涿鹿县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

22．已知函数 f（x）= x3+ax+2． （Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在 y 轴上的截距为定值； （Ⅱ）若 x≥0 时，不等式 xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
第 2017 届高三模拟二】已知函数 f x x 3 （1）试讨论 f x x 0 的单调性；
A.
）
3 4
B.
3 8
C.
1 4
） C．（ ， ）
D.
1 8
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 5． 在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 A．（0，0） 的点是（
B．（2，4）
D．（ ， ）
6． 如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为（ ，﹣ ），∠AOC=α，若|BC|=1，则 cos2 ﹣sin cos ﹣ 的值为（ ）
二、填空题
13．已知 a= （ cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣ ）6 展开式中的常数项是 ． 14．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ．
（m 3m 3) x 15．幂函数 f ( x)
2
m 2 2 m 1
在区间 0, 上是增函数，则 m
当且仅当 e1=
时取等号．即取得最大值且为
．
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故选 C． 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大 ． 11．【答案】 B 【解析】解：命题 p：取 x∈[1，+∞），log2x≥log3x，因此 p 是假命题． 命题 q：令 f（x）=x3﹣（1﹣x2），则 f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得 f （x0）=0，即∃x∈R，x3=1﹣x2．因此 q 是真命题． 可得￢p∧q 是真命题． 故选：B． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基 础题． 12．【答案】A 【解析】解：因为抛掷一枚骰子有 6 种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有 36 种可能 ， 而使 ⊥ 的 m，n 满足 m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有 3 种可能； 由古典概型公式可得 ⊥ 的概率是： 故选：A． 【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题． ；
18．已知 x，y 满足条件
三、解答题
19．已知函数 f（x）=4 （Ⅰ）当 x∈[0， sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3． ]时，求函数 f（x）的值域； ， =2+2cos（A+C），
（Ⅱ）若△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = 求 f（B）的值．
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21．已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆 C 上一点到两个焦点的距离之和为 4． （Ⅰ）椭圆 C 的标准方程． （Ⅱ）已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点，若 OP⊥OQ，求证： （Ⅲ）当 为定值．
为（Ⅱ）所求定值时，试探究 OP⊥OQ 是否成立？并说明理由．
x2+y2＜1 表示圆心在原点，半径为 1 的圆，在正方形 OABC 的内部的面积为 由几何概型的计算公式，可得点 P（x，y）满足 x2+y2＜1 的概率是 故选 C． = ；
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【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进 而由其公式计算． 10．【答案】 C 【解析】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，（a＞a1），半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2 ∵∠F1MF2= ， ，①
，则椭圆和双曲线的离
11．已知命题 p：∀x∈（0，+∞），log2x＜log3x．命题 q：∃x∈R，x3=1﹣x2．则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q ） A． B． C． D． B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 12．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 =（m，n） ，向量 =（1，﹣2） ，则 ⊥ 的概率是（
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所以所求概率为 故选：C
=
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概 念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题． 8． 【答案】 D 【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点 A 为椭圆 C1： ∴2a=4，b=1，c= ； +y2=1 上的点，
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5． 【答案】D 【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2） ∴y'=2a，得切线的斜率为 2a，所以 2a=tan45°=1， ∴a= ， 在曲线 y=x2 上切线倾斜角为 故选 D． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查 运算求解能力．属于基础题． 6． 【答案】 A 【解析】解：∵|BC|=1，点 B 的坐标为（ 又∠AOC=α，∴∠AOB= ∴sin（ ﹣α）= ﹣（ = ﹣（ = ﹣sin ﹣ cos ﹣ = ﹣α）]=sin ． = （2cos2 ， ﹣1）﹣ sinα= cosα﹣ sinα ． ﹣α）]=cos ， cos（ ﹣α）﹣cos sin（ ﹣α ） cos（ ﹣α）+sin sin（ ﹣α ） ﹣α，∴cos（ ，﹣ ﹣α）= ），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC= ，﹣sin（ ﹣α）=﹣ ， ， 的点是（ ， ）．
∴cosα=cos[ = +
∴sinα=sin[ = ∴ = 故选：A． ﹣ cos2
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题． 7． 【答案】C 【解析】解：正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上， 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有 4×6=24 个， 而在 8 个点中选 3 个点的有 C83=56，
3 1 a x 2 3ax 1, a 0 ． 2
（2）证明：对于正数 a ，存在正数 p ，使得当 x 0, p 时，有 1 f x 1 ； （3）设（1）中的 p 的最大值为 g a ，求 g a 得最大值．
24．【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f x alnx （1）当 a 2 时，求函数 f x 在点 1， f 1 处的切线方程； （2）讨论函数 f x 的单调性；
∴由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos 在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2， 即 = ﹣1，②
在双曲线中，①化简为即 4c2=4a12+r1r2， 即 =1﹣ ，③ + =4， + ）≥（1× + × ）2，
联立②③得，
由柯西不等式得（1+ ）（ 即（ 即 + + ≤ ）2≤ ×4= ， ，e2= ，
．
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16．已知直线 l 过点 P（﹣2，﹣2），且与以 A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段 AB 相交，则直线 l 的斜率的 取值范围是 ． 17．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数，当 x ≥ 0 时， f x 2 x 2 ，则不等式 f x 1≤6 的解集 是 ▲ ． ，则函数 z=﹣2x+y 的最大值是 ．
A．
B．
C．﹣
D．﹣ ）
7． 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（
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A．
B．
C．
D．
8． 如图 F1、F2 是椭圆 C1：
+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，A、B 分别是 C1、C2 在第二、四象限的公共 ）
点，若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是（
A． 9． 在区域 A．0
B．
C．
D． ）
内任意取一点 P（x，y），则 x2+y2＜1 的概率是（ B． C． D．
10．已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2= 心率的倒数之和的最大值为（ A．2 B． C． D．4 ）
涿鹿县二中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1． 方程 x= A．双曲线 C．双曲线的一部分 2． 复数 A．﹣2 B．﹣2i 所表示的曲线是（ B．椭圆 D．椭圆的一部分 ） ）
座号_____
姓名__________
分数__________
的虚部为（ C．2 D．2i
3． 已知向量 =（1，1，0） ， =（﹣1，0，2）且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直，则 k 的值是（ A．1 B． C． D．
）
x y 2„ 0 4． 已知实数 x [ 1,1] ， y [0, 2] ，则点 P ( x, y ) 落在区域 x 2 y 1„ 0 内的概率为（ 2 x y 2… 0
20．对于定义域为 D 的函数 y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足： ①f（x）在[m，n]内是单调函数； ②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]． 则称[m，n]是该函数的“和谐区间”． （1）证明：[0，1]是函数 y=f（x）=x2 的一个“和谐区间”． （2）求证：函数 （3）已知 ： 函数 大值． 不存在“和谐区间”． （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当 a 变化时，求出 n﹣m 的最
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4；① 又四边形 AF1BF2 为矩形， ∴ + = ，即 x2+y2=（2c）2= ，解得 x=2﹣ ，2n=2c=2 = ． ，y=2+ ， =12，②
由①②得： 则 2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2
，设双曲线 C2 的实轴长为 2m，焦距为 2n，
xa


1 1 ． x
1 a 1 （3）当 0 a 时，求证：对任意 x ， + ，都有 1 2 x 2
e．
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涿鹿县二中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：x= 故选 C． 【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意 x 的范围，注意数形结合的思想． 2． 【答案】C 【解析】解：复数 故选；C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 3． 【答案】D 【解析】解：∵ =（1，1，0）， =（﹣1，0，2）， ∴k + =k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）， 2 ﹣ =2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）， 又 k + 与 2 ﹣ 互相垂直， ∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k= ． 故选：D． 【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题． 4． 【答案】B 【 解 析 】 = = =1+2i 的虚部为 2． 两边平方，可变为 3y2﹣x2=1（x≥0）， 表示的曲线为双曲线的一部分；
∴双曲线 C2 的离心率 e= = 故选 D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 9． 【答案】C 【解析】解：根据题意，如图，设 O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域 表示的区域为以正方形 OABC 的内部及边界，其面积为 1； = ，