【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习 第2篇 二次函数学案 理

第十五课时 二次函数
课前预习案
1.理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质，
2.能灵活运用二次函数的图象和性质解决二次函数的最值问题、一元二次方程的实根分布以及恒成立等有关问题。

3.了解二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的灵活转化的关系。

1.二次函数的解析式
（1）一般式：()f x = ；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为(,)h k ，则其解析式为()f x = ； （3）两根式：若相应一元二次方程的两根为1x ，2x ，则其解析式为()f x = 。

2.二次函数的图象和性质
1.方程1
42
30x
x +--=的解是 ．
2.（2018福建文6）若关于x 的方程2
10x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(2,2)- C ．(,2)
(2,)-∞-+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞
3.抛物线222y x kx =-++与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
4.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴为2x =，且经过点(3,0)P ，则a b c ++的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．3
5.若函数221y x ax =++在(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．4a =
B ．4a ≤-
C ．4a <-
D ．4a ≥
课堂探究案
考点1 求二次函数的解析式
【典例1】（课本题再现）已知一个二次函数()y f x =，(0)3f =，又知当3x =-或5-时，这个函数的值都为0，则这个二次函数的解析式为 ．
【变式1】（课本题再现）已知一个二次函数的图象的顶点是(6,12)-，与x 轴的一个交点为(8,0)，则这个二次函数的解析式为 ．
考点2 二次函数在给定区间上的最值问题
【典例2】求函数2
21(0)y x ax a =-->在[0,2]上的值域．
【变式2】已知函数2
()22f x x ax =++，[]5,5x ∈-．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数．
考点3 一元二次方程根的分布问题
【典例3】方程2
2(3)2140x m x m ++++=有两个根，且一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．
【变式3】（1）已知2
10mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内，则实数m 的取值范围是 ．
（2）（2018重庆理）设m 、k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间(0,1)内有两个不同的根，则m k +的最小值为（ ）
A ．8-
B ．8
C ．12
D ．13
考点4 二次函数的综合应用
【典例4】若二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
【变式4】已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+，若不等式()0f x >的解集为{}|12x x <<，求a ，b 的值．
小结：
1.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据．
2.二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论．
3.二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象列不等式组求解．
4.三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连．
1.已知点(0,2)A ，(2,0)B ，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 2.一元二次方程2
210ax x ++=（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A ．0a <
B ．0a >
C ．1a <-
D ．1a >
3.若函数2
(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．
课后拓展案
组全员必做题
1.若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
，则m 的取值范围是（ ） A ．3
(,3)2
B ．3,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(]0,3
D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2.设x ，y 是关于m 的方程2
260m am a -++=的两个实根，则22
(1)(1)x y -+-的最小值是（ ）
A ．12.25-
B ．18
C ．8
D ．无最小值
3.二次函数2
2
()7(13)2f x x k x k k =-++--的图象与x 轴的两个交点分别在开区间(0,1)和(1,2)内，则实数
k 的取值范围是 ．
4.（课本题再现）已知函数2
()23f x x x =-+在区间[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围
是 ．
5.若关于x 的方程2
3(37)40tx t x +-+=的两个实根α，β满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围
是 ． 6.若22
()m m
y m m x
-=+是二次函数，则m = ．
组提高选做题
1.若二次函数22
32y mx x m m =-+-的图象经过原点，则m = ． 2.已知函数2
2
()2y mx m m x =+-+的图象关于y 轴对称，则m = ．
3.已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．
参考答案
1.2log 3
2.C
3.C
4.B
5.B
【典例1】218
()355
f x x x =
++ 【变式1】2
()33696f x x x =-+ 【典例2】解：对称轴x a =．
∵0a >，∴有以下三种情况：
①()2,a ∈+∞时,min ()(2)34f x f a ==-；max ()(0)1f x f ==-，此时值域为[]34,1a --；
②(]0,1a ∈时，2min ()()1f x f a a ==--；max ()(2)34f x f a ==-，此时值域为2
1,34a a ⎡⎤---⎣⎦； ③(]1,2a ∈时，2min ()()1f x f a a ==--，max ()(0)1f x f ==-，此时值域为2
1,1a ⎡⎤---⎣⎦．
【变式2】解：（1）1a =-时，22
()22(1)1f x x x x =-+=-+． ∴当x []1,1-∈时，min ()(1)1f x f ==；max ()(5)37f x f =-=． （2）2
()22f x x ax =++对称轴为x a =-， ∴5a -≤-或5a -≥，即5a ≥或5a ≤-．
【典例3】解：(1)0f <，∴12(3)2140m m ++++<，即21
4
m <-． 【变式3】（1）(,2)-∞-；（2）D 【典例4】解：（1）(0)1f =，∴1c =．
(1)()f x f x +-
22(1)(1)a x b x c ax bx c =++++---
2ax a b =++2x =，
∴1,1a b ==-． ∴2
()1f x x x =-+． （2）2
12x x x m -+>+，
∴2
31m x x <-+对[]1,1x ∈-恒成立，
令2()31g x x x =-+，则对称轴为32
x =， ∴min ()(1)1g x g ==-，故1m <-． 【变式4】解：由题意可知(1)0,(2)0,f f =⎧⎨=⎩即3(6)0,122(6)0,a a b a a b -+-+=⎧⎨-+-+=⎩解得3,
6.
a b =⎧⎨=-⎩
1.A
2.C
3.1-
组全员必做题
1.B
2.A
3.()(2,0)
3,4-
4.[]1,2
5.7(,5)4
6.2
组提高选做题
1.2
2.0或1
3.解：(1)0f <，∴2
1(1)20a a +-+-<，
∴2
20a a +-<，即(2)(1)0a a +-<， ∴21a -<<．。