高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第5章 第2节 平面向

第五章 第二节
一、选择题
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b
[答案] B
[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，
即⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝4，λ＋μ＝2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝－1， ∴c ＝3a －B ．
2．(文)已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )，且a ∥b ，则y 等于( ) A ．5 B ．10 C ．325
D ．15
[答案] B [解析] ∵a ∥b ， ∴4y －40＝0，得y ＝10.
(理)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 [答案] D
[解析] 考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件． a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，
由题意可得3×(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.
3．(文)(2014·北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9) [答案] A
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算． ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)， ∴2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．
(理)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) [答案] B
[解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A 中，e 1＝0，且e 2与a 不共线；C 、D 中的两个向量都是共线向量且不与a 共线，故表示不出A ．B 中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出A ．
4．(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →
，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2
[答案] B
[解析] 如图，设AB →＝λAC →，
则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC → ＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA → ＝(1－λ)OA →＋λOC →
∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.
5．(文)已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →
； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] C
[解析] ∵OC →＝(－2,1)，BA →
＝(2，－1)， ∴OC →＝－BA →，∴OC →∥BA →.
又由坐标知点O ，C ，A ，B 不共线， ∴OC ∥BA ，①正确； ∵AB →＋BC →＝AC →
，∴②错误； ∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →
，∴③正确； ∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →
＝(－4,0)， ∴④正确．故选C ．
(理)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )
A ．AC →＝A
B →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →
C ．AO →＝12AB →＋12A
D →
D ．A
E →＝53
AB →＋AD →
[答案] D
[解析] 由向量加法的三角形法则知： BD →＝AD →－AB →
正确，排除B ； 由向量加法的平行四边形法则知： AC →＝AB →＋AD →，
AO →＝12AC →＝12AB →＋12
AD →
，排除A ，C ，故选D ．
6．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ； ③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μC ． ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μC ．
上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] C
[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ
＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．
二、填空题
7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． [答案] 1
2
[解析] ∵a ∥b ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，∴x ＝1
2
.
8．(2014·陕西高考)设0<θ<π
2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝
________.
[答案] 1
2
[解析] 本题考查向量共线，倍角公式． ∵a ∥b ，∴sin2θ＝cos 2θ，
2sin θcos θ＝cos 2θ，即sin θcos θ＝tan θ＝1
2
.
9．e 1，e 2 是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，若b ，c 为一组基底，则a ＝________.
[答案] －118b ＋7
27c
[解析] 设a ＝λ1b ＋λ2c ，
则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4λ1－3λ2＝－1，
2λ1＋12λ2＝3，
解得⎩⎨⎧
λ1＝－1
18，
λ2
＝7
27，
∴a ＝－118b ＋7
27C ．
三、解答题
10．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． [解析] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．
当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
4t 2<0，2t 1＋4t 2
≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →
＝(4t 2,4t 2＋2)，
∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， 又∵AB 、AM 有公共点A ，∴A 、B 、M 三点共线.
一、选择题
1．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、C ．设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则角C 的大小为( )
A ．π
6
B ．π
3
C ．π
2
D ．2π3
[答案] B
[解析] ∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 即ab ＝a 2
＋b 2
－c 2
，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
3
，故选B ．
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →
＋AC →
)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A ．外心
B ．垂心
C ．内心
D ．重心
[答案] D
[解析] ∵OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →
)， ∴OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →
)，λ∈[0，＋∞)， ∴AP →＝λ(AB →＋AC →)， ∴P 在BC 边的中线上．
故P 的轨迹通过△ABC 的重心，故选D ． 二、填空题
3．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n,0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1
n 的值为________．
[答案] －1
2
[解析] 解法1：设BC 方程为y m ＋x
n ＝1，
∵A 、B 、C 共线，
∴
－2m ＋－2
n
＝1， ∴1m ＋1n ＝－12
. 解法2：∵A 、B 、C 共线， ∴AB →∥AC →，
∵AB →＝(2，m ＋2)，AC →
＝(n ＋2,2)， ∴4－(m ＋2)(n ＋2)＝0， ∴mn ＋2m ＋2n ＝0， ∵mn ≠0，∴1m ＋1n ＝－1
2
.
4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.
[答案] {(－2，－2)}
[解析] 由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋3λ1＝－2＋4λ2
2＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．
三、解答题
5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →
，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的
交点为M ，又CM →＝tCP →
，试求t 的值．
[解析] ∵CP →＝23CA →＋13CB →
，
∴3CP →＝2CA →＋CB →
，
即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →， 即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A )， 如图所示，
∵A ，M ，Q 三点共线，
∴设CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2
CB →＋(x －1)AC →，
而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x 2－1)AC →.
又CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →
，
由已知CM →＝tCP →
可得， x 2AB →＋(x 2－1)AC →
＝t (13
AB →－AC →)， ∴⎩⎨⎧
x 2＝t 3
，x
2－1＝－t
，解得t ＝3
4
.
6．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．
[解析] 解法1：设P (x ，y )，则OP →
＝(x ，y )， ∵OP →，OB →共线，OB →
＝(4,4)， ∴4x －4y ＝0.
①
又CP →＝(x －2，y －6)，CA →
＝(2，－6)， 且向量CP →，CA →
共线， ∴－6(x －2)－2(6－y )＝0.
②
解由①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．
解法2：设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →
＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由AP →，AC →
共线的充要条件知 (4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34，∴OP →
＝(4t,4t )＝(3,3)，
∴P 点坐标为(3,3)．。