(优辅资源)辽宁省实验中学分校高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案

辽宁省实验中学分校2016-2017学年度上学期阶段测试
文科数学高三年级命题人：厉鸣校对人;侯军旺
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）
A．2个 B．4个C．6个 D．8个
2.若复数z=cosθ﹣+（﹣sinθ）i（i是虚数单位）是纯虚数，则tanθ的值为（）
A．﹣ B． C．﹣ D．±
3.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）
A．0 B．4 C．﹣ D．
4..已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）
A．9 B．17 C．36 D．81
5．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）
A． B．1﹣C． D．1﹣
6．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
7已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）
A．②④ B．①②④C．①④ D．①③
8.已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻
两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）
A
． B
．﹣ C
． D
．﹣
线段AB 9.如图所示，已知
||=1，
|
|=， =0，点C 在于
上，且∠AOC=30°，设
=m
+n
（m ，n∈R），则m ﹣n 等
（ ）
A
． B
． C
．﹣ D
．﹣ 10.已知椭圆C ：
+
=1的左焦点为F ，A ，B 是C 上关于原点对称的两点，且∠AFB=90°，
则△ABF 的周长为（ ） A ．10 B ．12
C ．14
D ．16
11.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4， 该几何体的表面积为（ ） A .（4+4）π B ．（
6+4）π
C ．（
8+4
）π D ．（
12+4
）π
12.若存在两个正实数x ，y ，使得x+a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）=0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，0）∪ C ．，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，
，第5组，
绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．
（Ⅰ）分别求出a ，x 的值；
（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽
取多少人?
（III ）在（II ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，
求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
19、(本小题满分12分)
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2,且过点A .直线
y m =
+交椭圆C 于B ,D (不与点A 重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
21、(本小题满分12分) 已知函数()ln a
f x x x
=+
(0)a >.
(Ⅲ)讨论关于x 的方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-的实根情况. 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 内，点),(y x P 在曲线C ：θθθ(sin ,
cos 1⎩
⎨⎧=+=y x 为参数，R ∈θ）
上运动．以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)4
cos(=+π
θρ．
（Ⅰ）写出曲线C 的标准方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点M 在曲线C 上移动，试求ABM ∆面积的
最大值．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于x的不等式lg(|3||7|).
x x m
+--<
（Ⅰ）当1
m=时，解不等式；
（Ⅱ）设函数|)
7
|
|3
lg(|
)
(-
-
+
=x
x
x
f，当m为何值时，m
x
f<
)
(恒成立
辽宁省实验中学分校2016—2017学年度上学期阶段性测试
数学文科参考答案 高三年级
一、AACDA BCBBC DA 二、13. ﹣1﹣
e 14. 15. -1 16. 0或-1
三、
17、（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =， 由AB
C △为锐角三角形得π6
B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-
- ⎪6⎝⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos 22A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
由ABC △为锐角三角形知，
22A B ππ->-，2263B ππππ
-=-=． 2336
A πππ<+<，
所以1sin 2
32
A π⎛⎫+
< ⎪
⎝⎭．
3A π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，． 18、证明：由多面体AEDBFC 的三视图知，三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直角三角形，2==
AE DA ，⊥DA 平面ABEF ,侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方
形 ……………2分 (1)连结EB ，则M 是EB 的中点，
F
D
A
在△EBC 中，EC MN //，………4分 且EC
⊂
平面CDEF ，MN
⊄平面CDEF ，
∴MN ∥平面CDEF ………6分 (2) 因为⊥DA 平面ABEF ，EF
⊂
平面ABEF ,
AD EF ⊥∴,
又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ，∴四边形CDEF 是矩形,
且侧面CDEF ⊥平面DAE …………8分 取DE 的中点,H ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH
,
且⊥AH
平面CDEF .…………10分
所以，多面体CDEF A -的体积3
8
3131=⋅⋅=⋅=AH EF DE AH S V CDEF .………12分
19、解：（I ）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=，
第2组频率为：0.2，人数为：1000.220⨯=，
所以18200.9a =÷=， …………………………………………………2分 第4组人数1000.2525⨯=，
所以250.369x =⨯=. …………………………………………………4分
（II ）第2,3,4组回答正确的人数的比为18:27:92:3:1=， ………………………5分
所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，1人. ………………………7分 （III ）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件
A ，抽取的6人中，第2 组
的设为1a ，2a ，第3组的设为1b ，2b ，3b ，第4组的设为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：
12(,)a a ,11(,)a b ,12131(,),(,),(,)a b a b a c ,2122232(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c ，12131(,),(,),(,)b b b b b c ,232(,),(,),b b b c 3(,)b c . ………………………………9分
其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：12(,)a a ,11(,)a b ，
12131(,),(,),(,)a b a b a c ,2122232(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c ． …………………10分
93
()155
P A =
=． ………………………………………………………………12分 20、【答案】(Ⅰ)
a
c e ==
22,
2
2211a b
+=,2
22c b a +=∴2=a ,2=b ,2=c ∴2
2
142x y += (Ⅱ)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,
由22
=+2142
y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪
⎩22
20x m ⇒+-= ∴
282m 0∆=->22m ⇒-<<
, 12
,x x += ① 2
122x x m =- ②
121BD x =
-=设d 为点
A 到直线BD:
=
+2y x m 的距离,∴
d =
∴
12
ABD S BD d ∆=
=≤
当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立
∴当m =时,ABD ∆的面积最大,
21、【答案】(共14分)解:(Ⅰ) ()ln a
f x x x
=+,定义域为(0,)+∞, 则|221()a x a
f x x x x
-=
-=. 因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈, 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a . (Ⅱ)由题意,以
00(,)
P x y 为切点的切线的斜率k 满足
002
01
()2
x a k f x x -'==
≤0(0)x >, 所以2
0012
a x x ≥-
+对00x >恒成立. 又当00x >时, 200112
2
x x -+≤,
所以a 的最小值为
1
2
. (Ⅲ)由题意,方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-化简得 21ln 2
b x x =-
+1
2(0,)x ∈+∞ 令211()ln 22h x x x b =--+,则1(1)(1)
()x x h x x x x +-'=-=.
当(0,1)x ∈时, ()0h x '>,当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 所以()h x 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减. 所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值,最大值为211
(1)ln1122
h b b =-
⨯-+=-. 所以 当0b ->, 即0b <时,()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-有两个实根, 当0b =时, ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-有一个实根, 当0b >时, ()y h x = 的图象与x 轴无交点,
方程32()1
()22
x bx a f x x ++=
-无实根 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）消去参数θ，得曲线C 的标准方程：.1)1(22
=+-y x
由0)4
cos(=+
π
θρ得：0sin cos =-θρθρ，
即直线l 的直角坐标方程为：.0=-y x
（2）圆心)0,1(到直线l 的距离为2
2
1
11=
+=d ，
则圆上的点M 到直线的最大距离
为12
2
+=
+r d （其中r 为曲线C 的半径），
2)2
2(
12||2
2=-=AB ．设M 点的坐标为),(y x ，
则过M 且与直线l 垂直的直线l '方程为：01=-+y x ，
则联立方程⎩⎨⎧=-+=+-0
11
)1(22y x y x ，
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=22122y x ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x ，
经检验⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=22122y x 舍去．
故当点M 为)22
,122(
-+时，ABM ∆面积的最大值为
=∆max )(ABM S .2
12)122(
22
1+=+⨯⨯ 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，
可得其解集为{|27}.x x <<
（2）设|3||7|t x x =+--， 则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ， 因x y lg =在),0(∞+上为增函数， 则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， 故只需1>m 即可，
即1m >时，m x f <)(恒成立．。