数据指标-3章 统计数据的描述度量

第3章 统计数据的描述度量
本章教学目标：

ห้องสมุดไป่ตู้

度量中心（集中）趋势的指标 度量离散程度（变异性）的指标 度量偏斜程度的指标 度量两种数值变量关系的指标 掌握利用 Office 软件计算各种统计指标
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数据分布的特征
集中趋势 (位置) 离中趋势 (分散程度) 偏态和峰度 （形状）
使用Excel函数求加权算术平均数
利用Excel“数学和三角函数”中的 SUMPRODUCT 函数可以方便地计算出分组数据的 加权算术平均数。 语法规则： 格式：SUMPRODUCT(<区域1>,<区域2>,…) 功能：返回两个或多个区域中对应元素乘积之和。 例：利用比特啤酒公司各销售点分组频数分布数 据，求各销售点的平均销售量。
规则3 如果结果既不是整数又不是半数，
结果取最接近的整数，并选数据。
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数值型未分组数据的四分位数
(7个数据的算例)
原始数据: 排 序: 位 置: 23 21 1 21 23 2 30 25 3 32 26 4 28 28 5 25 30 6 26 32 7


N+1 7+1 = =2 QL位置 = 4 4 3(N+1) 3(7+1) = =6 QU位置 = 4 4
f xG x1f1 x2f 2 xnf n
f i — 各比率出现的频数
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例：某公司原料成本随时间增长的情况如下表
1992 成本 年增长率(%) 200 1993 228 14 1994 239.4 5 1995 244.2 2
求原料成本的平均年增长率。
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例：计算下表数据的中位数
分组 0-5 5-15 15-25 25-35 35-45 >45 各组频数 2 6 20 15 8 4 累计频数 2 8 28 43 51 55
解：Σ f/2 = 27.5，中位数在“15-25‖的组中，
1 f S m 1 27.5 8 2 Me L d 15 10 24.75 fm 20
N+1
4 3(N+1)
未分组数据：
上四分位数(QU)位置 =
4
组距分组数据：
N 下四分位数(QL)位置 = 4 上四分位数(QL)位置 = 3N 4
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未分组数据四分位数的确定
规则1 如果结果是整数，四分位数等于
那个整数位置的数据。
规则2 如果结果是半数（如2.5，3.5
等），四分位数等于相邻有序数据的平均数。
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啤酒销售量的分组统计
销售量 10—19 20—29 30—39 40—49 50—59 60—69 70—79 80—89 合计 频次 1 3 5 16 20 9 4 2 60 比重 1.7% 5.0% 8.3% 26.7% 33.3% 15.0% 6.7% 3.3% 100.0% 组中值 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 51.833333 加权算术平均数= 51.83333
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使用Excel的统计函数返回未分组数据的中位数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Median = 5
Median = 5
可以使用 Excel 统计函数中的 MEDIAN 函数返回未分组 数据的中位数。
格式：MEDIAN(<区域或数组1>,<区域或数组 2>,…) 功能：返回所有参数中数据的中位数。
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数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
集中趋势
众 数 中位数
离散程度
分布的形状
偏 态
均 值
四分位数
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变异系数 四分位差 方差和标准差 离散系数
峰 度
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§3.1 度量集中趋势的平均指标
平均指标是说明社会经济现象一般水平 的统计指标，反映标志值分布的集中趋势 平均指标按计算方式可分为数值平均数和 位置平均数两大类
解一： xG 3 1.141.051.02 1.0688
解二： xG 3 244.2 / 200 1.0688
年平均增长率 = 1.0688 - 1 = 6.88%
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X1 $100,000
X2 $50,000
X3 $100,000
50% decrease 算术平均数:
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四分位数(Quartile)(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一 2. 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
QL
25%
25%
QM
25%
QU
3. 不受极端值的影响
4. 可用于定序数据，也可用于数值型数据 ，但不能用于定类数据
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四分位数(位置的确定)
下四分位数(QL)位置 =
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xi f i x fi
单项数列 分组数列
xi
家庭人口(分组) 1 2 3 4 5 合 计
fi
职工户数(频数) 7 38 105 54 31 235
xi
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上限 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
组中值 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5
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一. 数值平均数
——是根据总体各单位所有标志值计算出的平均数。
包括算术平均数、几何平均数。
(一)算术平均数（Arithmetic Mean） 算术平均数的基本公式
总体单位标志总量 算术平均数 总体单位总数
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算术平均数的计算
(1)简单算术平均数 1 n x xi n i 1 n —总体单位总数；xi —第 i 个单位的标志值。 (2)加权算术平均数 xi f i x fi xi —第 i 组的代表值(组中值或该组变量值)； f i —第 i 组的频数。
100% increase
(.5) (1) X .25 2
R G [(1 R1 ) (1 R2 ) (1 Rn )]1/ n 1 [(1 (.5)) (1 (1))]1/ 2 1 [(.50) (2)]1/ 2 1 11/ 2 1 0%
Σ f/2=143/2=71.5，中位数所在“100～150”的组，
71.5 55 f / 2 S m1 Me L d 100 50 119.64 （万元） fm 42
众数组为“100～150”的组，
M0 L
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1 42 35 d 100 50 115.22 (万元) 1 2 (42 35) (42 26)
在数据量很大的时候，可以使用 Excel 统计函数 中的 MODE 函数返回众数。 格式：MODE(<区域或数组1>,<区域或数组2>,…) 功能：返回所有参数中数据的众数。
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分组数据众数的确定
对于分组数据的统计资料，众数也要用插值法来 估算。
(1)确定众数所在的组 对于等距分组，众数组是频数最高的组； (2)使用以下插值公式计算
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(二)众数(Mode)
——是总体中出现次数最多的标志值，记为M 0。 众数明确反映了数据分布的集中趋势，也是一种 位置平均数，不受极端数据的影响。但并非所有数 据集合都有众数，也可能存在多个众数。 在某些情况下，众数是一个较好的代表值。 例如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在 进行生产和存货决策时，更感兴趣的是最普遍的尺 寸而不是平均尺寸。 又如，当要了解大多数家庭的收入状况时，也要 用到众数。
(一)中位数(Median) ——将总体各单位标志值按由小到大的顺序排列后
处于中间位置的标志值称为中位数，记为Me 。 中位数是一种位置平均数，不受极端数据的影响。 当统计资料中含有异常的或极端的数据时，中位数比算 术平均数更具有代表性。 比如有 5 笔付款：9元，10元，10元，11元，60元 付款的均值为 20 元，显然这并不是一个很好的代 表值，而中位数 Me = 10 元则更能代表平均每笔的付款 数。
QL= 23
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QU = 30
数值型未分组数据的四分位数
(6个数据的算例)
原始数据: 排 序: 位 置: 23 21 1 21 23 2 30 25 3 28 26 4 25 28 5 26 30 6


N+ 6+1 = = 1.75 QL位置 = 1 4 4 3(N+1) 3(6+1) = = 5.25 QU位置 = 4 4 QL= 23 QU = 28
几何平均数:
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使用Excel求几何平均数
可以使用Excel统计函数中的GEOMEAN 函数返 回几何平均数
语法规则： 格式：GEOMEAN(<区域或数组1>,<区域或数组 2>,…) 功能：返回所有参数中数据的几何平均数。
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二. 位置平均数
位置平均数是根据总体标志值所处的特殊位置确定的一 类平均指标。包括中位数和众数两种。
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(二)几何平均数(Geometric Mean)
当统计资料是各时期的发展速度等前后期的两两 环比数据，要求每时期的平均发展速度时，就需要 使用几何平均数。 几何平均数是 n 个数连乘积的 n 次方根。 1. 简单几何平均数
xG n x1 x2 xn
2. 加权几何平均数
解：众数组是“15-25”的组，则
1 M0 L d 1 2
20 6 15 10 22.37 (20 6) (20 15)
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三.算术平均数和位置平均数间的关系
1.频数分布呈完全对 称的单峰分布，算术平 均数、中位数和众数三 者相同 2.频数分布为右偏态 时，众数小于中位数， 算术平均数大于中位数 3.频数分布为左偏态 时，众数大于中位数， 算术平均数小于中位数
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答案
注册资金(万元) 企业数 累计企业数 组中值 50以下 20 20 25 50～100 35 55 75 100～150 42 97 125 150～200 26 123 175 200～250 15 138 225 250以上 5 143 275
xi f i x 123.6 （万元） fi
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众数
(众数的不唯一性)
无众数 原始数据:
10 5 9 12 6 8
一个众数 原始数据:
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
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未分组数据众数的确定
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mode = 9
其中：
1 M0 L d 1 2
Δ1 d L
Δ2
L — 众数组的下限
Δ1— 众数组与前一组的频数之差
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Δ2 — 众数组与后一组的频数之差 d — 众数组的组距 21
众数
例：计算下表数据的众数
分组 0-5 5-15 15-25 25-35 35-45 >45 各组频数 2 6 20 15 8 4
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f
0
X (Me，M0) x
f
0 f
M0 Me X
x
0
X Me M0
x
补充习题
补充题：某地区私营企业注册资金分组资料如下， 求该地区私营企业注册资金的平均数、中位数和众 数。
注册资金 50以下 50～100 100～150 150～200 200～250 250以上 (万元) 企业数 20 35 42 26 15 5
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Excel中四分位数的计算过程
（1）如果共有 n 个数，则有 n 1个数据间隔，每个四分位间有
（2）第 nthquart 个四分位数为原有序数中的第 nth 1
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分组数据中位数的确定
对于分组数据的统计资料，中位数要用插值法来估算。 (1)计算各组的累计频数； (2)确定中位数所在的组 ——是累计频数首次包含中位数Σ f /2的组。
1 f S m 1 Me L 2 d fm
其中：L — 中位数所在组的下限；
Sm-1 — 中位数所在组前一组的累计频数； fm — 中位数所在组的频数； d — 中位数所在组的组距。