北京市海淀区达标名校2020年高考二月调研数学试卷含解析

北京市海淀区达标名校2020年高考二月调研数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )
A B C D 2．存在点()00,M x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此
点的切线0022
1x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．0,2⎛ ⎝⎦
B ．2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．,13⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
3．已知函数()sin()(0,0)3f x x π
ωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12
f π
-等于
（ ）
A ．-
2
B ．
2
C ．-
12
D ．
12
4．设i 是虚数单位，若复数5i
2i
()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．1
D ．1-
5．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）
A ．13
-
B ．
13
C ．65
-
D 6．已知抛物线C ：()2
20y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）
A ．3
B ．
3
C ．
D ．
13
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．
121
B ．
221
C ．
115
D ．
215
8．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）
A．
2
3
-B．
2
3
C．
3 D．-3
9．定义域为R的偶函数()
f x满足任意x∈R，有(2)()(1)
f x f x f
+=-，且当[2,3]
x∈时，2
()21218
f x x x
=-+-.若函数()log(1)
a
y f x x
=-+至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．
2
0,
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
B．
3
0,
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
C．
5
0,
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
6
0,
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
10．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y |y＝2x，x∈R}，则
A．P ⊆Q B．Q ⊆P
C．R
C P⊆Q D．Q ⊆
R
C P
11．要得到函数()sin(3)
3
f x x
π
=+的导函数()
f x
'的图像，只需将()
f x的图像（）
A．向右平移
3
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移
6
π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的
1
3
倍
C．向左平移
3
π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的
1
3
倍
D．向左平移
6
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
12．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111
ABCD A B C D
-中，点P是平面
1
1
1
1
D
C
B
A内一点，则三棱锥P BCD
-的正视图与侧视图的面积之和为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()x
f x ae
=与()1
g x x
=--的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为______. 14．实数x，y满足
1
21
y
y x
x y m
≥
⎧
⎪
≤-
⎨
⎪+≤
⎩
，如果目标函数z x y
=-的最小值为2-，则y
x
的最小值为_______．15．设数列{}n a的前n项和为n S，且对任意正整数n，都有
01
0110
12
n
n
a
n S
-
=
-
，则
1
a=___
16．A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12
PF F △的面积最大值为3，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
18．已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）已知数列{}n b 满足1
2n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求
920
65
n T n --大于1000的最
小的正整数n 的值．
19．（6分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l ：2
224x t y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若MN PN
PM MN
=，求实数a 的值. 20．（6分）设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2
n a 的前n 项和为T n
，
且()
2
43
n n
S p T --=
，
其中p 为常数． （1）求p 的值；
（2）求证：数列{a n }为等比数列；
（3）证明：“数列a n ，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”． 21．（6分）设椭圆E:
（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB
⊥？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
22．（8分）一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，F分别在AB，BC上，且AE CF x
==（单位：m）.现将该薄铝板沿EF裁开，再将DAE
∆沿DE折叠，DCF
∆沿DF折叠，使DA，DC重合，且,A C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF
-（图乙），记该容器的容积为V（单位：3
m），（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；
（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D MEF
-的容积V最大.
23．（8分）已知椭圆E：
22
22
1
x y
a b
+=的离心率为
1
2
，左、右顶点分别为A、B，过左焦点的直线l交椭
圆E于C、D两点（异于A、B两点），当直线l垂直于x轴时，四边形ABCD的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC、BD的交点为Q；试问Q的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r
，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r
，由已知，1
22
r ⨯=
r =
所以圆锥的体积2
13
V r π=
=. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 2．D 【解析】 【分析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】
因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y
a b
+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,
由
20020021b y b x x a y +
⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
,解得3
022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,
所以
c a >
故选：D 【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*
2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
得*2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ=
+-⋅
∈∈，又03
π
φ<<
，则可求出122n k -=，进而可得()12
f π
-
.
【详解】
解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，
所以,nT n N π*
=∈，所以*2,T n n
π
π
ω
=
=
∈N ，
所以*2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ∴=+-⋅∈∈，因为03
π
φ<<
022
6
3
k n π
π
π
π∴<
+-⋅
<
，
整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，
122n k ∴-=，
()22122
6
6
k k π
π
π
φπ∴=+-+⋅
=
，则26
6
2
n k π
π
π
π⋅
+
=
+
263
n k ππ
π∴
=+ 所以()sin 212126sin 66f n n ππ
πππ⎛⎫-
-- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫
=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫
=--+=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 4．D 【解析】 【分析】
整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【详解】 由题,()()()
()5252112222i i i
a a a i a i i i i -+
=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 5．B 【解析】 【分析】
直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -的坐标，利用(2)=0a b b -⋅求得参数m ，再用cos ,||||
a b
a b a b ⋅〈〉=
【详解】
依题意，2(2,3)a b m -=+-， 而(2)=0a b b -⋅， 即260m ---=， 解得8m =-， 则
213
cos ,||||565
a b a b a b ⋅〈〉=
==⋅. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 6．C 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【详解】
显然直线()02p y k x k ⎛
⎫=-
> ⎪⎝⎭过抛物线的焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
如图，过A,M 作准线的垂直，垂足分别为C ，D ，过M 作AC 的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF ，AC=AF ，又AM=MN ，所以M 为AN 的中点，所以MD 为三角形NAC 的中位线，故MD=CE=EA=
1
2
AC 设MF=t ，则MD=t ，AF=AC=2t ，所以AM=3t ，在直角三角形AEM 中，
ME=2222922AM AE t t t -=-=
所以22tan 22ME t
k MAE AE t
=∠=
==
故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 7．B 【解析】 【分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2
721C =，
其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率2
21
P =. 故选：B. 【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力. 9．B 【解析】 【分析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2
()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的
图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22
()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2
[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2
[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
()0f x ≤，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
2
2
1133,,01,03a a a a ∴
><<<∴<<. 故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】
解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C 11．D 【解析】 【分析】 先求得()'
f
x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】 依题意()'
553cos 33cos 33sin 33626f
x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以由()sin(3)3
f x x π
=+向左平移6
π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】
根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】
由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是
1
1212
⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A. 【点睛】
本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1a ≤ 【解析】 【分析】
先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()1g x x =--关于x 轴对称的函数为()1h x x =+，因为函数()e x f x a =与()1g x x =--的图象上存在
关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.
0a =时符合题意.
0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即
e x y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1
(1)y x a
=+是过定点(1,0)
-的直线，其斜率为1
a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a
=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设
e x
y =，1(1)y x a =+相切时，切点的坐标为(),e m m ，则e 1
11
e m m m a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩
，解得1a =，切线斜率为11a =，
由图可知，当
1
1a ≥，即01a <≤时，e x y =，1(1)y x a
=+的图象有交点，此时，2()e x f x a x =-与2()1h x x x =-++的图象有交点，函数2()e x f x a x =-与2()1g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称
点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤.
故答案为：1a ≤ 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 14．
17
【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数y
x
几何意义，从而求得结果. 【详解】
先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩
的区域如图可知在三角形ABC 区域内，
由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点， 由212y x y x =-⎧⎨
=+⎩，得3
5
x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，
所以点C 的坐标为()7,1．
y
x
等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，y
x
取得最小值，最小值为17，
故答案为：1
7
.
【点睛】
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 15．1- 【解析】 【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

【详解】
由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

16．100 【解析】
【分析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比. 【详解】
设抽取的样本容量为x ，由已知，30240160240400
x
=⨯++，解得100x =.
故答案为：100 【点睛】
本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【解析】 【分析】
（1）12PF F △的面积最大时，P
是短轴端点，由此可得bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得
1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆
面积最大，所以
122c b bc ⨯⨯==
2221
2bc c a a b c
⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =，即2
2
21m
d k =+， 由22143y kx m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
41234m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k
--+=+⋅-+=+++，
所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+，7
d =
若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，d x ==，
综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN . 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 18．（1）21n a n =-（2）4 【解析】 【分析】
（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()22
4,214n
n n n n b c n ===-，用错位相减法求出
1
2065499
n n n T +-=
+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】 解：()
1任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，
∴数列{}n a 是等差数列，
74449,749,7S a a ∴∴＝＝＝，
又
3a 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >，
则()()()2
77379d d d -=-+，解得2d ＝，
1731a d ∴-＝＝，
()12121n a n n ∴=+-=-；
()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-，
()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，
①﹣②得：()2
3
1
342424?·
·24214n
n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，
1
2065499
n n n T +-∴=
+⨯， 122920
4265
n n n T n ++-∴
==-，
由
920
65
n T n --1000＞得，2221000n +>，
2210n ∴+≥，
4n ∴≥，
∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列
{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;
在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式 19．（1）()2
20y ax a =>，20x y --=；（2）1a =.
【解析】 【分析】
（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2
sin 2cos a ρθθ=
求解，由22
42
x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可. （2
）将2242
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与2
2y ax
联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两
点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PN
PM MN
=，即2
MN PM PN =，利用韦达定理求解.
【详解】
（1）把cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入2
sin 2cos a ρθθ=，
得()2
20y ax a =>，
由22
4x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()2
20y ax a =>，20x y --=.
（2
）将2242
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）代入2
2y ax
得)()24840t a t a -+++=，
设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，
由MN PN PM MN
=得2
MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()2
12125t t t t +=， 所以()()2
84584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）取n ＝1时，由()2
4113
p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.
（2）241(2)33n n T S =
--，则21141
(2)33
n n T S ++=--，相减得到3a n+1＝4﹣S n+1﹣S n ，再化简得到211
2
n n a a ++=
，得到证明. （3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】
（1）n ＝1时，由()2
4113
p --=
得p ＝0或2，若p ＝0时，2
43
n n S T -=，
当n ＝2时，()
2
22
2
4113
a a
-++=
，解得a 2＝0或212
a =-
， 而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =
--①，则21141
(2)33
n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n+1＝4﹣S n+1﹣S n ③，则3a n+2＝4﹣S n+2﹣S n+1④， ④﹣③得211
2
n n a a ++=（n ∈N *）， 又因为2112a a =
，所以数列{a n }是等比数列，且112
n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n+1，2y a n+2依次为112n -，22n ，14
2
n +，
满足11214
2222
n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；
必要性：假设a n ，2x a n+1，2y a n+2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又11
2
n n a -=，
所以11111222222
x y
n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，
显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），
因为x 、y 均为整数，所以当k≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1， 故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证． 【点睛】
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
21．（1）22184
x y +=（2）22
83x y +=
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:22
221x y a b +=（a,b>0）过M （2
），
,1)两点,
所以2222421{611a b a b +=+=解得2
211
8{114
a b ==所以228{4a b ==椭圆E 的方程为22
184x y +=
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该
圆的切线方程为y kx m =+解方程组2
2
{184
y kx m
x y =++=得22
2()8x kx m ++=,即
222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>
122
2122412{2812km x x k m x x k +=-
+-=
+，
2222222
2
2
1212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k
--=++=+++=-+=+++ 要使OA OB ⊥,需使
,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以22
3880m k --=,所以22
38
08
m k -=≥又22840k m -+>,
所以222{38m m >≥,所以2
83m ≥,即26m ≥或26m ≤-
, 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为2
1m r k =
+,2
22
22
8
381318
m m r m k ===-++,26
r =
, 所求的圆为22
83x y +=
,此时圆的切线y kx m =+都满足26m ≥或26m ≤-, 而当切线的斜率不存在时切线为26
x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为
或
2626
(33
-
±满足OA OB ⊥, 综上, 存在圆心在原点的圆2
2
8
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
22．（1）1x =，1
3
V =；（2）当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大. 【解析】 【分析】
（1）由已知求得1x =，求得三角形EBF 的面积，再由已知得到MD ⊥平面EMF ，代入三棱锥体积公式求V 的值；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，则)EF x =-，2
4(1)
cos x EMF x -∠=，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求． 【详解】
解：（1）由题意，EFB ∆为等腰直角三角形，又AE CF x ==， 2(02)BE BF x x ∴==-<<，
EFB ∆恰好是该零件的盖，1x ∴=，则12
EBF S ∆=
， 由图甲知，AD AE ⊥，CD AF ⊥， 则在图乙中，MD ME ⊥，MD MF ⊥，ME
MF M =，
又ME ，MF ⊂平面EMF ，MD ∴⊥平面EMF ， 11111233323
EMF EBF V S MD S MD ∆∴===⨯⨯=；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF 中，ME MF x ==，
则)EF x -，24(1)
cos x EMF x -∠=
， ∴224
1116(sin 122
EMF
x S x EMF x x ∆-=∠=-
． 令242
1()()[16(1)]4
EMF f x S x x ∆==--，
32()8(1)(2)(24)f x x x x x x ∴'=--=-+-， 02x <<
，1x ∴=．
可得：当1)x ∈时，()0f x '>，当1x ∈，2)时，()0f x '<，
∴
当1x =时，EMF S ∆有最大值．
由（1）知，MD ⊥平面EMF ，
∴该三棱锥容积的最大值为13
EMF V S MD ∆=，且2MD =．
∴当1x =时，()f x 取得最大值，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大．
答：当x 1时，无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大． 【点睛】
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．
23．（1）22
143
x y +=
（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4- 【解析】 【分析】
（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及
222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线
,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-.
【详解】
（1）依题意可知2
12262b a a
⨯⋅=，解得23b =
，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解
得2a =，1c =，因此椭圆方程为22
143
x y +=
（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ． 由221,3412,
x my x y =-⎧⎨
+=⎩消去x 并整理得()22
34690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122
934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122
y y x x =
++，直线BD 的方程为：()2222y
y x x =--．
联系方程，解得1221
12
4263my y y y x y y +-=
+，又因为()121223my y y y -=+．
所以()122112
1212
626124433y y y y y y x y y y y -++---=
==-++．所以Q 的横坐标为定值4-．
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.。