2020年江西省中考数学模拟试卷(12)

2020年江西省中考数学模拟试卷（12）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A ．|﹣5|
B ．﹣（﹣3）
C ．（﹣1）2019
D ．（﹣1）0
2．（3分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量
达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ）
A ．116×106
B ．11.6×107
C ．1.16×107
D ．1.16×108
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A ．a 2•（a 3）2＝a 2
B ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4
C ．（12）﹣1+|﹣1|﹣（π﹣1）0＝2
D ．（−1x ）÷1x 2+x =−x +1
4．（3分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个
球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A ．3个
B ．不足3个
C ．4个
D ．5个或5个以上
5．（3分）下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而减小的是（ ）
A ．y ＝2x
B ．y =−12x +1
C ．y =2x
D ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＜1）
6．（3分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到△DEC
的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．55°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）如图，数轴上点A 与点B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数是 ．
8．（3分）如图l 1∥l 2∥l 3，若AB BC =32，DF ＝10，则DE ＝ ．
9．（3分）南昌至赣州的高铁于2019年年底通车，全程约416km ，已知高铁的平均速度比
普通列车的平均速度快100km ，人们的出行时间将缩短一半，求高铁的平均速度．设高铁的平均速度为x ，则可列方程： ．
10．（3分）如图，一次函数的图象y ＝﹣x +b 与反比例函数的图象y =a x
交于A （2，﹣4），B
（m ，2）两点．当x 满足条件 时，一次函数的值大于反比例函数值．
11．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝x 2﹣2x +3的图象先向左平移1个单位，再
向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣4x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a 的值是 ．
三．解答题（共11小题）
13．如图，在菱形ABCD 中，EF 过菱形ABCD 对角线的交点O ，与AB 、DC 交于点E 和点
F ．
（1）求证：BE ＝DF ；
（2）若AB ＝2，E 为AB 中点，求EF 的长．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．
（1）在以下结论①∠FDB＝∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有，请选择一个你认为正确的结论进行证明．
（2）若MC=√2，求BF的长．
16．张馨参加班长竞选，需要进行演讲、学生代表评分、答辩三个环节，其中学生代表评分项的得分以六位代表评分的平均数计分，她的各项得分如表所示：
竞评项目演讲学生代表评分答辩得分9.59.29.29.09.29.39.39.0（1）求学生代表给张馨评分的众数和中位数．
（2）根据竞选规则，将演讲、学生代表评分、答辩的得分按20%、50%，30%的比例计算成绩，求张馨的最后得分．
17．如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F；
（2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半．
18．如图，在宽为40m，长为64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418m2，则道路的宽应为多少？
19．体育锻炼对学生的健康成长有着深远的影响．某中学开展了四项球类活动：A：乒乓球；B：足球；C：排球；D：篮球．王老师对学生最喜欢的一项球类活动进行了抽样调查（每人只限一项），并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次调查的学生总数是人；将图1、图2的统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢排球项目的4名学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加校排球队，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
21．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B 不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．
22．已知如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A和点C（2，0），与y轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合，
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求a和b的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB
23．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在射线CD 、BC 上，且BF
＝CE ，将线段F A 绕点F 顺时针旋转90°得到线段FG ，连接EG ，试探究线段EG 和BF 的数量关系和位置关系．
【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E 、F 的特殊位置如图②，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，易知：EG 与BF 的数量关系是 ，EG 与BF 的位置关系是 ．
【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E 、F 不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E 、F 分别在CD 、BC 边上任意位置时（如图③）；一种是点E 、F 在CD 、BC 边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG 与BF 的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．
【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ，且AB BC =k
（k ≠1）”，点E 、F 分别在射线CD 、BC 上任意位置时，仍将线段F A 绕点F 顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG ，连接EG （如图⑤），则当线段BF 、CE 、AF 、FG 满足一个条件 时，线段EG 与BF 的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）
2020年江西省中考数学模拟试卷（12）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A ．|﹣5|
B ．﹣（﹣3）
C ．（﹣1）2019
D ．（﹣1）0
【解答】解：A 、|﹣5|＝5，是正数，不合题意；
B 、﹣（﹣3）＝3，是正数，不合题意；
C 、（﹣1）2019＝﹣1，是负数，符合题意；
D 、（﹣1）0＝1，是正数，不合题意；
故选：C ．
2．（3分）为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量
达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（ ）
A ．116×106
B ．11.6×107
C ．1.16×107
D ．1.16×108
【解答】解：将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．
故选：D ．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A ．a 2•（a 3）2＝a 2
B ．（a ﹣2）2＝a 2﹣4
C ．（12
）﹣1+|﹣1|﹣（π﹣1）0＝2 D ．（−1x ）÷1x 2+x =−x +1 【解答】解：（A ）原式＝a 8，故A 错误；
（B ）原式＝a 2﹣4a +4，故B 错误；
（D ）原式=−1x •x （x +1）＝﹣x ﹣1，故D 错误；
故选：C ．
4．（3分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个
球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A ．3个
B ．不足3个
C ．4个
D ．5个或5个以上
【解答】解：∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中白球的个数可能是5个或5个以上．
故选：D．
5．（3分）下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（）
A．y＝2x B．y=−1
2
x+1
C．y=2
x D．y＝﹣x
2+2x﹣1（x＜1）
【解答】解：A、为一次函数，且k＝2＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大；
B、为一次函数，且k=−1
2＜0时，函数值y总是随自变量x增大而减小；
C、为反比例函数，当x＞0或者x＜0时，函数值y随自变量x增大而增大，当没有明确
自变量的取值范围时，就不能确定增减性了；
D、为二次函数，对称轴为x＝﹣1，开口向上，故当x＜1时，函数值y随自变量x增大
而增大，
符合题意的是B，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转θ角到△DEC 的位置，这时点B恰好落在边DE的中点，则旋转角θ的度数为（）
A．60°B．45°C．30°D．55°
【解答】解：∵∠ABC＝90°，B为DE的中点，
∴BC＝BE＝BD，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转θ角到△DEC的位置，
∴CB＝CE，
∴CB＝CE＝BE，
∴△ECB为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝∠ECB＝60°，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）如图，数轴上点A 与点B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数是 2 ．
【解答】解：由数轴知A 表示的数是﹣2，
∵数轴上点A 与点B 表示的数互为相反数，
∴点B 表示的数是2．
故答案为2．
8．（3分）如图l 1∥l 2∥l 3，若AB BC =32，DF ＝10，则DE ＝ 6 ．
【解答】解：∵l 1∥l 2∥l 3，
AB BC =32， ∴AB BC =DE EF =32， ∵DF ＝10，
∴DE 10−DE =32， 解得：DE ＝6，
故答案为：6．
9．（3分）南昌至赣州的高铁于2019年年底通车，全程约416km ，已知高铁的平均速度比
普通列车的平均速度快100km ，人们的出行时间将缩短一半，求高铁的平均速度．设高铁的平均速度为x ，则可列方程： 416x =4162(x−100) ．
【解答】解：设高铁的平均速度为xkm /h ，则普通列车的平均速度为（x ﹣100）km /h ， 依题意，得：
416x =4162(x−100)． 故答案为：416x =4162(x−100)．
10．（3分）如图，一次函数的图象y ＝﹣x +b 与反比例函数的图象y =a x 交于A （2，﹣4），B
（m ，2）两点．当x 满足条件 x ＜﹣4或0＜x ＜2 时，一次函数的值大于反比例函数值．
【解答】解：∵反比例函数的图象y=a
x经过A（2，﹣4），B（m，2）两点，
∴a＝2×（﹣4）＝2m，
解得m＝﹣4
∴点B（﹣4，2），
∴由函数的图象可知，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值，
故答案为x＜﹣4或0＜x＜2．
11．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3
＝（x﹣1）2+2，
∵将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位，
∴得到的抛物线的解析式为：y＝x2+2，
∵再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为：y＝x2．
故答案为：y＝x2．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是3．
【解答】解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H．
∵直线y ＝﹣4x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点B （0，4），点A （1，0）， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝BC ，∠BAD ＝90°，
∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∠BAO +∠DAM ＝90°， ∴∠ABO ＝∠DAM ， 在△ABO 和△DAM 中， {∠BOA =∠AMD =90°
∠ABO =∠DAM AB =AD
，
∴△ABO ≌△DAM ，
∴AM ＝BO ＝4，DM ＝AO ＝1，
同理可以得到：CF ＝BN ＝AO ＝1，DF ＝CN ＝BO ＝4， ∴点F （5，5），C （4，5），D （5，1）， 设点D 在双曲线y =k x
（k ≠0）上，则k ＝5， ∴反比例函数为y =5x ，
∴直线CN 与反比例函数图象的交点H 坐标为（1，5），
∴正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，顶点C 恰好落在双曲线y =5
x
上时，a ＝4﹣1＝3， 故答案为3．
三．解答题（共11小题）
13．如图，在菱形ABCD 中，EF 过菱形ABCD 对角线的交点O ，与AB 、DC 交于点E 和点F ．
（1）求证：BE ＝DF ；
（2）若AB ＝2，E 为AB 中点，求EF 的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，BO ＝DO ，
∴∠EBO ＝∠FDO ，∠BEO ＝∠DFO ，且BO ＝DO ， ∴△BEO ≌△DFO （AAS ） ∴BE ＝DF ；
（2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AB ＝CD ， ∵E 为AB 中点， ∴OE =1
2AB ＝1， ∵△BEO ≌△DFO ∴OE ＝OF ＝1， ∴EF ＝2．
14．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值． 【解答】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0， ∴{m −1≠0△=4m 2−4(m −1)(m −2)≥0， 解得：m ≥2
3且m ≠1
（2）由（1）可知：m 是最小整数， ∴m ＝2，
∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0， 解得：x ＝0或x ＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．
（1）在以下结论①∠FDB＝∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正确的有①②③，请选择一个你认为正确的结论进行证明．
（2）若MC=√2，求BF的长．
【解答】解：（1）①②③．
②MC垂直平分BD，
证明如下：连接BM、DM．
∵ABCD是正方形，
∴∠A＝∠DCE＝90°，AD＝CD；
又∵AF＝EC（已知），
∴△AFD≌△CED．（SAS）
∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE．
∴∠FDE＝∠ADC＝90°．
∵M是EF的中点，
∴MD=1
2EF；
∵BM =1
2
EF ， ∴MD ＝MB ．
又 DC ＝BC ，MC 是公共边， ∴△DCM ≌△BCM ，（SSS ） ∴∠BCM ＝∠DCM ，
∴CM 在正方形ABCD 的角平分线AC 上， ∴MC 垂直平分BD ；
（2）过点M 作MQ ⊥BC 于点Q ． 由（1）知，CM 即BD 的中垂线， ∴∠MCQ ＝45°； 又∵点M 是EF 的中点，
∴MQ 是直角三角形EFB 的中位线， ∴MQ =1
2BF ； 又∵MC =√2 ∴MQ ＝1， ∴BF ＝2MQ ＝2．
16．张馨参加班长竞选，需要进行演讲、学生代表评分、答辩三个环节，其中学生代表评分项的得分以六位代表评分的平均数计分，她的各项得分如表所示： 竞评项目 演讲 学生代表评分
答辩
得分
9.5
9.2
9.2
9.0 9.2 9.3 9.3
9.0
（1）求学生代表给张馨评分的众数和中位数．
（2）根据竞选规则，将演讲、学生代表评分、答辩的得分按20%、50%，30%
的比例计
算成绩，求张馨的最后得分．
【解答】解：（1）学生代表给张馨评分的众数和中位数分别为9.2，9.2．
（2）学生代表给张馨评分的平均分=1
6（9.2+9.2+9.0+9.2+9.3+9.3）＝9.2，
张馨的最后得分=9.5×20%+9.2×50%+9.0×30%
20%+50%+30%
=9.2．
17．如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F；
（2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半．
【解答】解：（1）如图1，F点就是所求作的点；
（2）如图2，矩形EGFH就是所求作的四边形．
18．如图，在宽为40m，长为64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418m2，则道路的宽应为多少？
【解答】解：设道路的宽应为xm，
依题意，得：（64﹣2x）（40﹣x）＝2418，
整理，得：x2﹣72x+71＝0，
解得：x1＝1，x2＝71（不合题意，舍去）．
答：道路的宽应为1m ．
19．体育锻炼对学生的健康成长有着深远的影响．某中学 开展了四项球类活动：A ：乒乓球；B ：足球；C ：排球；D ：篮球．王老师对学生最喜欢的一项球类活动进行了抽样调查（每人只限一项），并将调查结果绘制成图 1，图2两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次调查的学生总数是 40 人；将图1、图2的统计图补充完整； （2）已知在被调查的最喜欢排球项目的4名学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加校排球队，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为6÷15%＝40人， B 项活动的人数为40﹣（6+4+14）＝16， B 项所占的百分比是：1640
×100%＝40%；
补全统计图如下：
故答案为：40；
（2）列表如下：
男 男 男 女 男 （男，男）
（男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男）
（男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有6种，
所以抽到一名男生和一名女生的概率是
612
=1
2
．
20．学校的学生专用智能饮水机里水的温度y （℃）与时间x （分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB ），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC 为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y 与x 之间的函数表达式．
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
【解答】解：（1）设直线AB 解析式为：y ＝kx +b ，则{100=9k +b b =20，解得：{k =80
9b =20
， ∴温度上升段（AB ）的解析式为：y =
80
9
x +20（x ＜9）； 设反比例函数的表达式为：y =k
x
（x ≥9），
将点B （9，100）的坐标代入上式得：100=k
9，解得：k ＝900， 故温度下降段（BC 段）函数表达式：y =900
x （x ≥9）；
（2）对于反比例函数y =900
x
（x ≥9）， 当y ＝30时，即y =
900
x
=30，解得：x ＝30， 同理可得：当y ＝45时，x ＝20，
水温在30℃～45℃，此时x 为20～30分．
故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟， 故有12×10＝120个同学可以盛到最佳温度的水．
21．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，D 为AB 边上一动点（点D 与点A 、B 不重合），联结CD ，过点D 作DE ⊥DC 交边BC 于点E ． （1）如图，当ED ＝EB 时，求AD 的长；
（2）设AD ＝x ，BE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD 沿直线CD 翻折得△CDB '，联结AB '，当△CAB '是等腰三角形时，直接写出AD 的长．
【解答】解：（1）∵ED ＝EB ， ∴∠EDB ＝∠B ， ∵CD ⊥DE ，
∴∠CDE ＝∠A ＝90°，
∵∠ACD +∠ADC ＝90°，∠ADC +∠EDH ＝90°， ∴∠ACD ＝∠EDB ＝∠B ， ∴tan ∠ACD ＝tan ∠B ， ∴AD AC =
AC AB ，
∴
AD 3
=34
，
∴AD =9
4．
（2）如图1中，作EH⊥BD于H．
在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=√AC2+BC2=√32+42=5，
∵BE＝y，
∴EH=3
5y，BH=
4
5y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x−
4
5y，
∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，
∴AC
DH =
AD
EH
，
∴3
4−x−4
5y
=
x
3
5
y
，
∴y=20x−5x2
9+4x（0＜x＜4）．
（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC 于N
∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，
∴CE＝EB′=1
2CB′=
5
2，
∴AE=√AC2−CE2=√32−(5
2
)2=√112，
由△ACE∽△KCA，
可得AK=3√11
5，CK=
18
5，
∴BK＝AB﹣AK＝4−3√11 5，
∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，
∴DM ＝DN ，
∴S △CDK
S △CDB =DK DB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CK CB =1855=1825，
∴BD =2543BK =10043−1543√11，
∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043−15√1143
）=7243+15√1143． ②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =
2543BK =10043+15√1143， ∴AD ＝AB ﹣BD =7243−15√1143
．
22．已知如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6与x 轴交于点A 和点C （2，0），与y 轴交于点D ，将
△DOC 绕点O 逆时针旋转90°后，点D 恰好与点A 重合，点C 与点B 重合，
（1）直接写出点A 和点B 的坐标；
（2）求a 和b 的值；
（3）已知点E 是该抛物线的顶点，求证：AB ⊥EB
【解答】解：
（1）在y ＝ax 2+bx +6中，令x ＝0可得y ＝6，
∴D （0，6），且C （2，0），
∴OC ＝2，OD ＝6，
∵将△DOC 绕点O 逆时针旋转90°后得到△AOB ，
∴OA ＝OD ＝6，OB ＝OC ＝2，
∴A （﹣6，0）、B （0，2）；
（2）把A 、C 坐标代入抛物线解析式可得{36a −6b −6=04a +2b −6=0，解得{a =−12b =−2
； （3）由（2）可知抛物线解析式为y =12x 2+2x ﹣6=12（x +2）2﹣8，
∴E （﹣2，8），
∵A （﹣6，0），B （0，2），
∴AB 2＝（0+6）2+22＝40，EB 2＝（0+2）2+（2﹣8）2＝40，AE 2＝（﹣6+2）2+（0﹣8）2＝80，
∴AB 2+BE 2＝AE 2，
∴△ABE 是以AE 为斜边的直角三角形，
∴AB ⊥BE ．
23．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在射线CD 、BC 上，且BF
＝CE ，将线段F A 绕点F 顺时针旋转90°得到线段FG ，连接EG ，试探究线段EG 和BF 的数量关系和位置关系．
【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E 、F 的特殊位置如图②，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，易知：EG 与BF 的数量关系是 EG ＝BF ，EG 与BF 的位置关系是 EG ∥BF ．
【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E 、F 不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E 、F 分别在CD 、BC 边上任意位置时（如图③）；一种是点E 、F 在CD 、BC 边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG 与BF 的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．
【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ，且AB BC =k
（k ≠1）”，点E 、F 分别在射线CD 、BC 上任意位置时，仍将线段F A 绕点F 顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG ，连接EG （如图⑤），则当线段BF 、CE 、AF 、FG 满足一个条件 BF CE =AF FG =k （k ≠1） 时，线段EG 与BF 的数量关系与位置关系仍然成立．（请
你在横线上直接写出这个条件，无需证明）
【解答】【观察与猜想】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°， 由旋转的性质得：GC ＝AC ，∠ACG ＝90°，
∴∠ACB ＝∠GCD ＝45°，
在△ABC 和△GDC 中，{BC =DC
∠ACB =∠GCD AC =GC
，
∴△ABC ≌△GDC （SAS ），
∴AB ＝GD ，∠GDC ＝∠B ＝90°，
∴DG ∥BC ，△CDG 是等腰直角三角形，
∴DG ＝CD ＝BC ，
∵点E 与点D 重合，点F 与点C 重合，
∴EG ＝BF ，EG ∥BF ；
故答案为：EG ＝BF ，EG ∥BF ；
【探究与证明】证明：点E 、F 分别在CD 、BC 边上任意位置时，如图③所示： 作GM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，则∠GMF ＝90°，MG ∥DC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠BCD ＝∠B ＝90°，
∴∠BAF +∠BF A ＝90°，
由旋转的性质得：GF ＝AF ，∠AFG ＝90°，
∴∠BF A +∠MFG ＝90°，
∴∠BAF ＝∠MFG ，
在△ABF 和△FMG 中，{∠B =∠GMF =90°
∠BAF =∠MFG AF =GF
，
∴△ABF ≌△FMG （AAS ），
∴AB ＝FM ，BF ＝MG ，
∵AB ＝BC ，
∴BF ＝CM ，
∵BF ＝CE ，
∴MG ＝CE ，
∵MG ∥CE ，
∴四边形CEGM 是平行四边形，
又∵∠GMF ＝90°，
∴四边形CEGM 是矩形，
∴EG ＝CM ，EG ∥CM ，
∴EG ＝BF ，EG ∥BF ；
点E 、F 在CD 、BC 边的延长线上的任意位置时，如图④所示：
作GM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，则∠GMF ＝90°，MG ∥DC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠BCD ＝∠B ＝90°，
∴∠BAF +∠BF A ＝90°，
由旋转的性质得：GF ＝AF ，∠AFG ＝90°， ∴∠BF A +∠MFG ＝90°，
∴∠BAF ＝∠MFG ，
在△ABF 和△FMG 中，{∠B =∠GMF =90°
∠BAF =∠MFG AF =GF
， ∴△ABF ≌△FMG （AAS ），
∴AB ＝FM ，BF ＝MG ，
∵AB ＝BC ，
∴BF ＝CM ，
∵BF ＝CE ，
∴MG ＝CE ，
∵MG ∥CE ，
∴四边形CEGM 是平行四边形，
又∵∠GMF ＝90°，
∴四边形CEGM 是矩形，
∴EG ＝CM ，EG ∥CM ，
∴EG ＝BF ，EG ∥BF ；
【拓展与延伸】解：BF CE =AF FG =k （k ≠1）时，线段EG 与BF 的数量关系与位置关系仍
然成立；理由如下：
作GM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，如图⑤所示： 则∠GMF ＝90°，MG ∥DC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠BCD ＝∠B ＝90°，
∴∠BAF +∠BF A ＝90°，∠B ＝∠GMF ， 由旋转的性质得：∠AFG ＝90°，
∴∠BF A +∠MFG ＝90°，
∴∠BAF ＝∠MFG ，
∴△ABF ∽△FMG ，
∴
AB FM =BF GM =AF FG ， ∵
BF CE =AF FG =k ， ∴AB FM =AB BC =k ，BF GM =BF CE =k ，
∴FM ＝BC ，GM ＝CE ， ∴BF ＝CM ，
∵MG ∥CE ，
∴四边形CEGM 是平行四边形， 又∵∠GMF ＝90°，
∴四边形CEGM 是矩形， ∴EG ＝CM ，EG ∥CM ， ∴EG ＝BF ，EG ∥BF ； 故答案为：
BF CE =AF FG =k （k ≠1）．。