【说课教案】人教版高二数学选修1-1：2.4.2抛物线的简单几何性质 说课稿
教学设计1：2.4.2抛物线的几何性质
2．4.2抛物线的几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线． 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.[感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 【答案】C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .【答案】y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .[感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质．训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．42【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2， 解得p ＝4. 【答案】C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．【解】如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上． 根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)． ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D ．25【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 【答案】A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．【解】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x【解析】显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .【答案】C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)【解析】由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．【答案】B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p 2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2. 又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F ＝(p ，－y 1)，1B F ＝(p ，－y 2)， 则1A F ·1B F ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. 又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 【答案】C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．【解析】由题意知点B 即为抛物线的焦点， 直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线，∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.【答案】526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52， 因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．【解】如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p 2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )． ∵|AB |＝53， ∴(p ＋4p )2＋(p2－8p )2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．【解】由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ， 则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p2)，2px ＝x (x －p2)．∴x ≠0.∴x ＝5p2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
高中数学选修1-1教学设计-抛物线及简单几何性质
一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是 .（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2． (要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A． B． C． D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，教案点评：本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）
高中数学选修2-1新教学案：2.4.2抛物线的简单几何性质（1）选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（学案）（第一课时）【知识要点】抛物线的有关几何性质及其应用.【学习要求】1.通过理解抛物线的定义及其方程,掌握抛物线的简单几何性质;2.通过对抛物线的简单的几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用并能应用几何性质解决有关问题.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p=>为例谈一下抛物线的几何性质.2. 模仿22(0)=>几何性质,把下列表格填完整.y px p通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为，离心率均为，它们都是对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是对称图形；椭圆、双曲线又是对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有 ,双曲线有 ,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是,双曲线的离心率范围是,抛物线的离心率是 . 【基础练习】1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程.3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 . 【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y -+=求此抛物线的方程.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0（B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x（C ）y 2=－8x（D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( ).(A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.选修2—1 2.4.2抛物线的简单几何性质（教案）（第一课时）【教学目标】: 要求学生熟练掌握抛物线的简单几何性质，能够运用几何性质处理有关的数学问题，并且进一步体会数形结合思想在解题中的应用. 【重点】：对抛物线几何性质的掌握与应用. 【难点】：抛物线几何性质的应用.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第68 页～第70页）1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以22(0)y px p =>为例谈一下抛物线的几何性质.范围：0,x y ≥∈R ；顶点坐标：（0，0）；对称轴为x 轴；焦点坐标：(,0)2p F ；准线方程：2p x =-；离心率为1；通径长为2p .2. 模仿22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整.图通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为(0,0)，离心率均为1 , 它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是轴对称图形；椭圆、双曲线又是中心对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有4个,双曲线有2个,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是<e1,抛物线的离心率是e=1. 【基础练习】</e1．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.解: 由题意可设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>. 因为点M 在抛物线上,所以(222, 2.p p -== 即因此,所求抛物线的方程为24.y x =2. 已知一抛物线的焦点(0,8),8F y -=准线是,求抛物线的标准方程. 解: 由题意可知8,162p p =∴=.所以抛物线方程为232.x y =-3. 过点(2,0)1AB M l 2作斜率为的直线，交抛物线y =4x 于A,B 两点求 .解: M 201过点（，）且斜率为的直线l 的方程为2y x =-,与抛物线的方程24y x =联立得1142x y ?=+??=+??2242x y ?=-??=-??设1122(,),(,)A x y B x y ,则AB ==【典型例题】例1 某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的方程.【审题要津】因为椭圆的中心在坐标原点,左顶点为(-3,0),所以可直接设抛物线的标准方程,代入p 后可得方程.解：由22169144x y +=得221169yx+= ,所以椭圆的左顶点为(-3,0).由题意设所求抛物线方程为22(0)y px p =->,由362p p ==得,所以所求方程为212y x =- .【方法总结】顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程可设为标准形式.变式1：P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是．(1,0)例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于,A B 两点,求线段A B 的长.【审题要津】求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后运用两点间的距离公式求A B 的长.解：抛物线24y x =的焦点为(1,0),直线l 的方程为1y x =-,联立21,4.y x y x =-??=得1132x y ?=+??=+??2232x y ?=-??=-?? 设1122(,),(,)A x yB x y ,则AB =【方法总结】直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点间的距离公式求解.变式2：已知抛物线的焦点在x 轴上,且截直线210x y-+=求此抛物线的方程.解: 所求抛物线方程为22124y x y x ==-或.变式3：已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上两点, O 为坐标原点,若O A O B =, 且A O B ?的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线A B 的方程.解: 由题意可知, 抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p F ,因为O A O B =,由抛物线的对称性可知, ,A B 两点关于x 轴对称,设直线A B 的方程为200000,A,B A ,),2.x x x y y px ==设两点的坐标为（则因为A O B ?的垂心恰是抛物线的焦点F ,所以0000,(,),(,)2p A F O B A F x y O B x y ⊥=--=- .05A F O B =0x 2p= 由得 .所以直线A B 的方程为5.2p x =1. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）（A ）x 2+ y 2-x -2 y -41=0 （B ）x 2+ y 2+x -2 y +1=0 （C ）x 2+ y 2-x -2 y +1=0（D ）x 2+ y 2-x -2 y +41=02. 平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ C ）（A ） y 2=－2x（B ） y 2=－4x （C ）y 2=－8x （D ）y 2=－16x3. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ A ）（A ）8（B ）10（C ）6(D) 44. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点（-2，3），它的方程是 ( B ). (A) 229423x y y x =-=或（B ） 229423y x x y =-=或(C) 292y x =-(D) 243x y =5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是 ( B ).(A) (B)(C) (D)6. 已知抛物线的方程是22(0)y px p =>，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y 轴的位置关系 ( C ).(A) 相交 (B) 相离 3 (C) 相切 (D) 不确定7. 抛物线24x y =-过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于,A B 两点，O 为抛物线的顶点，则（ B ）.(A) 8,4AOB AB s ?== (B) 4,2AOB AB s ?== (C) 4,4AOB AB s ?== (D) 8,2AOB AB s ?==8. 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别是,p q ，则qp11+等于（ C ）(A) 2a (B)12a(C) 4a (D) 4a9.已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 经过抛物线的焦点,F A 点的坐标为（8，8），则线段A B 的中点到准线的距离为（ A ）(A)254(B)252(C)256(D) 2510. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 任作一条直线l 与抛物线交于12,P P 两点，求证：以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.证明：如图，11122212(,),(,),x y P x y P P 设P 中000(,).x y 点P 12P F P F =+12P P=21222p p x x x p +++=++1x ，122x x +=0x ，12121222x x p d P P +∴=+=0p 到准线的距离.所以以12P P 为直径的圆和这条抛物线的准线相切.。
最新人教版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》示范教案(第2课时)
第2课时教学目标1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．重点难点教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系．教学难点：抛物线几何性质的综合运用．教学过程复习引入(多媒体投影)活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx＋ny2＝0(m·n≠0)的顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(－m4n，0)，准线方程是x＝m4n，离心率是1，通径长|mn|.②若点A(3,2)，点F为抛物线y2＝2x的焦点，则使|MA|＋|MF|取最小值的抛物线上点的坐标是(2,2)．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用．新课讲解1斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1,0)，所以直线AB的方程为y＝x－1.①将方程①代入抛物线方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，化简得x2－6x＋1＝0.解之得：x1＝3＋22，x2＝3－2 2.将x1，x2的值分别代入方程①中，得y1＝2＋22，y2＝2－2 2.即A、B坐标分别为(3＋22，2＋22)、(3－22，2－22)．∴|AB|＝422＋422＝8.解法二：如右图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，而|AA′|＝x1＋1.同理|BF|＝|BB′|＝x2＋1，于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB|＝6＋2＝8.点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长(运算量一般较大)；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长(运算简单)． 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF|＝x 1 ＋p2.提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB|＝x 1＋x 2＋p.提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px①点A 的坐标为(y 202p ，y 0)，则直线OA 的方程为y ＝2py 0x(y 0≠0)②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p2y 0④因为点F 的坐标是(p 2，0)，所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2(x －p2)⑤其中y 20≠p 2.联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p2y 0⑥由④⑥可知，DB∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P(－2,1)，斜率为k.k 为何值时，直线l与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k(x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x＋2y 2＝4x (*) 消去x 可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①当k ＝0时， 直线与抛物线只有一个公共点，由方程①得y ＝1, 把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14.此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．(2)当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ①由Δ＝0, 即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1, 或k ＝12.所以， 当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0, 即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12.所以， 当－1＜k ＜12，且k≠0时，方程①有两个解， 此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0, 即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1, 或k ＞12.所以， 当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解， 此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1, 或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1, 或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论． 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ＝0时，直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； (2)当a≠0时，Δ＞0 方程组两组解 相交； Δ＝0 方程组一组解 相切； Δ＜0 方程组没有解 相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短．解：设点P(t,4t 2)到直线y ＝4x －5的距离为d ，∴d＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517，当t ＝12时，d 取得最小值，此时P(12，1)为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为( )A.14 B ．0或14 C ．0或－34 D.14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是( ) A ．(1,1) B ．(3，3) C ．(32，34) D ．(12，14) 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A(1,1)平分的弦所在的直线的方程是________________5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1.B 2.C 3.2 4.y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题． 布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题. 补充练习1．已知直线l 过点A(－3p 2，p)且与抛物线y 2＝2px(p>0)只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交于点P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________.4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2.C 3.384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15，则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6. ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x.设计说明本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．备课资料 备选例题：1．设抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC∥x 轴，求证：直线AC 经过坐标原点O.证法一：如图，∵抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F(p 2，0)，∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2，代入抛物线的方程并整理得：y2―2pmy―p 2＝0①若设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1、y 2为方程①的两个根，所以y 1y 2＝－p 2，∵点C 在抛物线的准线上，且BC∥x 轴，∴点C 的坐标是(－p 2，y 2)，又y 21＝2px 1，故直线CO 的斜率是k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，而k AO ＝y 1x 1，∴k CO ＝k AO ，从而A 、O 、C 三点共线，所以直线AC 经过坐标原点O.证法二：如图，记准线与x 轴交于点K ，过A 作AD⊥l 于点D ， 则AD∥FK∥BC，连结AC 交FK 于E ，则|EK||AD|＝|CE||AC|＝|BF||BA|，|AF||AB|＝|EF||BC|，由抛物线的定义知|AF|＝|AD|， |BF|＝|BC|，|EK|＝|AD||BF||AB|＝|AF||BC||AB|＝|EF|，即点E 是FK 的中点，所以点O 与点E 重合，所以直线AC 经过坐标原点O.点评：这是一道几何味特浓的解析几何题，利用平面几何知识来解决解析几何问题简捷、巧妙，应注意体会．2．已知抛物线y 2＝4x ，求以点M(2,1)为中点的弦所在的直线方程及弦长． 解：设弦的端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋ x 2＝4，y 1＋ y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，即2(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，得y 1－y 2x 1－x 2＝2. 所以所求直线方程为：y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x －y －3＝0，消去y 得4x 2－16x ＋9＝0.则x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝94.∴|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝35.点评：利用点差法，设而不求解决中点弦问题．(设计者：姜华)。
人教版高中数学选修(2-1)-2.4《抛物线的简单几何性质》参考教案2
2.3.2抛物线的简单几何性质一、教材分析《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学选修系列中的内容。
本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容。
本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法。
另外本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，对于训练学生用坐标法解题起着相当重要的作用。
对于抛物线的几何性质的应用是学生学习的重点，在教学过程中应予以特别关注，本节内容的学习，既是前面所需知识的深化和拓展，优势提高学生解决现实问题能力的一种途径。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标①理解抛物线的几何性质②与抛物线有关的轨迹的求法；直线与抛物线的位置关系2.能力目标①灵活运用抛物线的性质②养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力3.情感目标①训练学生分析问题、解决问题的能力②培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力三、重难点分析根据学生对已有知识的掌握和对学生认识能力的分析，根据以上目标和大纲需求确定重难点：重点：①掌握抛物线的几何性质②根据给出的条件求出抛物线的标准方程难点：抛物线各个几何性质的灵活应用四、教法、学法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
学法上：教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心。
人教课标版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》教案-新版
2.3.2抛物线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）能借助抛物线的几何图形与标准方程理解抛物线的简单几何性质 （2）能用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题，如判断直线与抛物线的位置关系以及定值、最值问题 3.学习重点抛物线的简单几何性质 4.学习难点用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材6063P P -，思考直线与抛物线的位置关系有哪些? 任务2 完成63P 的练习 2．预习自测1. 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质2．过抛物线22y px =(0)p >的焦点作一条直线交抛物线于A 11(,)x y 、22(,)B x y ，则1212y y x x 为（ ）A ．4B ．－4C ．2pD ．2p - 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质3．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点．若126x x +=，则AB =____ ． 答案：8解析：考查抛物线的简单几何性质 （二）课堂设计 1.知识回顾关于抛物线的标准方程:①p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数． ②方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.③焦点的非零坐标是一次项系数的14. 2.问题探究 问题探究一 抛物线的简单几何性质1．抛物线 ()220y px p =>有哪些简单几何性质呢？(1)对称性：以－y 代y ，方程()220y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p(5)范围：由220,0y px p =≥>知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y | 也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P 值越大，它开口越开阔2.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交.（1）直线的斜率存在时，设直线y kx m =+与抛物线()220y px p =>相交于()()11122,,,A x y B x y 两点，将y kx m =+代入()220y px p =>，消去y 并化简，得2222()0k x mk p x m +-+=①当0k =时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点.②当0k ≠时， 0∆>⇔直线与抛物线相交⇔直线与抛物线有两个公共点；0∆=⇔直线与抛物线相切⇔直线与抛物线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与抛物线相离⇔直线与抛物线无公共点（2）直线的斜率不存在时，设直线:l x m =，抛物线：()220y px p =>，显然 当0m <时，直线与抛物线相离，无交点；当0m =时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0m >时，直线与抛物线相交，有两个交点.（3）过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的焦点弦．（4）通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径|AB |的长等于2p（5）抛物线上的点到焦点的距离，叫做焦半径，当y 2＝2px (p >0)时，抛物线上的点的坐标()00,P x y ，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则焦半径02p PF x =+.问题探究二 用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题例1.已知抛物线的方程为x y 22=，直线l 的方程为)(1R k kx y ∈+=，当k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点.【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合，分类讨论】详解：221y xy kx ⎧=⎨=+⎩01)22(22=+-+⇒x k x k11.0-210,,2k x x 当时,则此时直线与抛物线只有一个公共点;=+== 2212.04140,,2k k k k 时,（）则直线与抛物线只有一个公共点;≠∆=--== 13.000,2k k k 当时,且直线与抛物线有两个公共点;≠∆>⇒<≠14.00,2k k 时,直线与抛物线没有交点.≠∆<⇒>例2.已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求此弦所在的直线的方程 【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合】详解：∵过焦点的的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率不为0设直线为)1(-=x k y ，与抛物线的交点坐标为),(),,(2211y x B y x A()214y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则有2221222242)0(0)42(k k x x k k x k x k +=+⇒≠=++- 3624222221=++=++=+=∴k k x x BF AF AB)1(42,42-±=±=∴x y k 所求直线的方程为 例3.求过抛物线()220y px p =>的焦点F 的弦长的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解一：如图，设抛物线()220y px p =>的焦点弦的两个端点为()()1122,,A x y B x y 、并设焦点弦所在直线方程为2px my =+①，于是有112222p px my x my =+=+，，将①代入22y px =， 得2220y pmy p --= 所以212122,y y pm y y p +==-.因为()()()2222121212441y y y y y y p m -=+-=+．所以()221AB p m ==+所以2AB p ≥，故当0m =，即过焦点的弦垂直于x 轴时，它的长度最小，其最小值为2p .详解二：如图所示，设焦点弦AB 的中点为E ，分别过,A E B ，作准线l 的垂线，垂足为,,D H C ，由抛物线定义知AD AF =，BC BF =，所以2AB AF BF AD BC EH =+=+=由图可知HE GF ≥，当且仅当AB 与x 轴垂直时，=HE GF ，即min 22AB GF p ==.点拔： 解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x 轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．例4.设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； (2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解： (1)如图，易知抛物线的焦点为()1,0F ，准线方程是1x =-，由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点()1,1A -的距离与点P 到()1,0F 的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P(2)如图把点B 的横坐标代入24y x =中，得2y =>，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于1P . 此时，由抛物线定义知：11PQ PF =.那么11+=314PB PF PB PQ BQ +≥=+= 即最小值为4.例5.已知抛物线22y x =.(1)设点A 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最短，并求出距离的最小值．【知识点：点到直线的距离，抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合，函数的思想】详解： (1)设抛物线上任一点(),P x y ，则22222221123333PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵0x ≥，且在此区间上函数单调递增，故当0x =时， min 23PA =，故距点A 最近的点的坐标为()0,0.(2)解法一：设点()00,P x y )是22y x =上任一点，则P 到直线30x y -+=的距离为d ===当01y =时，min 4d ==， ∴点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：设与直线30x y -+=平行的抛物线的切线为0x y t -+=，与22y x =联立，消去x ，得22+20y y t -=，由=0∆，得12t =，此时11,2y x ==，∴1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即min 4d =. 点拔： 有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，将到焦点的距离与到准线的距离相互转化，用几何意义解决，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的函数关系式，转化为目标函数最值解决.例6.已知AOB ∆是一个顶点为抛物线x y 22=的顶点O ,B A 、两点都在抛物线上，且90AOB ∠=o（1）求证：直线AB 必过一定点 （2）求AOB ∆面积最小值【知识点：抛物线的定义，直线的方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】详解：（1）解法一：直线OA 斜率存在且不为0，设OA 所在直线方程为)0(≠=k kx y ,OB 所在直线方程为x ky 1-= 2222022,(,)022x y kx x k A y k k y x y k ⎧=⎪==⎧⎧⎪⇒∴⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或 同理)2,2(2k k B -，则直线的方程为)2(22222222k x k k kk k y --+=+即22121k kx k k y ---=，过定点)0,2( 解法二：设直线n x my AB +=为，),(),,(2211y x B y x A22122,220,2,480.2my x ny my n y y n m n y x=+⎧⇒-+=⇒=∆=->⎨=⎩ 2222121221212,20,22,0,0y y x x n n n n x OA OB OA OB x x y y n 且∴==∴+=⇒=-⊥∴⋅=+=≠uu r uu u rQ22,0my x ∴=-直线为过定点（）. （2）设AB 直线方程为),(),,(,22211y x B y x A my x +=2+22x my y x =⎧⎨=⎩4,204221212-=+=⇒=--⇒y y m y y my y121211222AOBy y S OP y y Δ-==⇒=⋅-=⋅⋅当AOB S m ∆=,0的面积取得最小值4. 3.课堂总结 【知识梳理】（1）焦半径 抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点()00,A x y ，则四种标准方程形式下的焦半径公式为（2）焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线()220y px p =>)过焦点F 的一条弦，设()()1122,,A x y B x y 、，AB 的中点()00,M x y ，抛物线的准线为l . ①以AB 为直径的圆必与准线l 相切；②0=22p AB x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (焦点弦长与中点关系)；③12=AB x x p ++；④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即212=4p x x ，212=y y p -.【重点难点突破】（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．（2）为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．（3）要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．（4）在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．（5）p 表示焦点到准线的距离，0,p p >值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄． 4.课堂检测1. 抛物线28x y =-的准线方程是( )A ．132x =B ．2y =C ．14x =D ．4y = 答案：B【知识点：抛物线的几何性质】2.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M -，求它的方程（ ）A ．2x y =B ．2y =C ．2x y =D ．2x = 答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质】3. 已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线2x =的距离为3，求抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质】 与直线2x =的距离为3的平行直线有两条，即：1x =-和5x =． 设抛物线的方程为2y mx =，则14m -=-，或54m-=，∴4m =或20m =-． 故所求抛物线的方程为24y x =或220y x =-． （三）课后作业 基础型 自在突破1．已知()8,P a 在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16 答案：B解析：【知识点：抛物线的几何性质】2. 过抛物线28y x =的焦点，作倾斜角为45︒的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．61 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】3．过点（0，2）且与抛物线22y px =(0)p >只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4．已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是( )A.B ．C ．D ．3 答案：C解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A B 、两点O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值是( ) A ．12 B ． 12- C ． 3D ．3- 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积】设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222212121212,,4416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵AB 过焦点，则有212=4y y p -=-， ∴()22212124=431616y yOA OB y y -⋅=+-=-故选D.6．若直线20x y m ++=与抛物线210y x =-恰有两个交点，那么实数m 的取值范围是___________．答案：54m >-解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的解，二元二次方程的解】能力型 师生共研7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1，则点A 的坐标为( )A ． (2B ．(2，-C ．(2D．(2±，答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，三角形的面积】如图，由题意可得，1OF =，由抛物线定义得， AF AM =， ∵AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1， ∴()1sin 231sin 2AMF AOFAF AM MAF S S OF AF MAF π∆∆⨯⨯⨯∠==⨯⨯⨯-∠ ∴3AM =，设22000,1344y y A ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，y ，解得20024y y =±∴=， ∴点A的坐标是(2±，，故选D. 8．若P 点在抛物线2y x =上，点Q 在圆22(3)1x y -+=上，则PQ 的最小值为_____．1解析：【知识点：抛物线的标准方程；数学思想：数形结合】9.过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A B 、两点，若A B 、在抛物线的准线上的射影是11A B 、，则11A FB ∠=____________． 答案：90︒解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质；数学思想：数形结合】 探究型 多维突破10. 已知点()()2,0,4,0A B ，动点P 在抛物线24y x =-上运动，则AP BP ⋅取得最小值时的点P 的坐标是______． 答案：()0,0解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质，平面向量的数量积，函数的最小值；数学思想：数形结合】设2,4y P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,4,44y y AP y BP y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222252,4,8844162y y y AP BP y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当0y =时取等号，此时点P 的坐标为()0,0．11.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆22+11652x y =的焦点，求抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的几何性质】 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p .椭圆22+11652x y =的焦点在p 轴上，焦点坐标为()()06,0,6-，．故抛物线的准线方程为66y y =-=或.当准线方程为6y =-时，设抛物线方程为 ()220x py p =>，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =；当准线方程为6y =时，设抛物线方程为()220x py p =->，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =-.故所求抛物线的方程为224x y =或224x y =-12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于A B 、两点，且52AB p =，求AB 所在的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦，弦长公式，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】解法1：焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,A x y B x y 、，若AB Ox ⊥，则522AB p p =<， 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x ，整理得22220k y py kp --=. 由韦达定理得，212122,py y y y p k+==-.∴12AB y =-21512p pk ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得2k =±.∴AB 所在直线方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解法2：如图所示，抛物线()220y px p =>的准线为2px =-，()()1122,,A x y B x y 、，设A B 、到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知，1122,,22p p AF d x BF d x ==+==+ 于是121253=,22pAB x x p p x x ++=+= 当12=x x 时，522AB p p =<，直线AB Ox 与不垂直． 设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()222221204k x p k x k p -++=. ()2122232p k px x k ++==，解得2k =±. ∴直线AB 的方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（四） 自助餐1. 直线=2y kx +交抛物线28y x =于A B 、两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（ ）A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】2. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为（8，8），则线段AB 的中点到准线的距离是（ ） A ．254 B ．252C ．258D ．25 答案：A解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】3.抛物线22y px =与直线40ax y +-=的一个交点是 ()1,2，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A.B.C.D.2答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4. 双曲线()2210x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ) A. 316B. 38 C. 163D.83答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质，双曲线的标准方程】5.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF 的斜率为PF = ( )A ．B ．8C ．D ．16 答案：B解析：【知识点：直线倾斜角与斜率，抛物线的定义及几何性质】6．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =(0)p >，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．28pB ．24pC ．22pD ．2p 答案：B解析：【知识点：三角形的面积，抛物线的定义及几何性质】7.抛物线2y ax =（0a >）与直线(0)y kx b k =+≠有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ．而直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标是3x ，则1x 、2x 、3x 之间的关系是（ ） A ．312x x x =+B ．31211x x x =+ C ．131223x x x x x x =+ D ．121323x x x x x x =+ 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】8.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理】9．过（0，－2）的直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则AB =_____________．答案：解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】10. 求过点()0,1P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】(1)若直线斜率不存在，则过点()0,1P 的直线方程为0x =，由22x y x=⎧⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩即直线0x =与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点()0,1P 的直线方程为1y kx =+，由方程组2+12y kx y x=⎧⎨=⎩消去y ，得()222110k x k x +-+=. 当0k =时，得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即直线1y =与抛物线只有一个公共点；当0k ≠时，直线与抛物线只有一个公共点，则()22=4140k k ∆--=，所以12k =，直线方程为1+12y x =.综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或1+12y x =.11.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，抛物线2y px =（0p >）与椭圆在第一象限内交点为Q ．若1260FQF ∠=．(1)求△12FQF 的面积； (2)求此抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的定义及几何性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】∵2a =，1b =，∴12F F =∴2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-∙21212()3PF PF PF PF =+-∙． 1243PF PF ∙=． ∴S △12F QF 1213sin 602PF PF =⋅=．(2)设00(,)Q x y 12012F F y =∴013y =代入椭圆方程得0x =．将1)3Q 代入2y px =得p =．∴224y x =． 12.抛物线的焦点F 是圆2240x y x +-=的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于,,,,A B C D ，求AB CD +.答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义、方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系】 (1)由圆的方程知圆心坐标为()2,0．因为所求的抛物线以()2,0为焦点，所以抛物线的标准方程为28y x =.(2)如下图，=AB CD AD BC +-，又=4BC ，所以只需求出AD 即可． 由题意，AD 所在直线方程为()22y x =-，与抛物线方程28y x =联立得()22864022y x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y D x y ， 所以()()121212126,4,A 2210x x x x AD F DF x x x x +===+=+++=+=， 所以==6AB CD AD BC +-.本题求出12126,4x x x x +==后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得12A AD F DF x x p =+=++，则简单利落.数学视野抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”，这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩．如光学中灯具与望远镜的设计；声学中的音乐台的抛物面屏墙，椭圆听音实验；电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆；在微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等）也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”．圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上，在大量生产、生活用品制造上，亦有许多出众表现．如诸多著名桥梁的抛物线型设计，薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶，热电站的双曲面冷淋塔．同样，抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上，这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的．。
抛物线的几何性质说课稿(9)
抛物线的几何性质说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！我是来，今天我说课的内容是《抛物线的几何性质》，第一课时，选自人教B 版高中数学教科书选修2-1。
下面，我就从教材分析、教学方法、学法指导、教学过程、设计理念五个方面阐述我对本节课的构思。
一、教材分析：1、在教材中的地位和作用：从抛物线知识结构来讲，研究抛物线主要包括三个环节：根据定义求方程，利用方程讨论几何性质，说明性质在实际中的应用。
本节课正是在学生已有抛物线定义、标准方程的基础上对其几何性质的研究，为利用性质解决实际问题提供了理论依据。
从学科角度来讲，抛物线是在椭圆和双曲线之后的又一重要圆锥曲线，通过对它的学习，一方面丰富完善了圆锥曲线知识体系，另一方面也是“用方程研究曲线”这一基本方法的再次强化，体现了数学的和谐统一，为今后用代数方法研究几何问题打下了基础，起到了承上启下的重要作用。
2、教学目标：根据新课标要求，考虑到高二学生的心理、思维日渐成熟，初步具有了运用所学知识方法探究新知识的能力，我将本节课的教学目标设定为：（知识与技能目标：）①掌握抛物线的几何性质；②能够应用抛物线的几何性质解决一些简单问题。
(过程与方法目标: ) 学生经历观察、分析、讨论的过程，类比研究椭圆、双曲线性质的方法探究出抛物线的几何性质，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，体会数形结合的思想。
（情感态度与价值观目标：）通过本节课的学习使学生进一步感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养学生独立思考、合作交流的良好个性品质。
3、重点、难点：学生在高一已经接触过抛物线的图形特征，当时是从函数角度简单研究了它的顶点、对称轴。
现在，随着学生认知水平的提高需要从更高层面审视这种曲线的几何本质，并且抛物线的几何性质在实际生活中有广泛的应用，因此本节课的教学重点为：抛物线的几何性质；从学生已有知识出发，学生往往注重对图形的直观感知，而忽视对方程中隐含条件的挖掘，另外，学生的应用意识、数学建模能力比较薄弱，所以本节课的难点为：抛物线几何性质的应用。
高中数学选修1-1教学设计-抛物线的几何性质
§2.3.２抛物线的几何性质（２）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：2121212211()4y y y y y k-=++-222121211()4x x k x x x -=++-正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=2．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）3． 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A. 4B. 2C. 41D. 214．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．7．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 , ①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值. 测试题答案：1．A2．D 3．A 4．x 2＝±8y5．9)23(22=++y x 6．255127．解析(证明):设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N),1(),1(222121y y y y -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴, 又21y y ≠121-=∴y y --------------------------------------------------------------③OB OA y y y y y y y y ⊥∴=+=+=∙∴0)1(2121222121② 12121y y S OAB -⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB。
高二数学 教案 2.3.2抛物线的简单几何性质学案人教版_选修1-1
6.(2019·宁夏、海南)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
7．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？
例2．斜率为1的直线 经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.
例3．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线 过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时，直线 与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
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三、课后练习
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是____
4．离心率抛物线上的点与焦点和e＝.
二、知识应用
例1．已知抛物线关于x轴对称，它的定点在坐标原点，并且经过点M(2, ),求它的标准方程.
一、自主预习（阅读教材56—59页，完成下列问题）
1．范围因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的___侧；当x的值增大时，|y|也，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口__
2．对称性以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的_________
A. B. C. D.
2．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()
高中数学选修1-1教案：2.4.2+抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程；3. 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在解决问题中的应用.___________________________________________________________________________自学探究问题1.填表【试试】画出抛物线2的图形，求出顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、离心率．y x8【技能提炼】1.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．2. （选讲）已知抛物线x y 22=，过点()1,2M 作一条直线交抛物线于B A ,两点，试求弦AB 中点的轨迹方程。
教师问题创生学生问题发现变式反馈1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =．2.求经过点P (4, －2)的抛物线的标准方程.3．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y =4x 2上一点到直线y =4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是 （A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ____________.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
【说课教案】人教版高二数学选修1-1：2.4.2抛物线的简单几何性质说课稿
【说课教案】人教版高二数学选修1-1：2.4.2抛物线的简单几何性质说课稿抛物线的简单几何性质一、教材分析1.教材的地位和作用：《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
2.学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
3.教学目标：知识目标：掌握抛物线简单几何性质，理解其产生过程；根据几何性质确定抛物线的标准方程；引导学生归纳总结出焦点弦长公式。
能力目标：学会用类比思想分析解决问题，培养学生掌握知识的类比、归纳、概括和推理能力。
情感目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气，培养良好的思维品质。
4.教学重点难点重点：从知识上来讲，要掌握抛物线几何性质的初步运用及焦点弦长公式；从学生的体验来说，需要关注学生在探究抛物线性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。
难点：抛物线几何性质的灵活应用二、教学方法与手段1.教法：本节课采用五环教学法，引导学生自己观察、归纳、分析，培养学生采用自主探究的方法进行学习，并采用小组积分制，充分调动学生学习的积极性，使学生从中体会学习的乐趣。
2.学法：（1）类比学习：通过椭圆、双曲线的几何性质类比学习抛物线的几何性质.（2）小组合作学习：将学生分成几个小组，通过小组内讨论交流，归纳得出抛物线的简单几何性质。
3.教学手段：多媒体辅助教学三、教学过程：（一）问题情境回顾上节课所学抛物线的定义及其标准方程。
（学生填表并完成自我检测）定义图形标准方程焦点准线设计意图：用表格的形式进行复习直观形象，有助于对所学知识的系统掌握。
自我检测：1.抛物线24y x =的准线方程是_____ 2.抛物线212y x =上与焦点距离等于9的点的横坐标_____设计意图：通过具体题目的练习，加深对抛物线定义和标准方程的理解。
安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学选修1-1教案：2.4.2抛物线的简单几何性质
长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学（文科）集体备课教案项目内容抛物线的简单几何性质改正与课题（共1 课时）创新知识与技术：使学生理解并掌握抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法。
过程与方法：经过对抛物线的标准方程的研究，得出抛物线的几何性质，并应教课用抛物线的性质解决有关抛物线的实质问题，培育学生的数形联合、转变与化归的目标能力，提升我们的综合素质。
感情、态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．教课要点：抛物线的几何性质及初步运用．重、难点：抛物线的几何性质的应用难点教课多媒体课件准备(一 )复习1．抛物线的定义是什么？教课2．抛物线的标准方程是什么？过程下边我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p ＞ 0)出发来研究它的几何性质．(二 )几何性质如何由抛物线的标准方程确立它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对照、研究和填写．填写完成后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质对比，抛物线的几何性质有什么特色？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，固然它也能够无穷延长，可是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与极点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个极点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不单引入了抛物线离心率的观点，并且把圆锥曲线作为点的轨迹一致同来了．(三 )应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法绘图的基本方法，给出以下例1．例 1已知抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点求抛物线的方程。
高中数学 2.3抛物线的几何性质教案1 文 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学教案
课题： 抛物线的几何性质
课时：17
课型：新授课
教学目标：
1、掌握抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；
2.会简单应用抛物线的几何性质
◇问题引导，自我探究◇
抛物线的几何性质列表如下
标准方程
22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标
准线方程
X 围
对称性
顶点
离心率
◇自学测试◇
1、___抛物线上的点M 到焦点的距离和他到准线的距离之比________叫做抛物线的离心率抛物线的离心率是 1
2 求适合以下条件的抛物线的标准方程
〔1〕顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M(5,-4)
(2) 顶点在原点,焦点是F(0,5)
(3)焦点是F(0,-8),准线是y=8
〔选做题〕
3 、设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，
假设FA FB FC ++=0，
那么FA FB FC ++=〔 〕
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3 4、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 那么有〔 〕 Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213
FP FP FP =·
课后思考：抛物线焦点弦有哪些性质。
课后预习：总结抛物线的重要性质。
人教课标版(B版)高中数学选修1-1教学教案：抛物线的几何性质
2.4.2 抛物线的几何性质知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了简单几何性质可从以下几个要点讲解：1．范围2．对称性3．顶点4．离心率对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率()022>=ppxyxyO Fl原点x轴 F 图中直线 1()022>-=ppxyxyOFl原点x轴 F 图中直线 1()022>=ppyx原点y轴 F 图中直线 1()022>-=ppyx原点y轴 F 图中直线 1（ii）例题讲解与引申例题已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．xyOFlxyOFl因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故例4过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，练习：P63，1、2、3 作业：P64，1、2。
人教版高中数学优质教案2：2.3.2 抛物线的简单几何性质(二) 教学设计
2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；2．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质： 标准方程 图形顶点 对称轴 焦点 准线 离心率()022>=p pxyx y O F l ()0,0 x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e()022>-=p px y x yO F l()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2p x = 1=e ()022>=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e()022>-=p py x ()0,0 y 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p 2p y = 1=e注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）抛物线的简单几何性质(三）2．直线与抛物线：（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为： d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
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抛物线的简单几何性质
一、教材分析
1.教材的地位和作用：《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
2.学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
3.教学目标：
知识目标：掌握抛物线简单几何性质，理解其产生过程；根据几何性质确定抛物线的标准方程；引导学生归纳总结出焦点弦长公式。
能力目标：学会用类比思想分析解决问题，培养学生掌握知识的类比、归纳、概括和推理能力。
情感目标：通过自主探究、合作交流激发学习兴趣和探索问题的勇气，培养良好的思维品质。
4.教学重点难点
重点：从知识上来讲，要掌握抛物线几何性质的初步运用及焦点弦长公式；从学生的体验来说，需要关注学生在探究抛物线性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。
难点：抛物线几何性质的灵活应用
二、教学方法与手段
1.教法：本节课采用五环教学法，引导学生自己观察、归纳、分析，培养学生
采用自主探究的方法进行学习，并采用小组积分制，充分调动学生学习的积极性，使学生从中体会学习的乐趣。
2.学法：（1）类比学习：通过椭圆、双曲线的几何性质类比学习抛物线的几何性质.
（2）小组合作学习：将学生分成几个小组，通过小组内讨论交流，归纳得出抛物线的简单几何性质。
3.教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程：
（一）问题情境
回顾上节课所学抛物线的定义及其标准方程。
（学生填表并完成自我检测）
定义
图形
标准方程
焦点
准线
设计意图：用表格的形式进行复习直观形象，有助于对所学知识的系统掌握。
自我检测：1.抛物线24y x =的准线方程是_____ 2.抛物线
212y x =上与焦点距离等于
9的点的横坐标_____
设计意图：通过具体题目的练习，加深对抛物线定义和标准方程的理解。
（二）合作探究
下面同学们类比椭圆和双曲线的性质探索抛物线的几何性质有哪些？如何研究？（小组合作交流）
探究新知：抛物线的几何性质
图形
标准方程
范围
对称性
顶点
离心率
通径
抛物线的简单几何性质，突出重点知识。
然后通过小组讨论填表，让学生加深记忆，掌握性质。
培养学生归纳，概括的能力。
同时思考P对抛物线开口大小的影响。
(三)典例分析
例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ，求它的标准方程。
（学生回答）
(2,22)
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线
有几条？求出它们的标准方程。
设计意图：变换条件产生两种情况，让学生从变式中体会分类讨论的数学思想。
例2：斜率为1的直线l 经过抛物线2
4y
x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，
B 两点，求线段AB 的长 。
（学生分析思路，老师点拨）
思路一：联立解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式。
思路二：联立但不解方程组，利用根与系数的关系和弦长公式。
思路三：联立但不解方程组，利用根与系数关系及抛物线的定义。
设计意图：小组讨论，发现三种解题思路，通过比较三种解法的优缺点，突破难点。
得出焦点弦长公式。
学生发言踊跃，效果不错。
变式：过抛物线 2
2y x = 焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，若|AB|=
7，求线段AB 中点的横坐标。
设计意图：通过焦点弦长公式的逆用使学生熟练掌握公式。
同时也培养了学生的逆向思维习惯。
(四)巩固练习
1、求顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(6,3)P --的抛物线方程。
2、过抛物线2
4y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点
的横坐标为3，则
AB
等于（ ）。
设计意图：通过具体题目巩固本节课所学内容，检查教学效果。
(五)课堂小结
1、掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径、及焦点弦长公式。
2、数学中的分类讨论思想和数形结合思想。
设计意图：从基础知识、基本数学思想两方面，让学生做出本节课的总结，
目的在于培养学生分类整合以及概括能力。
（六）课后作业：习题2.4 A组 3.4.5.6
设计意图：本节课是抛物线简单几何性质第一课时，所以布置课本作业，达到夯实双基的目的。
（七)板书设计
抛物线的简单几何性质例1 巩固练习
例2
设计意图:这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对椭圆几何性质的理解,便于记忆,有利于提高教学效果.
（八)课后反思评价:本节课教学突出以下几个特点：
1．自主探索、合作交流贯穿本课．课标指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
”本节课中，从几何性质的发现到得出焦点弦长公式，再到知识的巩固都是学生自主探究完成，这种学习方式贯穿整堂课。
2．强调类比推理与问题的解决．学生通过类比的学习方法，体会前后知识的联系。
3．关注学生多种思维能力的培养．在合作探究的过程中关注学生的批判性思维的培养；在课堂练习中关注学生的发散思维，逆向思维及多向思维的培养。