利用数学分析知识证明不等式方法总结
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利用数学分析知识证Á明不等式方法总结 科 教 文 化 邵丽梅 韩宝慧
（黑河学院，黑龙江 黑河 164300）
摘 要：数学问题的解决关键在于对待数学题的方法，在学习数学的过程中，有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法化。在数学的 学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，数学分析中的不等式的应用占有很重要的地位, 其证明与很多知识相联系,本文主要研究利用如:函数单调性、凸凹性等，解决不等式问题。证明方法极其广泛,颇难对其结构作系统归纳。研究如何 巧妙地利用数分知识,探讨其不同证法,从而开阔思路,提高整体能力,有利于掌握数学分析中的基本理论。
但对混凝土强度有一定影响。
机盐类（包括氯盐类，氯盐阻锈类、无氯盐类）水
2.4 注意事项
复合类是在前三类的基础上符合引气，减
溶性有机化合物类，有机化合物与无机盐复合
含有水不溶物的粉状泵送剂应与胶凝材料 水，调凝剂等组分复合防水剂，防水剂中就加适
类，有机化合物与无机盐复合类；复合类（复合 一起加入搅拌机中；水溶性粉状泵送剂宜用水 量的引起组分和减水组分可以提供混凝土的防
是因变量改变量 由自由量改变量 来表示的
2 利用函数的单调性证明不等式
对已知条件或证明目标进行适当的转化,)以更有利
ÁÂ线性主部，当
1时
，由此容易证出:
当 时，
……但是
这些近似式的两边哪一边更大一些呢，这样的问题
一般用拉格朗日中值定理可以解决。
应用拉格朗日中值定理证明不等式的方法:
1.1.1 设辅助函数 ,并确定 施用拉格
而且有效的方法。这种方法的关键也是构造一个函
数 ，通过判别 的符号来判别 在指定
区间上的单调性，从而证明不等式。一般取不等式
两边的函数之差为 ，证明 ＞0 或
即可。
即 用函数的单调性证明不等式 <
的方法：
（1）设辅助函数 = -
;
（2）求 (x),并在区间上证出 (x) 0，且 (x)=0
的点不构成区间；
早强、引至、减水等组成）。
溶解后或直接加入搅拌机中，应延长混凝土搅 水抗渗性，但混凝土的含气量不得超量，否则对
在选用防冻剂时注意以下几点：
拌时间 30 秒。液态泵送剂应与拌和水一起加入 强度影响不利。
含强电解质无机盐的防冻剂严禁用于与 搅拌机中，溶液中的水应从拌和水中扣除。在不
3.3 检测要求
镀锌钢材或路铁箱接触部位的结果，有外露钢 可预测的情况下，混凝土坍落度损失过大时，严
得力工具，利用微分学证明不等。
3 利用泰勒公式证明不等式
明的不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不
对于所给条件涉及到具有二阶或更高阶导数
于证明的进行 ,使 ②不过于繁琐。
例 4. 设
，证明
证明：由泰勒公式
可得
，当
， 时，
，
所以，当
时，它知识
一起使用,如当所要证明的不等式中含有积分号时,
点将函数在该点展成泰勒展式;
导数的估计来确定变量间的大小关系，因此他们常
或
②根据已知条件 ,向着有利于证明目标不等
常是证明不等式的得力工具，因此通常采用利用微
即
式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以(结
分学证明不等式。
合已知条件证出不等式为止。注意具体的题目应用
由微分学的知识，函数
的微分
再分别讨论 或 的情况即可得证。 此方法时要灵活运用 ,有些题目在进行 ①前,要先
朗日中值定理的区间 ；
1.1.2 对 在 上施用拉格朗日中值定
理；
1.1.3 利用 ξ 与 之间的关系，对拉格朗日
公式进行加强不等式。
例 1 证明不等式
<
<
（0<a<b）
分析：所证不等式中函数
在[a，b]上满
足拉格朗日中值定理的条件。
证明：因为
在[a,b]上满足拉格朗日
中值定理的条件。
所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使
（3）由（2）即证得： < 。
例 3 证明不等式 < ㏑(1+ )< , >0.
分析：（1）构造辅助函数 =㏑(1+ )- ：
（2）求 并判断其符号：
当 0 时， =
- 1=
0，且只
有 =0 时， =0，因而 在[0, +∞）上严格递
减，则对 >0,有 < =0,即㏑(1+ )< .
（3）得出结论：
一般利用定积分的性质结合使用泰勒公式等进行
证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函
数的混合式时,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式
代替,往往使证明方便简捷。泰勒公式巧妙、合理、
灵活地应用, 可解决一些其它方法较难解决的问
题。
4 利用函数凹凸性证明不等式
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二
阶导数符号与凹凸函数之间的关系。将不等式写成
ÁÁÂÃÂÃÁÁÃÂÃÂÁÁÂÁ 关键词：功能;用途;外加剂种类
1 防冻剂
用于高层建筑，地下建筑大体积混凝土工程的 低其在静水压力下透水性，防水剂可用于层面、
1.1 功能与用途
泵送混凝土等。
地下室、隧道、水池等具有防水抗渗要求的混凝
防冻剂在我国北方的冬期施工时应用普
2.2 种类与选择
土或砂浆。防水剂不具有膨胀性，在实际工程中
遍。在混凝土中掺入防冻剂，可使混凝土负湿下
泵送剂品种繁多，但大部分都是复合型的 一般用于较小的混凝土工程和防水砂浆，在较
保持足够的液相，以利于水泥水化反应的继续 主要由减水剂、引冲剂、缓凝剂、和保型剂等复 小的混凝土工程和防水砂浆，在较大工程中应
进行，待转入正温后，混凝土强度能得到进一步 合而成。从而从外形上观看，泵送剂分为粉状和 用时，需要按规定留置后浇带，与膨胀混凝结合
如果函数 的二阶和二阶以上导数存在且
合应用，不断总结证明不等式的规律、技巧，从而找
分析：
在[a,b]上满足柯 有界,利用泰勒公式证明这些不等式.证题思路:①写
到证明不等式的有效途径，并且对其做出总结与归 西定理的条件，所以应用柯西中值定理证明。
出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式;②恰当选择
纳。
证明：当 时结论显然成立，当 时， 等式两边 与 ;③根据最高阶数的大小或界对展
防水剂到工地现场后，必须检测的项目包
筋预埋铁件而无防护措施的结构，使用直流电 禁加水，可在运输车中添加泵送剂，然后加速运 括：ph 值、密度（或细度）钢筋锈蚀、合格后方能
源的结构以及距离本直流电源 100mm 以内的 转搅拌，测定坍落度后使用。但后添加泵送剂剂 入库，并用于工程。
结构。
量应事先试验确定。
,
从而得到 0<a<ξ<b,
又因为
<
<
,即 <
<
.
这个例子是用拉格朗日中值定理证明不等式 的典型例题，有些不等式用此定理证明时，方法要 灵活些。
柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的 中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是 拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证
利用函数的单调性证明不等式是一种最常用
摘 要：混凝土外加剂即能改善混凝土的和易性，可泵送，又能调节凝结时间提高混凝的抗渗、抗冻、抗腐蚀性能，所以发展迅猛，已成为即水
泥、砂、石和水、混凝土必不可缺少的组成部分。目前我国外加剂市场鱼龙混杂，良莠不齐的现状，给工程质量留下隐患。因此，在使用外加剂时，认真
选择品种，并在施工中正确使用，对建筑工程质量控制的意义非常重大。
定义的形式,构造辅助函数 ,并讨论 在所
给区间上的凹凸性,从而得证。
设 在 二阶可导，有 可判断
的凹凸性，如果函数 在(a,b)上为凸函数，由对任
意
，有
；
如 果 函 数 在 (a,b)上 为 凹 函 数 ，由 对 任 意
有
。
两式中的等号都在 时取得.这里
及 的取值可根据所证明的问题而定，通常取 ,
此时，凸函数有
含氯盐的防冻剂严禁用于预应力混凝土
3 防水剂
结构，相对湿度大于 80%环境中使用的结构，
3.1 功能与用途
处于水位变化的结构，露天结构，经常受水淋，
防水剂可改善混凝土和砂浆的耐久性，降
责任编辑：胡明月
水冲刷的结构，无体积混凝土结构等。
1.3 检测要求
防冻剂运到工地应首先检查是否有沉淀、 结晶或结块，然后进行检测项目包括：密度或细 度，R- 7、R+28 抗压比强度比、钢筋锈蚀、合格 后方可入库、使用。掺防冻剂的混凝土应控制受 冻临界强度，试块不得在冻结状态下试压，按相 应规定解冻后再压。
微分学证明不等式
取或，
开式进行放缩。
1 利用微分中值定理证明不等式
在该区间上设
，由柯西中
泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系。
1.1 利用拉格朗日中指定理证明不等式
值定理得：
证明方法:
函数的单调性与极值问题其本身都与不等式
①根据已知条件,围绕证明目标 ,选取恰当的
密切相关，而微分学中值定理又使我们能够通过对
增大，还可以在混凝土在凝结过程中，使混凝土 液态两种。泵送剂品种，掺量的选择应该按生产 使用。
混度稳定，防止一冷一暖产生冻融现象。目前， 单位提供的推荐掺量环境湿度、泵送高度、泵送
3.2 种类与选择
单一组分防冻剂极少，一般很少有人使用，随着 距离。运输距离等要求经混凝土试配后确定。如
防水剂分为无机化合物和有机化合物、混
（1）a + b > 2 - ( a + b ) ( p > 1)
（2）a + b < 2 - (a + b) (0 < p < 1)
分析：若在不等式两边同除 2，则不等式变 为 + > + 和 + < + ，正是函数f (x)= x
在 a 和 b 处的平均值以及在 a 和 b 中点处的函数
值，因此用凹凸性来证明此不等式。 证明：设f (x)= x ，x>0，则f (x)= px - , f (x)= p(p- 1)x - 。
，凹函数有
, 利用凹凸性的这一特点可证
然。
的不等式，特别是已知最高阶导数的取值范围时， 明一些不等式，一般遇到某个函数在某两点的平均
1.2 利用柯西中值定理证明不等式
可考虑借助于函数的泰勒公式来估计有关的量，从 值及终点的关系时，就可考虑用曲线的凹凸性来证
柯西定理：设 f (x) 与 g(x) 均在 [a, b]上连续， 而证明不等式。应用泰勒公式的关键是确定关于哪 明。
还有缓凝、早强、减少用水量、增强、引气、减少
无论是任何厂生产的泵送剂运到施工现场 效果不好。
冻胀应力等效果。
后，必须检测的项目包括：ph 值、密度 （或细
有机化合物类防水剂主要是憎水性表面活
1.2 种类与选择
度）、坍落度、增加值、坍落度损失，复合要求后 性剂，聚合物乳液或水溶性树脂，防水效果好，
混凝土用防冻剂分为以下几种：强鲜质无 方能入库使用。
1.4 注意事项 粉状外加剂应防止受潮结块，如有结块， 经性能检验合格后应粉碎至全部通过 0.63mm 筛后方可使用；液体外加剂应放置凉干燥处。防 止日晒、受冻、污染、进水、蒸发，若有沉淀等现 象，经检验合格后方可使用，外加剂使用时严格 计量，其计量误差不应大于用量的 2%。
(上接 190 页)
不等式：
胡明月?21????ababp?201????ababp???????????????????????fxx?fxx0x?????1??fxpxfxppx1p0x???????fx???00abab?22abfafbf22???abab?2????abab01p0x??0fxfx0?00abab????????????????????????????2????abab上接190页混凝土外加剂的种类和应注意的问题于大勇孙?英农垦?安建筑安装总公司黑龙江?安1640001防冻剂11功能与用途防冻剂在我国?方的冬期施工时应用普遍
证明：㏑(1+ )> .设 =㏑(1+ )- .
当 0 时， =
0，且仅在 =0 时，
，因而 在[0, + ∞）上严格递增，则对
>0， > =0,即 ㏑(1+ )> 。
由（1）（2）即知
< ㏑(1+ )< , >0。
函数的单调性与不等式密切相关，而微分学
中值定理又使我们能够通过对导数的估计来确定
变量间的大小关系，因此他们常常是证明不等式的
在( )内可导，且 g(x) ; 0 存在 x Î (a, b)，使得 一点求函数的展开式，进而通过对余项的估计来推
例 5. 设 a> 0,b> 0,a b证明 (下转 318 页)
－190－
工程科技
混凝土外加剂的种类和应注意的问题
于大勇 孙林英 (农垦北安建筑安装总公司,黑龙江 北安 164000)
（1）若p>1，则对任意 " x > 0 ， > ，f (x) 在
( + )为凹函数，所以，对任意的a > 0,b > 0, a b ，
有 f (a+ b)< f (a)+ f (b) ，即 a + b > (a + b) ，
关键词：拉格朗日中值定理;辅助函数;柯西
利用微分学证明不等式方法： 根据数学思想，利用数学分析的知识理解不
f (b ) - f (a ) = f (x ) g (b ) - g (a ) g (x )
出所需证明的不等式。 泰勒公式在证明不等式中的应用：
等式的常规证明方法，注意与其它知识的联系及综
例 2. 设 ，对 的情况，求证
科技的发展在市场上的外加剂一般都复合引 在冬期负温施工时，应选择具有防冻组分的泵 合物类、复合类四大类。
气、减水、早强、膨胀，缓凝架组成，形成复合防 送剂，来满足冬季施工要求。
无机化合物的氯盐类防水剂能促进水泥水
冻剂使用。复合防冻剂不仅可以降低体系冰点
2.3 检测要求
化硬化，早期效果好，但氯盐会锈蚀钢筋，后期
（黑河学院，黑龙江 黑河 164300）
摘 要：数学问题的解决关键在于对待数学题的方法，在学习数学的过程中，有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法化。在数学的 学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，数学分析中的不等式的应用占有很重要的地位, 其证明与很多知识相联系,本文主要研究利用如:函数单调性、凸凹性等，解决不等式问题。证明方法极其广泛,颇难对其结构作系统归纳。研究如何 巧妙地利用数分知识,探讨其不同证法,从而开阔思路,提高整体能力,有利于掌握数学分析中的基本理论。
但对混凝土强度有一定影响。
机盐类（包括氯盐类，氯盐阻锈类、无氯盐类）水
2.4 注意事项
复合类是在前三类的基础上符合引气，减
溶性有机化合物类，有机化合物与无机盐复合
含有水不溶物的粉状泵送剂应与胶凝材料 水，调凝剂等组分复合防水剂，防水剂中就加适
类，有机化合物与无机盐复合类；复合类（复合 一起加入搅拌机中；水溶性粉状泵送剂宜用水 量的引起组分和减水组分可以提供混凝土的防
是因变量改变量 由自由量改变量 来表示的
2 利用函数的单调性证明不等式
对已知条件或证明目标进行适当的转化,)以更有利
ÁÂ线性主部，当
1时
，由此容易证出:
当 时，
……但是
这些近似式的两边哪一边更大一些呢，这样的问题
一般用拉格朗日中值定理可以解决。
应用拉格朗日中值定理证明不等式的方法:
1.1.1 设辅助函数 ,并确定 施用拉格
而且有效的方法。这种方法的关键也是构造一个函
数 ，通过判别 的符号来判别 在指定
区间上的单调性，从而证明不等式。一般取不等式
两边的函数之差为 ，证明 ＞0 或
即可。
即 用函数的单调性证明不等式 <
的方法：
（1）设辅助函数 = -
;
（2）求 (x),并在区间上证出 (x) 0，且 (x)=0
的点不构成区间；
早强、引至、减水等组成）。
溶解后或直接加入搅拌机中，应延长混凝土搅 水抗渗性，但混凝土的含气量不得超量，否则对
在选用防冻剂时注意以下几点：
拌时间 30 秒。液态泵送剂应与拌和水一起加入 强度影响不利。
含强电解质无机盐的防冻剂严禁用于与 搅拌机中，溶液中的水应从拌和水中扣除。在不
3.3 检测要求
镀锌钢材或路铁箱接触部位的结果，有外露钢 可预测的情况下，混凝土坍落度损失过大时，严
得力工具，利用微分学证明不等。
3 利用泰勒公式证明不等式
明的不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不
对于所给条件涉及到具有二阶或更高阶导数
于证明的进行 ,使 ②不过于繁琐。
例 4. 设
，证明
证明：由泰勒公式
可得
，当
， 时，
，
所以，当
时，它知识
一起使用,如当所要证明的不等式中含有积分号时,
点将函数在该点展成泰勒展式;
导数的估计来确定变量间的大小关系，因此他们常
或
②根据已知条件 ,向着有利于证明目标不等
常是证明不等式的得力工具，因此通常采用利用微
即
式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以(结
分学证明不等式。
合已知条件证出不等式为止。注意具体的题目应用
由微分学的知识，函数
的微分
再分别讨论 或 的情况即可得证。 此方法时要灵活运用 ,有些题目在进行 ①前,要先
朗日中值定理的区间 ；
1.1.2 对 在 上施用拉格朗日中值定
理；
1.1.3 利用 ξ 与 之间的关系，对拉格朗日
公式进行加强不等式。
例 1 证明不等式
<
<
（0<a<b）
分析：所证不等式中函数
在[a，b]上满
足拉格朗日中值定理的条件。
证明：因为
在[a,b]上满足拉格朗日
中值定理的条件。
所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使
（3）由（2）即证得： < 。
例 3 证明不等式 < ㏑(1+ )< , >0.
分析：（1）构造辅助函数 =㏑(1+ )- ：
（2）求 并判断其符号：
当 0 时， =
- 1=
0，且只
有 =0 时， =0，因而 在[0, +∞）上严格递
减，则对 >0,有 < =0,即㏑(1+ )< .
（3）得出结论：
一般利用定积分的性质结合使用泰勒公式等进行
证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函
数的混合式时,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式
代替,往往使证明方便简捷。泰勒公式巧妙、合理、
灵活地应用, 可解决一些其它方法较难解决的问
题。
4 利用函数凹凸性证明不等式
函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二
阶导数符号与凹凸函数之间的关系。将不等式写成
ÁÁÂÃÂÃÁÁÃÂÃÂÁÁÂÁ 关键词：功能;用途;外加剂种类
1 防冻剂
用于高层建筑，地下建筑大体积混凝土工程的 低其在静水压力下透水性，防水剂可用于层面、
1.1 功能与用途
泵送混凝土等。
地下室、隧道、水池等具有防水抗渗要求的混凝
防冻剂在我国北方的冬期施工时应用普
2.2 种类与选择
土或砂浆。防水剂不具有膨胀性，在实际工程中
遍。在混凝土中掺入防冻剂，可使混凝土负湿下
泵送剂品种繁多，但大部分都是复合型的 一般用于较小的混凝土工程和防水砂浆，在较
保持足够的液相，以利于水泥水化反应的继续 主要由减水剂、引冲剂、缓凝剂、和保型剂等复 小的混凝土工程和防水砂浆，在较大工程中应
进行，待转入正温后，混凝土强度能得到进一步 合而成。从而从外形上观看，泵送剂分为粉状和 用时，需要按规定留置后浇带，与膨胀混凝结合
如果函数 的二阶和二阶以上导数存在且
合应用，不断总结证明不等式的规律、技巧，从而找
分析：
在[a,b]上满足柯 有界,利用泰勒公式证明这些不等式.证题思路:①写
到证明不等式的有效途径，并且对其做出总结与归 西定理的条件，所以应用柯西中值定理证明。
出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式;②恰当选择
纳。
证明：当 时结论显然成立，当 时， 等式两边 与 ;③根据最高阶数的大小或界对展
防水剂到工地现场后，必须检测的项目包
筋预埋铁件而无防护措施的结构，使用直流电 禁加水，可在运输车中添加泵送剂，然后加速运 括：ph 值、密度（或细度）钢筋锈蚀、合格后方能
源的结构以及距离本直流电源 100mm 以内的 转搅拌，测定坍落度后使用。但后添加泵送剂剂 入库，并用于工程。
结构。
量应事先试验确定。
,
从而得到 0<a<ξ<b,
又因为
<
<
,即 <
<
.
这个例子是用拉格朗日中值定理证明不等式 的典型例题，有些不等式用此定理证明时，方法要 灵活些。
柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的 中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是 拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证
利用函数的单调性证明不等式是一种最常用
摘 要：混凝土外加剂即能改善混凝土的和易性，可泵送，又能调节凝结时间提高混凝的抗渗、抗冻、抗腐蚀性能，所以发展迅猛，已成为即水
泥、砂、石和水、混凝土必不可缺少的组成部分。目前我国外加剂市场鱼龙混杂，良莠不齐的现状，给工程质量留下隐患。因此，在使用外加剂时，认真
选择品种，并在施工中正确使用，对建筑工程质量控制的意义非常重大。
定义的形式,构造辅助函数 ,并讨论 在所
给区间上的凹凸性,从而得证。
设 在 二阶可导，有 可判断
的凹凸性，如果函数 在(a,b)上为凸函数，由对任
意
，有
；
如 果 函 数 在 (a,b)上 为 凹 函 数 ，由 对 任 意
有
。
两式中的等号都在 时取得.这里
及 的取值可根据所证明的问题而定，通常取 ,
此时，凸函数有
含氯盐的防冻剂严禁用于预应力混凝土
3 防水剂
结构，相对湿度大于 80%环境中使用的结构，
3.1 功能与用途
处于水位变化的结构，露天结构，经常受水淋，
防水剂可改善混凝土和砂浆的耐久性，降
责任编辑：胡明月
水冲刷的结构，无体积混凝土结构等。
1.3 检测要求
防冻剂运到工地应首先检查是否有沉淀、 结晶或结块，然后进行检测项目包括：密度或细 度，R- 7、R+28 抗压比强度比、钢筋锈蚀、合格 后方可入库、使用。掺防冻剂的混凝土应控制受 冻临界强度，试块不得在冻结状态下试压，按相 应规定解冻后再压。
微分学证明不等式
取或，
开式进行放缩。
1 利用微分中值定理证明不等式
在该区间上设
，由柯西中
泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系。
1.1 利用拉格朗日中指定理证明不等式
值定理得：
证明方法:
函数的单调性与极值问题其本身都与不等式
①根据已知条件,围绕证明目标 ,选取恰当的
密切相关，而微分学中值定理又使我们能够通过对
增大，还可以在混凝土在凝结过程中，使混凝土 液态两种。泵送剂品种，掺量的选择应该按生产 使用。
混度稳定，防止一冷一暖产生冻融现象。目前， 单位提供的推荐掺量环境湿度、泵送高度、泵送
3.2 种类与选择
单一组分防冻剂极少，一般很少有人使用，随着 距离。运输距离等要求经混凝土试配后确定。如
防水剂分为无机化合物和有机化合物、混
（1）a + b > 2 - ( a + b ) ( p > 1)
（2）a + b < 2 - (a + b) (0 < p < 1)
分析：若在不等式两边同除 2，则不等式变 为 + > + 和 + < + ，正是函数f (x)= x
在 a 和 b 处的平均值以及在 a 和 b 中点处的函数
值，因此用凹凸性来证明此不等式。 证明：设f (x)= x ，x>0，则f (x)= px - , f (x)= p(p- 1)x - 。
，凹函数有
, 利用凹凸性的这一特点可证
然。
的不等式，特别是已知最高阶导数的取值范围时， 明一些不等式，一般遇到某个函数在某两点的平均
1.2 利用柯西中值定理证明不等式
可考虑借助于函数的泰勒公式来估计有关的量，从 值及终点的关系时，就可考虑用曲线的凹凸性来证
柯西定理：设 f (x) 与 g(x) 均在 [a, b]上连续， 而证明不等式。应用泰勒公式的关键是确定关于哪 明。
还有缓凝、早强、减少用水量、增强、引气、减少
无论是任何厂生产的泵送剂运到施工现场 效果不好。
冻胀应力等效果。
后，必须检测的项目包括：ph 值、密度 （或细
有机化合物类防水剂主要是憎水性表面活
1.2 种类与选择
度）、坍落度、增加值、坍落度损失，复合要求后 性剂，聚合物乳液或水溶性树脂，防水效果好，
混凝土用防冻剂分为以下几种：强鲜质无 方能入库使用。
1.4 注意事项 粉状外加剂应防止受潮结块，如有结块， 经性能检验合格后应粉碎至全部通过 0.63mm 筛后方可使用；液体外加剂应放置凉干燥处。防 止日晒、受冻、污染、进水、蒸发，若有沉淀等现 象，经检验合格后方可使用，外加剂使用时严格 计量，其计量误差不应大于用量的 2%。
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不等式：
胡明月?21????ababp?201????ababp???????????????????????fxx?fxx0x?????1??fxpxfxppx1p0x???????fx???00abab?22abfafbf22???abab?2????abab01p0x??0fxfx0?00abab????????????????????????????2????abab上接190页混凝土外加剂的种类和应注意的问题于大勇孙?英农垦?安建筑安装总公司黑龙江?安1640001防冻剂11功能与用途防冻剂在我国?方的冬期施工时应用普遍
证明：㏑(1+ )> .设 =㏑(1+ )- .
当 0 时， =
0，且仅在 =0 时，
，因而 在[0, + ∞）上严格递增，则对
>0， > =0,即 ㏑(1+ )> 。
由（1）（2）即知
< ㏑(1+ )< , >0。
函数的单调性与不等式密切相关，而微分学
中值定理又使我们能够通过对导数的估计来确定
变量间的大小关系，因此他们常常是证明不等式的
在( )内可导，且 g(x) ; 0 存在 x Î (a, b)，使得 一点求函数的展开式，进而通过对余项的估计来推
例 5. 设 a> 0,b> 0,a b证明 (下转 318 页)
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工程科技
混凝土外加剂的种类和应注意的问题
于大勇 孙林英 (农垦北安建筑安装总公司,黑龙江 北安 164000)
（1）若p>1，则对任意 " x > 0 ， > ，f (x) 在
( + )为凹函数，所以，对任意的a > 0,b > 0, a b ，
有 f (a+ b)< f (a)+ f (b) ，即 a + b > (a + b) ，
关键词：拉格朗日中值定理;辅助函数;柯西
利用微分学证明不等式方法： 根据数学思想，利用数学分析的知识理解不
f (b ) - f (a ) = f (x ) g (b ) - g (a ) g (x )
出所需证明的不等式。 泰勒公式在证明不等式中的应用：
等式的常规证明方法，注意与其它知识的联系及综
例 2. 设 ，对 的情况，求证
科技的发展在市场上的外加剂一般都复合引 在冬期负温施工时，应选择具有防冻组分的泵 合物类、复合类四大类。
气、减水、早强、膨胀，缓凝架组成，形成复合防 送剂，来满足冬季施工要求。
无机化合物的氯盐类防水剂能促进水泥水
冻剂使用。复合防冻剂不仅可以降低体系冰点
2.3 检测要求
化硬化，早期效果好，但氯盐会锈蚀钢筋，后期