高中数学人教A版选修2-1第一学期第二次阶段考试.docx

河北师大附中高新校区2012～2013学年度第一学期第二次阶段考试
高二数学试题
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题。

本试卷共150分。

考试时间120分钟。

卷Ⅰ（选择题，共60分）
注意事项： 1、答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、考号、科目填涂在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

将II
卷的试题答在答题纸的相应位置，答在试卷上无效。

一、选择题（共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要
求的，请把你认为正确的答案涂在答题卡上）
1. 若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）
A.q p ∧是真命题
B.q p ∨为假命题
C.p ⌝是真命题
D.q ⌝是真命题
2. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）
A. 两次都中靶
B. 至多有一次中靶
C.两次都不中靶
D.只有一次中靶
3. 在区间]2,1[-上随机取一个数x ，则]1,0[∈x 的概率是（ ） A.
21 B. 31 C. 41 D. 6
1 4. 设R a ∈，则1>a 是11<a 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 从装有3个红球，2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（ ）A.53 B. 54 C. 107 D. 25
7 6.设双曲线)0,0(1222
>>=-b a y a
x 焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ） A.x y 2±= B. x y 2±= C. x y 22±
= D. x y 2
1±= 7. 下列命题中正确的是（ ）
A.若命题01,:2<+-∈∃x x R x p ，则命题01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ；
B.122=+ny mx 是椭圆的充要条件是0,>n m ；
C.任意随机事件发生的概率是p ，则)1,0(∈p ；
D.若向量),)(3,(R x x a ∈=则“4=x ”是5=a 的充分不必要条件.
8.在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.双曲线
C. 抛物线
D.圆
9. 已知命题“若b a >，则2
2bc ac >”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（ ）
A. 0个
B. 1个
C.2个
D. 3个
10. 设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ,则点A 的坐标是（ ） A.)22,2(),22,2(- B. )2,1(),2,1(- C. )2,1( D. )22,2( 11. 若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤---≥≤042y x x y x y 表示的平面区域为M ,122≤+y x 所表示的平面区域为N ，
现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率是（ ） A. 643π B. 83π C. 7
π D. 71 12. 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 25 B. 5 C. 6 D. 2
6 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.将一个骰子连续投掷2次，则两次点数之积是5的倍数的概率为
14.椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14
52
2=-y x 的顶点和焦点，椭圆C 的方程是 15.命题01:2
<-x A ，写出命题A 的一个必要不充分条件 16. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
1=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两实数分别为21,x x ，则过点),(21x x P 的直线l 与圆122=+y x 交点个数为 个。

①2个；②1个；③0个；④无数个
正确的序号是
三、解答题（共70分）
17.（10分）命题p:01,2
≥+-∈∀ax x R x 恒成立；命题q:方程022=--a x x 有实数根，若q p ∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围.
18. （12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.选择适当的字母或符号代表这六名教师，若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
19. （12分）已知点)0,6(-A 、)0,6(B ，动点P 满足4+=PB PA .
(1) 求动点P 的轨迹方程C ；
（2）若过点)2,0(的直线l 与轨迹方程C 交于两点，求直线l 的斜率取值范围.
20. （12分）如图所示，正方形ABCD 的边长为2，A 为坐标原点， （1）在正方形ABCD 中随机取一点，取到的点到A 点的距离大于1的概率； （2）在]2,0[上任取两个数y x ,，使得x y 2≤事件的概率. 21. （12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为36，右焦点为)0,22(.斜率为1的直线l 与椭圆交于A,B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为)2,3(-P .
(1)求椭圆的方程；（2）求PAB ∆的面积.
22. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 其离心率23=e ，右焦点为F ，抛物线x y 82=的焦点是椭圆的一个顶点。

(1)求椭圆的方程；
(2)过点F 的直线与椭圆分别交于B A ,两点，交y 轴于P 点，且BF PB AF PA 21,λλ==，试问：21λλ+是否为定值，若是，则求出该值，否则说明理由。

河北师大附中高新校区2012～2013学年度第一学期第二次阶段考试
高二数学试题答案
一、选择题 1-5. DCBAC 6-10. CDACB 11-12. AA
二、填空题 13.36
11 ； 14. 14922=+y x ； 15.真包含（-1，1）； 16. ①②③ 17.解：
D
C
B y x A
1
44:220
4:2-≥∴≥+=∆≤≤-∴≤-=∆a a q a a p 又因为q p ∧⌝为真命题，所以q p ,⌝均为真命题。

⎩
⎨⎧-≥-<>∴122a a a 或即2>a a ∴的取值范围为),2(+∞。

18.解：设甲校的男老师为21,m m ，女老师为w ；乙校的男老师为M ，女老师为21,w w ，则六名中任选两名可能结果是
),(),,(),,(),,(),,(21111121w m w m M m w m m m ，),(),,(),,(),,(221222w m w m M m w m ),(),,(),,(21w w w w M w ，),(),,(21w M w M ),(21w w 共15种
所以选出的2名教师来自同一个学校为4种，故概率为15
4。

19.解：（1）由题意可知，624=<=-AB PB PA
所以 点P 的轨迹是以B A ,为焦点的双曲线的右支， 且2,6,422=∴==b c a ，
所以，点P 的轨迹方程为)2(12
42
2≥=-x y x （2）设直线为2+=kx y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=4
2222y x kx y 得 0824)21(22=---kx x k 因为直线与曲线交于两点，所以方程有两个正根，所以
A
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>--=⋅>-=+>-=∆≠-0218021240323202122122122k x x k k x x k k 解得22101212-<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<k k k 20.解：（1）16
1616
1441ππ
π
-=-=-=P （2）43411=-=P 21.解：（1） 14
124,3222,3
62
22=+∴==∴===
y x b a c a c e （2）设直线方程为m x y l +=:，),(),,(2211y x B y x A ，则
⎩⎨⎧=++=12
322y x m x y 得01236422=-++m mx x 4123,23,12192221212
-=⋅-=+-=∆∴m x x m x x m B A ,∴中点)4
,43(m m C - 以AB 为底边的等腰三角形顶点为)2,3(-P ，
所以1-=CP k ，即143342-=+--
m m 得2=m 2
23,23412192212212==-=-+=∴CP m x x k AB 2
921=⋅=∴ΛCP AB S ABP
22.解：（1）抛物线的焦点为)0,2(，32
3,2=∴===∴c a c e a Θ，12=∴b 椭圆的方程为14
22
=+y x （2）)0,3(F ，设过点F 的直线为)3(-=x k y ，则)3,0(k P -，设),(),,(2211y x B y x A 则
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=4
4)3(22y x x k y 得 041238)41(2222=-+-+k x k x k 2
2212221241412,413816
16k k x x k k x x k +-=⋅+=++=∆∴ 由BF PB AF PA 21,λλ==得
)
3()
3(222111x x x x -=-=λλ 8332
21121-=-+-=+∴x x x x λλ。