12x+m 的对称轴x=b 2a
-=-2，开口向上， ∴当x=-3与x=-1关于x=-2对称，
∵A 在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，
C 在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵1>-1，
∴y 3＞y 1，，
∴y 3＞y 1＞y 2，
故答案为：y 3＞y 1＞y 2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y 1、y 2、y 3的大小是解题的关键．
20．2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到结果；
【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与
解析：【分析】
先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；
【详解】
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，
∴化二次函数解析式为顶点式为：()22
6y x h =--+， ∴令0y =，得()22
60x h --+=，
解得：1x h =+2x h =-，
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，
∴()A h +，()B h -
，
∴(AB h h =+--=
故答案是
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
21．（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【分析】
（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.
【详解】
（1）解：由题意得
y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.
∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得
w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.
∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.
∵a =-1000＜0
∴当x =28时，w 有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.
【点睛】
本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．
22．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）
【分析】
（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；
（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，
09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；
（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212
x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，
∴MC +MA 最小，
∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，
∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，
设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，
∵B （3，0），C （0，﹣3），
∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，
当x ＝1时，132y =-=-，
∴点M （1，﹣2），
∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．
23．（1）50010y x =-；（2）2104005000w x x =-++，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）75，5000．
【分析】
（1）根据每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件即可得；
（2）根据“毛利润=（每件的售价-每件的成本）⨯销售量”可得w 与x 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，先根据纯利润的计算公式求出Q 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
（1）由题意，每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件，
则50010y x =-；
（2）由题意得：(5040)(10)(50010)w x y x x =+-=+-，
整理得：2104005000w x x =-++，
将此二次函数的解析式化成顶点式为2
10(20)9000w x =--+，
由二次函数的性质可知，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，
则220%(50)1040050000.2(50)(50010)Q w x y x x x x =-+=-++-+-， 整理得：28400Q x x =-+，
即2
8(25)5000Q x =--+，
由二次函数的性质可知，当25x =时，Q 取得最大值，最大值为5000，
则此时该商品售价为50502575x +=+=（元），
故答案为：75，5000．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 24．（1）211020010
z x x =-
+-，当销售价格50元/个时，最大利润为50万元；（2）4060x ≤≤，40．
【分析】 （1）总净利润=单件利润×销售量-40，首先求出单件利润（x-20），然后乘以销售量y ，将解析式化为顶点式即可求解；
（2）令（1）中解析式的值为40，然后作出函数图像示意图，根据示意图即可求解x 的取值范围，然后结合销售量和销售价的关系即可判断x 的值．
【详解】
（1）根据题意得：()2040z x y =--
＝()12084010x x ⎛⎫--
+- ⎪⎝⎭ ＝211020010
x x -+- 将其化为顶点式：211020010x x -
+- ＝()2110020010x x -
-- ＝()2150250020010x ⎡⎤-
---⎣⎦ ＝()21505010
x --+ ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （2）当公司要求净得利润为40万元时，即()21x 50504010-
-+= 解得：x 1＝40，x 2＝60
如图，通过观察函数y ＝()21505010x -
-+的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60 而y 与x 的函数关系式为：1810
y x =-
+，y 随x 的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，在本类题型中，将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23
922S t t =-+；②最大值92，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；
（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由
PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；
②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．
【详解】
解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，
得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩
， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；
（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，
当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，
∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，
∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，
∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形 =
22111(233)(3)(23)33222
t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -
+(t ＞0)； ②由S=23922t t -
+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278
， ∵OB=3，OC=3，
∴
=
∵当t=32时，223t t -++=23315()23224
-+⨯+= ∴点P 到直线BC
2728⨯
=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．
26．（1）全体实数；（2）1-，
25；（3）答案见解析；（4）当1x =时，函数有最大值4等；（5）
1522
a <<． 【分析】
（1）根据分式有意义的条件即可解决；
（2）根据表格中的数据可知，此函数图象关于直线x ＝1对称，据此判定即可； （3）用平滑的曲线连接各点即可；
（4）观察函数图象，即可得到函数的一条性质；
（5）观察图象可得：当0＜y ＜4时，方程有两个实数根，即可求出a 的取值范围．
【详解】
（1）∵（x−1）2＋1≥1，
∴自变量x 的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）由表格中可以看出，函数关于x ＝1对称，
∴m ＝−1，n ＝25
； 故答案为：m ＝−1，n ＝
25； （3）如图所示：
（4）由函数图象可知：当x ＝1时，该函数由最大值，
故答案为：当x ＝1时，该函数由最大值；
（5）根据图象可得：0＜y≤4．
∵方程2421(1)1a x =--+的实数根有2个 即0＜21a -＜4，
解得：
1522
a <<． 【点睛】 本题考查了函数的性质、分式方程的解的综合应用，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论．。