工程力学-杆件的拉压

2 杆件的拉伸与压缩
1、本章主要介绍轴向拉伸和压缩时的重要概念：内力（轴力）、应力、变形和应变、变形能等。

轴向拉伸和压缩的应力、变形和应变的基本公式是： 正应力公式 A
N =σ 胡克定律 EA Nl l =
∆ ，E
σε= 胡克定律是揭示在比例极限内应力和应变的关系，它是材料力学最基本的定律之一，虎克定律的适用条件为材料不超过比例极限，即材料处于线性弹性范围。

平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆件的轴线。

斜截面上的应力①正应力 ασα2cos A
N
= ②切应力 ατα2sin 2A
N
=
2、材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。

对于材料力学性能
的研究一般是通过实验方法，其中拉伸试验是最主要、最基本的一种试验。

低碳钢的 拉伸试验是一个典型的试验。

它可得到如下试验资料和性能指标： 拉伸全过程的曲线和试件破坏断口；
——材料的强度指标 ——材料的塑性指标 其中
-材料抵抗弹性变形能力的指标；某些合金材料的
-名义屈服极限等测定
有专门拉伸试验。

3、工程中一般把材料分为塑性材料和脆性材料。

塑性材料的强度特征是屈服极限和强度极限
（或
），而脆性材料只有一个强度指标，强度极限。

4、强度计算是材料力学研究的重要问题。

轴向拉伸和压缩时，构件的强度条件是
[]σσ≤=
A
N
max 它是进行强度校核、选定截面尺寸和确定许可载荷的依据。

5、通过本章应初步掌握拉压超静定问题的特点及解法。

2.1 在图 2.1所示的简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。

木杆AB 的横截面面积
21100cm A =，许用应力[]MPa 71=σ；钢杆BC 的横截面面积226cm A =，许用应力
[]MPa 1602=σ，试求许可吊重P 。

[解] B 铰链的受力如图2.1（b ）所示，由平衡条件得：
030cos 0=-=∑ BC AB N N X ∑=-=030sin 0
P N Y BC
可解得
P N BC 2=，P N AB 3=
利用钢杆的强度条件
[]22
σσ≤=
A N BC
钢 故
图2.1
N BC （b ）
P
B N AB
P
解题范例
[]kN A N BC 96106101604622=⨯⨯⨯=≤-σ
由于 P N BC 2=
所以按钢杆的强度要求确定许可吊重
[]kN N P BC
482
≤=。

由木杆的强度条件
[]11
A σσ≤=
A N B
木 故 []kN A N AB 70101001074611=⨯⨯⨯=≤-σ 因P N AB 3=，按木杆的强度要求确定许可吊重
[]kN N P AB
4.403
≤=
比较确定吊车的许可吊重
[]kN P 4.40=
2.2 图 2.2所示的拉杆沿斜截面m-m 由两部分胶合而成。

设在胶合面上许用拉应力
[]MPa 100=σ，许用切应力[]MPa 50=τ。

并设由胶合面的强度控制杆件的拉力。

试问：
为使杆件承受最大拉力N ，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为2
4cm ，并规定
60≤α，试确定许可荷载P 。

[解]
图2.2
由[]σασα==
2cos A P 和[]τατα==22sin A
P 比较得 [][]5.0100
50tan ===
στα 故
6.26=α,所以
6.26=α时，杆件承受得拉力最大，其值为：
[]kN A P 50626101001042642=⨯⨯⨯==-
.cos cos max
ασ 2.3 变截面直杆如图 2.3（a ）所示。

已知杆的面积为218cm A =，224cm A =，
GPa E 200=，求杆的总伸长l ∆。

[解] 变截面直杆的轴力如图 2.3（b ）所示，kN N 401=,kN N 202-=,各段的伸长分别是
1111EA l N l =
∆ ,2
222EA l
N l =∆ 则总的伸长量
mm l l l 075.010*******
.020*********.0404
94921=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=
∆+∆=∆--
2.4 如图2.4（a ）所示，象矿山升降机钢缆这类很长的拉杆，应考虑其自重的影响。

设材料单位体积的质量为ρ，许用应力为[]σ。

若钢缆下端所受拉力为P 。

钢缆截面不变，求钢缆的允许长度及其总伸长。

[解] 钢缆任意横截面上的轴力为()gxA P x N ρ+=。

如图2.4（b ）所示。

设钢缆在自重和拉力P 作用下，不被拉断的极限长度L ，则危险截是钢缆的上端面。

该端面上的轴力为
图2.3
（a ）
（b ）
gLA P x N ρ+=）（
根据强度要求，应有
[]σρσ≤+==
A
gLA
P A N 即
[]gA
P
A L ρσ-≤
从而知钢缆允许的最大长度为
[]gA
P
A L ρσ-=
钢缆的伸长量由虎克定律确定，即
()[]⎰⎰-=+==∆L L
g EA P A dx EA gxA P dx EA x N l 022
2
22ρσρ 2.5 在图2.5（a ）所示结构中，假设AC 梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积相等，材料相同。

试求三杆的轴力。

图2.4
（a ）
(x ) ρgxA （b ）
[解] 杆ABC 的受力如图2.4（b ）所示，平衡条件为
∑=++=P N N N Y 3210
()02032=+=∑a N a N M
A
变形几何关系如图所示，变形协调方程为
2
1
1312=∆-∆∆-∆l l l l
可得 2312l l l ∆=∆+∆ 利用虎克定律
EA
l
N EA l N EA l N 2312=+ 联立上式解得
P N 65
1=
P N 3
12=
P N 6
1
3-=
2.1 画出图2.6中各杆轴力图。

[解] 图2.6（a ）、（b ）、（c ）、（d ）所示的杆的轴力图见图（1）、（2）、（3）、（4）所示。

习题解析
图2.5
图2.6
2.2 在上题中，若杆的横截面面积2
50mm A =，试求杆内最大拉应力和最大压应力。

[解] （1）对于a 图，最大应力在AB 段，表现为拉力,故
P P
A N 66max 1002.010
50⨯=⨯==
-σ （2）对于b 图，在AB 段为最大拉应力,故
P P A N 6
6max 1002.010
50⨯=⨯==
-σ； BC 段为最大压应力
P A
N
6max 1002.0⨯-=-
=σ。

（3）对于c 图，在CD 段表现为最大拉应力，MPa A N 6010501036
3max =⨯⨯==-σ； 在AB 段表现为最大压应力
MPa A N 4010
501026
3max
-=⨯⨯-==-σ。

（4）对于d 图，在AB 段表现为最大拉应力
（1）
（2）
（3）
（4）
1kN
MPa A N 2010501016
3max
=⨯⨯==-σ； 在BC 段表现为最大压应力
MPa A N 2010
501016
3max
-=⨯⨯-==-σ 2.3 图2.7所示的连接螺栓，内径mm d 3.151=，被连接部分的总长度mm l 54=，拧紧螺栓AB 段的伸长量mm l 04.0=∆，钢的弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=μ，试计算螺栓横截面上的正应力及螺栓的横向变形。

[解]（1）计算横截面上的正应力σ，由虎克定律EA
Nl
l =
∆，得出 kN l lEA N 271054103.1541
1021004.036
2113=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---π
MPa A N 148103.154
1
2762=⨯⨯==-πσ
（2）计算螺栓的横向变形量b ∆。

411
8
1022.210
21048.13.0-⨯-=⨯⨯⨯-=-='E σ
με 由 b
b ∆='ε可得：m b b 63
4104310
31510222---⨯-=⨯⨯⨯-=⨯'=∆...ε
2.4 图2.8示拉杆承受轴向拉力kN P 10=，杆的横截面面积2
100mm A =。

如以α表
示斜截面与横截面的夹角。

试求当求：︒=0α，︒30，︒45，︒60，︒90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示出来。

l
图2.7
[解]（1）当︒=0α时横截面上的正应力为
MPa A P 1001010010106
3
0=⨯⨯==-σ
（2）当︒=0α时，斜截面上的正应力、切应力分别为
MPa 100cos 20==ασσα
02sin 2
==
αστα
（3）当︒=30α时，斜截面上的正应力、切应力分别为
MPa 7530cos 100cos 22030=︒⨯==ασσ
MPa m s 3.4360`2
100
2sin 20
30
=︒⨯==αστ
（4）当︒=45α时，斜截面上的正应力、切应力分别为
MPa 5045cos 100cos 2045=︒⨯==ασσ
MPa 5090sin 2
1002sin 20
45
=︒⨯==αστ
（5）当︒=60α时，斜截面上的正应力、切应力分别为
MPa 254
1
10060cos 2060=⨯
=︒=σσ
MPa 3.43120sin 2
100
2sin 2
60=︒=
=
︒ασσ （6）当︒=90α时，斜截面上的正应力、切应力分别为
090cos 2090=︒=σσ
0180sin 2
100
2sin 2
90=︒⨯=
=
αστ
2.5 石砌桥墩墩身高m l 10=，其横截面尺寸如图2.9所示。

如载荷kN P 1000=，材
图2.8
︒0
︒
0当α＝0°时
当α＝30°时
当α＝45°时
当α＝60°时
90
当α＝90°时
料的容重3/23m kN =γ，求墩身底部横截面上的压应力。

[解]
()
2
3114323
1023114310002
2⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+-==..总总
A P σ MPa 340.-=
负号表示压应力。

2.6 如图2.10，求结构A 的垂直位移AV ∆。

已知：kN P 51=，kN P 102=，m l 1=，
斜撑CD 为铝管，弹性模量GPa E 72=，横截面面积2
440mm A =。

设梁AB 刚度很大，
可视为刚体。

[解] 取梁AB 为研究对象，其受力图如（a ）所示，
图2.9
图2.10
（a ）
AV
∆
B
由静力学平衡条件有：
0=∑B
M
，030sin 221=︒-⋅+⋅l N l P l P CD
求得斜撑CD 轴力为：kN N CD 40=（压力） 斜撑CD 的缩短量CC 2为l ∆，由虎克定律知：
m m EA
l N l CD
CD 46.1104401072133
210406
9
3=⨯⨯⨯⨯⨯
⨯=⋅=
∆- AB 为刚杆，无伸缩，斜撑CD 压缩变形后和AB 仍在C 处铰接，变形后的位置如图（b ）
所示。

由变形协调条件知：
CV l
∆=︒
∆30sin
又因为
2
1
32=∆∆l l ，CV AV ∆=∆2 所以
mm AV 835.=∆
2.7 图2.11示结构中，AC 为刚性梁，BD 为斜撑杆，载荷P 可沿梁AC 水平移动。

试问：为使斜撑杆质量最轻，斜撑杆与梁之间的夹角θ应取何值。

[解] 取AC 梁为研究对象，受力如图（a ）所示，由平衡条件
0=∑A M ，0sin =-⋅
Px tg l
N BD θ
θ 解得：
θ
cos l Px
N BD =
斜撑BD 达到许用应力[]σ时，BD 杆的截面面积为
图2.11
DB （a ）
[]
[]
σθσcos l Px
N A BD
BD =
=
体积为[][]θσθ
σθ2sin 1
2sin cos ⋅
=⋅=
=Px l l Px l A V BD BD BD 由上可见，当
45=θ时，体积最小。

或者根据求极值条件，体积V 是θ的函数，故体积最小时有
[][]()
0cos sin 1
cos 22sin 2cos 222
222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθσθθσθ
Px Px d dV BD 解得 2
1cos 2
=
θ，
45=θ 故斜撑与梁之间夹角为45°时质量最轻。

2.8 图2.12示板件受轴向荷载P ＝200N 作用， 试计算互相垂直面AB 和BC 上的正应力、切应力以及板内最大正应力、最大切应力。

[解] MPa A P A N 1001020100102006
30=⨯⨯⨯===
-σ 对于AB 截面上：
MPa AB 4150cos 100cos 220=︒⨯==ασσ
MPa m s AB 49100`502sin 2
=︒⨯==
αστ
对于BC 截面上：
MPa BC 5940cos 1002=⨯= σ
MPa BC 4998.05080sin 2
=⨯=︒=
στ
当︒=0α 时，有最大正应力：MPa 100max =σ
图2.12
当︒=45α 时，有最大切应力：MPa 502
max ==
στ
2.9 图2.12示桁架，杆1、2的横截面均为圆形，直径分别为mm d 301=和mm d 202=，两杆材料相同，许用应力[]MPa 160=σ，该桁架在节点A 处受载荷P 作用，试确定P 的最大允许值。

[解] 取节点A 为研究对象，A 节点的受力如图（a ）所示，根据节点A 的平衡条件，有
030sin 45sin 012=-=∑ N N X P N N Y =+=∑ 30cos 45cos 0
12
求得 1、2两杆的轴力分别为
P N 1
321+=
（拉），P N 1
322+=
（拉）
由
[]σ≤A
N
得： []61
1
10160⨯=≤σA N 即
(
)
610160132⨯≤+'
A
P
可解得
kN P 41.1542/732.210304
1
10160626=⨯⨯⨯⨯⨯
⨯≤'-π 而
[]61
1
10160⨯=≤σA N 即有
(
)
610160132⨯≤+'
'A
P
图2.12
（a ）
N y
所以 kN P 07.972/732.210204
1
10160626
=⨯⨯⨯⨯⨯
⨯≤''-π 选P '、P ''中较小者作为荷载P 的最大允许值,即
[]kN P 07.97=
2.10 如图2.13，断裂的金属管mm D 30=，mm d 27=，需加套管修理，若套管材料为20号钢，求套管的外径D 。

已知断裂管子的材料的屈服应力MPa S 900=σ，20号钢套管材料的屈服应力MPa s 250='
σ。

[解] 由 []S A
N
σ≤ 对于断裂的金属管有
[]S A A N
σ≤-内
外
由于N ＝P ，可得
()kN d D P 81.12010273041109004141109006226226=⨯-⨯⨯⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⨯≤-πππ
取P ＝120.81kN 为允许的最大荷载。

对于钢套管有
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡'≤s A P σ内外－A 即
()
662231025010304
1
1081.120⨯≤⨯-⨯-D π
解得
mm D 93.3830250
41081.12023=+⨯⨯⨯≥π
P
图2.13
所以，钢套管的外径D 最小应取39mm 。

2.11 一木柱受力如图2.14所示。

柱的横截面为边长mm 200的正方形，材料可认为符合虎克定律，其弹性模量MPa E 3
1010⨯=，若不计柱的自重，试求下列各项：
（1）作轴力图；
（2）各段柱内横截面上的应力 （3）各段柱内的纵向线应变 （4）柱的总变形
[解]
（1）采用截面法，分别求得AC 段和CB 段的轴力为
kN N AC 100-=，kN N CB 260-=
轴力图如图（a ）所示。

（2）由A
N
=
σ得： MPa AC
5.22
.0101002
3-=⨯-=σ MPa CB
5.62.0102602
3-=⨯-=σ
（3）00025.010
1010105.26
36
-=⨯⨯⨯-==E AC
AC
σε 00065.010*******.66
36-=⨯⨯⨯-==E CB
CB
σε
160 图2.14
260k N
N
（a ）
（4）mm l l AC AC AC 375.0105.100025.03-=⨯⨯-==∆ε
mm l l CB CB CB 975.0105.100065.03-=⨯⨯-==∆ε
mm l l l BC AC 35.1975.0375.0-=--=∆+∆=∆（负号表示轴向压缩）。

2.12 钢木组合桁架如图2.15所示，已知KN P 16=，钢的许用应力[]MPa 120=σ。

试选择钢拉杆DI 的直径d 。

[解] 从n m -处截开桁架，以左半部分为研究对象，受力图如（a ）所示，根据静力学平衡条件有：
∑=0A
M
，0323=⨯-⨯⨯P N DI
求得：
kN P
N DI 82
==
（拉） 由强度条件
[]σ≤A
N
可知， []π
σDI
N D 42
≥
， []mm N D DI
2.914
.310120108446
3
=⨯⨯⨯⨯=≥
πσ 由于用作钢拉杆得圆钢的最小直径为10mm ，故选用d ＝10mm 。

2.13 图2.16示硬铝试件，mm a 2=，mm b 20=，mm l 70=，在轴向拉力KN P 6=的作用下，测得试验段伸长mm l 15.0=∆，板宽缩短mm b 014.0=∆，试计算硬铝的弹性模量E 和泊松比μ。

N IJ （a ）
6×3m
图
[解]
（1）由虎克定律EA
NL l =
∆得 3
33
33
10
2010210701061015.0----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯E GPa Pa E 70107020
1021015.010*******
33
3=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- （2）由μεε-='，b b ∆=
'ε，l
l ∆=ε 知 l l b b ∆-=∆μ即33.010
15.01020107010014.0333
3-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=∆⋅⋅∆-=----l b l b μ 2.14 图2.17示螺栓，拧紧时产生mm l 10.0=∆得轴向变形，试求预紧力P ，并校核螺栓强度。

已知mm d 81=，mm d 8.62=，mm d 73=，mm l 61=，mm l 292=，mm l 83=，
GPa E 210=，[]MPa 500=σ。

[解]
（1）由虎克定律EA
Nl
l =
∆，N ＝P 得 3
3
2211EA Nl EA Nl EA Nl l ++=
∆
图2.16
图2.17
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=---323
32332310741210108108.641210102910841210106πππP ()0009903
.0003804.00005686.0106++⨯⨯=-P 也即
36101.0005363.010--⨯=⨯⨯P
解得 kN P 647.18=
（2）强度校核
对于l 1段： []σπσ<=⨯⨯⨯=
-M P a 3711084
1
10647.18623
1 对于l 2段： []σπσ>=⨯⨯⨯=
-M P a 514108.64
1
10647.186232
对于l 3段： []σπσ<=⨯⨯⨯=
-M P a 4851074
1
10647.18623
3 可见，螺栓中段的应力略高于许用应力，但仅超过许用应力的2.8％（工程上要求不超过5％），故螺栓安全。

2.15 图2.18示结构，AB 为刚性梁，杆1、2、3的材料和横截面面积相同，在梁AB 的中点C 承受铅垂方向的载荷P ，试求C 点的水平和竖向位移。

已知kN P 20=，
2321100mm A A A ===，mm l 1000=，GPa E 200=。

图2.18
[解] 取刚梁AB 为研究对象，其受力情况如图（a ）所示，建立平衡方程
0=∑X ，045cos 2
= N
0=∑Y ，045sin 321
=-+︒+P N N N
0=∑A M ，02
3=-
P l
l N 解得杆1、2、3的轴力分别为
kN N 101=（拉）
，02=N ，kN N 103=（拉） 由虎克定律求得杆1、3的伸长量分别为
mm EA l N l 5.010*********
1010693111=⨯⨯⨯⨯⨯==∆-
mm EA l N l 5.010
10010200110106
93333=⨯⨯⨯⨯⨯==∆- 由于1杆伸长，2杆无伸缩，变形后仍铰接在一起，由于杆的变形很小，可以用切线代圆弧。

过 A ′和A 分别作1、2杆的垂线，交点A 1可试为点A 在加载后的位置，由于AB 为刚性梁，变形后的A 1、C 1和B 1仍在一条直线上，且相互之间距离保持不变，如图（b ）所示。

故C 点的水平和竖直线位移分别为
mm l l A A CH 5.0311=∆=∆='=∆ mm l l A A CV 5.031=∆=∆='=∆
2.16 作图2.19所示的等直杆的轴力图。

[解] 此题为一次静不定问题，设RB RA F F 、为约束反力，杆的受力如图（a ）所示。

平衡条件为：
0=∑y
F
，P F F RB RA 3=+ ①
变形协调条件为： 0=∆+∆+∆DB CD AC l l l ②
（a ）
1l 3 ΔC 1 B 1
（b ）
由虎克定律确定AC 、CD 和BC 的伸长量为：
EA a F l RA AC =
∆ ， ()EA a P F l RA BC 22-=∆， EA
a
F l RB DB -=∆
代入协调方程②中得
()RB RA RA F P F F =-+22 ③
联立①和③得
P F RA 47=
，P F RB 4
5
= 采用截面法可得各段的轴力分别为：AC 段轴力为
P 4
7，BC 段轴力为P 41
-，DB 段轴力为
P 4
5
-
，如图（b ）所示 。

2.17 图2.20示结构刚性杆AB 左端铰支，两根长度、横截面面积均相同的钢杆CD 和
EF 使该刚性杆处于水平位置。

如已知kN P 50=，两根钢杆的横截面面积21000
mm A =，求这两杆的轴力和应力。

图2.19
RB
A 2P
P
RA
（a ）
P （b ）
[解] 取刚性杆AB 为研究对象，杆的受力如图（a ）所示，图（b ）表示变形的几何关系。

平衡条件为：
0=∑A
M
，0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N ①
杆AB 在荷载作用下，将绕A 点沿顺时针方向作微小移动，杆1、2伸长，变形协调方程
为
2
1
21=∆∆l l 由虎克定律得
EA l N EA l N l 1111==
∆，EA
l
N EA l N l 2222==∆ 代入变形协调方程得
122N N = ②
① ②两式联立解得
kN N 301=（拉）
，kN N 602=（拉）。

应力
MPa A N 30101000103063
11=⨯⨯==-σ（拉应力）
MPa A N 6010
100010606
3
22=⨯⨯==-σ（拉应力） 2.18 图2.21示结构三杆用同一材料制成。

已知三杆的横截面面积2
1200mm A =，
P
图2.20
P
A
B
1l ∆
2l ∆
（b ）
22300mm A =，23400mm A =，KN P 40=，求各杆横截面上应力。

[解] 以A 点为研究对象，受力如图（a ）所示，由平衡条件得：
0=∑X ，030cos 32
=-︒N N ①
0=∑Y ，P N N
=+︒12
30sin ②
由于1、2两杆伸长，3杆缩短，变形的几何关系如图（b ）所示，变形协调条件为：
132
3030l tg l sm l ∆=︒
∆+︒∆
由虎克定律得：
1111EA l N l =
∆，2222EA l
N l =∆，3
333EA l N l =∆ 而 3
343041m tg l =
⨯=
，m l 33830cos 42=÷=
，m l 43= 代入变形协调方程中得
616
3
62102003
34
1040034103002338---⨯⋅⋅=⨯⋅⋅⋅+⨯⋅⋅⋅
E N E N E N ③ 联立①②③可得：()拉kN N 52.351= ，()拉kN N 96.82= ，()压kN N 76.73= 各杆的应力
()拉应力MPa A N 6.177102001052.3563111=⨯⨯==-σ
()拉应力MPa A N 9.2910
3001096.86
3
222=⨯⨯==-σ
图2.21
2
1l
（b ）
N 1
P A
y
x （a ）
()压应力MPa A N 4.1910
4001076.76
3
333-=⨯⨯-==-σ 2.19 一钢筋混凝土短柱，受到轴向压力P 的作用，如果钢筋的截面面积为混凝土截面积的
10
1
，而钢的弹性模量为混凝土的10倍，试问混凝土承担的载荷为P 的几分之几。

[解] 平衡条件为
P N N =+混凝土钢筋
因钢筋和混凝土的伸长量l ∆相等，由虎克定律有
混
混混钢
钢钢A E l N A E l N =
由于
101＝混钢A A ，10＝混
钢E E
所以 1=混
钢
N N
故混凝土承担的荷载为P 的
2
1。

2.20 图2.22示的桁架，各杆的横截面面积、长度和弹性模量均相同，并分别为A 、l 和E ，在节点A 处受荷载P 作用，计算节点A 的竖向位移。

[解] 以节点A 为研究对象，受力如图（a ）所示，由平衡条件得：
0=∑X ，045sin 45sin 21
=︒-︒N N ①
0=∑Y ，045cos 45cos 321
=-+︒+︒P N N N
②
由于1、2两杆伸长，3杆缩短，变形的几何关系如图（b ）所示，变形协调条件为
图2.22
（b ）
A 1 2
3
（a ）
21l l ∆=∆，
31
45sin l l ∆=∆
又由虎克定律可得
EA l N l 11=
∆，EA l
N l 22=∆，EA
l N l 33=∆ 代入变形协调方程中得
12322N N N == ③
联立①②③可得
P N N 4
2
21=
=（拉）
，23P N =（压） 结点A 的竖向位移为
EA
Pl
EA l N l 233==
∆ 2.21 桁架受力如图 2.23所示，各杆均由两个等边角钢组成，已知材料许用应力
[]MPa 170=σ， 试选择AC 杆和CD 杆的截面型号。

[解] 以桁架整体为研究对象，设约束反力为A V ，由平衡条件得
0=∑B
M
， 034422042220=⨯⨯-⨯+⨯⨯A V
求得
()
↑=kN V A 220
以节点A 为研究对象，受力如图（a ）所示，由平衡条件得
A AC V N =⋅αsin
N AE
（a ） C
（b ）
图2.23
而5
3
sin =
α，求得 kN N AC 7.3666
.0220
==
（拉） 以节点B 为研究对象，受力如图（b ）所示，由平衡条件得
CD AC N N =⋅βsin
而 5
4
s i n
=β，求得 kN N CD 3.2938.06.0220=⨯=（拉）
由强度条件[]σ≤A
N
得 AC 杆：
26
3
1.215710
170107.366mm A =⨯⨯≥ 选等边角钢型号为10∠100×12，截面面积为2280mm 2 CD 杆：
26
33.172510
170103.293mm A =⨯⨯≥ 选等边角钢型号为10∠100×10，截面面积为1926.1mm 2。

2.22 图2.24所示的木柱，由四根横截面面积分别为2
186mm A =的角钢所加强，已知木材的弹性模量GPa E W 10=，角钢的弹性模量GPa E s 200=，立柱所受轴向荷载为
kN P 100=，试计算木柱和角钢所受压力和正应力。

[解] 这是一个超静定问题，受力如图（a ）所示. 平衡条件为
0=∑Y ，kN N N
100=+木钢
①
木柱与角钢的变形协调条件为
木钢l l ∆=∆ ②
由虎克定律 钢
钢钢钢A E l N l =∆ ，木
木木木A E l N l =
∆
代入变形协调条件②中得
2
96
920101010186410200.⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯-l N l
N 木钢 ③
求得 372
0.=木
钢N N
联立①、③解得
kN N 8972.=木 ，kN N 1127.=钢
各自的应力
MPa A N 822.11041089.722
3
=⨯⨯==-木木木σ MPa A N 3610
18641011.276
3=⨯⨯⨯==
-钢
钢钢σ
（a
图2.24
2.23 如图2.25，两根杆A 1B 1和A 2B 2的材料相同，它们的长度和横截面面积A 也相同，A 1B 1杆承受作用在端点的载荷P ；A 2B 2杆承受沿杆长均匀分布的载荷，其集度为l
P p =，试比较两根杆内积蓄的变形能。

[解]（1）对于（a ）图，轴力是常数，即
N ＝P
所以 EA
l P EA l N U 2222== （2）对于（b ），任意横截面（如图（c ）所示）上的轴力为
()x l
P
x N =
故
()EA
l P dx EAl x P dx EA x N U L L 62222222
===⎰⎰
所以，杆A 1B 1是A 2B 2变形能的3倍。

2.24 有一长度为300mm 的等截面钢圆杆受到轴向拉力kN P 30=作用。

已知杆的横截
面面积22500
mm A =，材料的弹性模量MPa E 5
101.2⨯=。

求此杆中积蓄的变形能。

[解] 此杆轴力为常数，即N ＝P ＝30kN ，由虎克定律和变形能公式得
()
J EA l N U 257.010
2500101.223
.0103026
112
32=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==- 2.25 如图2.26，一块刚性板由四根支柱所支撑，四柱的长度和截面都相同，若载荷作用在A 点，求这四根柱子的轴力各为多少？
[解] 因结构对称性，42N N =，由平衡条件得
(x ) （c ）
图2.25
（b ）
∑=0Y ，P N N N
=++321
2 ①
03=∑M ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅
+⋅e a P a N a N 2222
2221② 从变形图（a ）知，有变形条件：
231223121
1
l l l l l l l l ∆-∆=∆-∆⇒=∆-∆∆-∆ ③
即 3122l l l ∆+∆=∆
由虎克定律可得
EA l
N l 11=
∆，EA l N l 22=∆，EA
l N l 33=∆ 代入③中得
3122N N N += ④
联立①②④可得
P N N 4
1
42-==（压）
P a e N ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=24
1
1（压）
N 2 1N 3 （N 4） （a ）
图2.26
P a e N ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=24
1
3（压）
2.26 如图2.27，求结构许用荷载[P ]。

已知杆AD 、CE 、BF 的横截面面积为A ，杆材料的许用应力为[]σ，梁AB 可视为刚体。

[解] 梁ACB 的受力如图（a ）所示，平衡条件为
∑=0Y ，P N N N =++321
①
0=∑C
M
，012=-a N a N ②
变形的几何关系如图（a ）所示，变形协调条件为
321l l l ∆=∆=∆ ③
由虎克定律可得
EA l
N l 11=
∆，EA
l N l 22=∆，EA l N l 233⨯=∆ 代入③中得
3212N N N == ④
联立①②④可得
P N N 5221=
=（拉），5
3P
N =（拉） 由强度条件
[]σ≤A N
得： []σ≤A P
51 ，[]σA P 5≤ 和 []σ≤A
P
52 ，[]σA P 25≤
图2.27
（a ）
所以，该结构的许用荷载[][]σA P 2
5
=。

2.27 图2.28所示，结构由钢杆组成，各杆材料、截面均相同，其许用应力[]MPa 160=σ，问当所加载荷kN P 100=时，各杆截面面积应为多少？
[解] 以节点A 为研究对象，受力如图（a ）所示。

由平衡条件得
0=∑X ，045sin 45sin =︒-︒AE AD
N N ①
0=∑Y ，045cos 45cos =-+︒+︒P N N N
BC AE AD
②
AD 、AB 、AE 杆伸长，变形的几何关系如图（b ）所示，变形协调条件为：
AE AD l l ∆=∆，
C B AB AD
l l l ∆+∆=∆
45
cos 由虎克定律可得：
EA
l N l AD AD 2=
∆，EA l
N l AE AE 2=∆，EA l N l AB AB =∆，EA l N l BC BC =∆
图2.28
（a ）
N （b ）
A 1
∆AD
AB BC l ∆+
对于AB 杆，P N N BC AB -=，则
()EA
l
P N l BC AB -=
∆
代入变形协调方程中得：
P N N BC AD -=22 ③
联立①②③可得：
P N N AE AD 2
2
=
=＝70.7KN （拉）
，(
)
2
12P
N BC +=＝120.7KN （拉） 取杆中最大内力N BC 为控制内力，则各杆的截面面积为：
[]
2
6
37.75410
160107.120mm N A BC
=⨯⨯=≥
σ 2.28 图2.29中三杆均由Q235钢制成，其横截面面积为A ，已知三杆材料的弹性模量为E ，试利用对称性和反对称性求各杆轴力。

[解] 以A 点为研究对象，其受力如图（a ）所示。

由平衡条件可知：
0=∑X ，060cos 30cos 30cos 321
=︒-︒-+︒P N N N
①
0=∑Y ，060sin 30sin 30
sin 31
=-+
P N N ②
变形的几何关系如图（b ）所示，变形协调条件为
︒
∆+
︒∆=︒∆303023032
1sm l tg l sm l ③
（a ）
1 （b
）
图2.29
利用虎克定律：
EA h N l 211⋅=
∆，EA
h
N l 322⋅=∆，EA h N l 233⋅=∆ ④ 联立③④得：
321232N N N += ⑤
由①②⑤可得出：
P N 89.01=（拉）
，P N 22.02=（拉），P N 56.03-=（压） 2.29 图2.30示阶梯杆，其上端固定，下端离地δ＝1mm 。

已知上、下两段杆的横截面面积分别为600mm 2和300mm 2，材料的弹性模量E ＝2.1×105MPa 。

试作杆的轴力图（载荷的作用F ）。

[解] 此杆的受力如图（a ）所示。

对AC 段，轴力 F N =1 对CD 段，轴力 602-=F N 对DB 段，轴力 1003-=F N 其变形协调方程为： δ=∆+∆+∆321l l l 利用虎克定律： 1111EA l N l =∆，2222EA l
N l =∆，3
333EA l N l =∆ 代入协调方程中得
6040
图2.30
6040
（b ）
B
10kN
36
9696910110
300102102
.110600102104.210600102102.1----⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯F F F 解得：
kN F 85=，则kN N 851=（拉）；kN N 152=（拉）；kN N 153-=（压）
杆的轴力图见（b ）所示。

2.30 图2.31示支架承受载荷KN P 10=，1、2、3杆由同一材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =，试求各杆轴力。

[解] 以A 点为研究对象，其受力如图（a ）所示。

由平衡条件可知：
0=∑X ，030cos 30cos 3
21=-+
N N N ① 0=∑Y ，030sin 30
sin 31
=-+P N N
②
变形的几何关系如图（b ）所示，变形协调条件为
30
sin 30230sin 302
01l tg l l ∆+∆=∆ ③ 利用虎克定律：
1111EA l N l =
∆，2222EA l
N l =∆，3
333EA l N l =∆ ④ 联立③④得：
32122N N N += ⑤
P
（a ）
1
（b ）
图2.31
由①②⑤可得出：
kN N 46.81=（拉）
，kN N 68.22=（拉），kN N 54.113-=（压）。