数列知识点总结

数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=(为常数)，()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：是等差数列
(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，
232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， (4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= (5)为等差数列2n S an bn ⇔=+(为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)。

的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出中的正、负分界项，(即：当100a d ><，，
解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得达到最大值时的n 值;当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得达到最
小值时的n 值. )
(6)项数为偶数n 2的等差数列
，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，
1
+=
n n
a a S S 偶
奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列
，有
)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，
1
-=
n n S S 偶
奇. 2. 等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=(q 为常数，)，11n n a a q -=.
等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=
，或G =
前n 项和：()11(1)
1(1)1n n na q S a q q q
=⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩
性质：是等比数列
(1)若m n p q +=+，则m
n p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 3．求数列通项公式的常用方法
◆ 由n S 求n a 。

( ⎩⎨⎧=≥-=-1,2
,1
1n S n S S a n n n )
例1：数列，122111
25222n n a a a n +++=+……，求
解 时，11
2152a =⨯+，∴114a =
时，122111
25222
n n a a a n +++=+…… ①
12121111
2152
22n n a a a n --+++=-+…… ②
①—②得：122n n a =，∴1
2n n a +=，∴114(1)2(2)
n n n a n +=⎧=⎨≥⎩
［练习］数列满足1115
43
n n n S S a a +++==，，求
注意到11n n n a S S ++=-，代入上式整理得
1
4n n
S S +=，又14S =，∴是等比数列，故4n n S =。

时，1
134
n n n n a S S --=-==……·⎩⎨⎧=≥⋅=-1
,42
,431n n a n n 故
◆由递推公式求n a
(1)累加法(形式)(1n f a a n n =-+)
例2：数列中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求
解：⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
=-=-=-≥-----3332122
2111a a a a a a n n n n n n n ΛΛ时， 累加得2)13(333311
21-=
+++=---n n n a a Λ )13(2
1-=∴n
n a (2)累乘法(
形式)(1
n f a a n
n =+) 例3：数列中，1131
n n a n
a a n +==+，，求
解：
3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n =又13a =，∴3
n a n =.
(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列) ▼取倒构造(
1
+n a 等于关于
n
a 的分式表达)
例4：11212
n
n n a a a a +==
+，，求 解：由已知得：
1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112
n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为1
2，∴()
()11111122n n n a =+-=+·， ∴2
1n a n =
+
▼ 同除构造
例5：n n n n a a a a 求,33,111+==+。

解：对上式两边同除以13+n ，得
313311+=++n
n n n a a ，则⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，3131=a ，公差为31
，∴331)1(313
n n a n n =⋅-+=，∴1333-⋅=⋅=n n n n n a 。

例6：11132,1+++==n n n a a a ，求n a 。

解：对上式两边同除以12+n ，得
1
11)23(22++++=n n n n n a a ，令n
n n a b 2
=，则有1
123++⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-n n n b b ，累加法可得89
)21(433
21)23(1)23(121-=-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=--n n n b b ，,21211==a b 又则
85
)21(43-=
n n b ，即43285,85)2
1(432+⋅-=-=n n
n n n a a 。

例7：n n n n n a a a a a a 求,02,1111=+-=--。

解：对上式两边同除以1-n n a a ，得
02111
=+-
-n n a a ，即21
11
+=-n n a a ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列，
111=a ，公差为2，∴12)1(211-=-+=n n a n ，∴1
21-=n a n 。

▼取对构造(涉及n a 的平方)
例8：.,3,32
11n n
n a a a a 求==+ 解：对上式两边取对数，得2
13lg lg n n a a =+，由对数运算性质得3lg lg 2lg 1+=+n n a a
两边同时加3lg ，整理得,lg 23lg ),3lg (lg 23lg lg 11n n n n a a a a =+=+++即则{}n a 3lg 为公比为2的等比数列，由此推知n a 通项公式。

▼等比型(常用待定系数)
例9：n n n a a a a 求,23,111+==+。

解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(31k a k a n n +=++，整理可知22=k ，则1=k ，∴原式可化为)1(311+=++n n a a ，则{}1+n a 为公比=3的等比数列，由此推知n a 通项公式。

例10：134,211+-==+n a a a n n ，求n a 。

解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(4)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，整理
可知⎩⎨⎧=--=1333k b k ，得0,1=-=b k ，∴原式可化为)(4)1(1n a n a n n -=+-+，则{}
n a n -为公比=4的等比数列，由此推知n a 通项公式。

▼提公因式
例11：n n n n a a a a a 求,21,111=+=+。

解：上式变形为11-=-+n n n n a a a a ，等号左边提公因式得()111-=-+n n n a a a ，
,111n n n a a a -=
-+两边取倒数得111
11,11111+-=--=-++n n n n n a a a a a ，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为公差为1的等差数列，由此推知n a 通项公式。

例12：)2(32,3,21121≥-===-+n a a a a a n n n 当，求n a 。

解：上式变形为()11112,22-+-+-=--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ，令n n n a a b -=+1，则
121-=n n b b ，{}1
12121,1-⎪
⎭⎫
⎝⎛==n n n b b b 的等比数列，公比为为首项，1
121-+⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-n n n a a ；
由累加法可求得n a 通项公式。

4. 求数列前n 项和的常用方法 (1)分组求和(分组后用公式)
例13：求和n n 21
813412211++++Λ。

解：原式=)2
1
814121()321(21813412211n n n n +++++++++=++++++++ΛΛΛ
=2)1(2112
11)
211(212)1(++-=--+
+n n n n n n (2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. ) 常用：
111)1(1+-=+n n n n ；
)211(21)2(1+-=+n n n n ；n n n n -+=++11
1。

(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)
例14：2311234n n S x x x nx -=+++++……
求n S。

解： 2311234n n S x x x nx -=+++++…… ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·…… ②
①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 时，()()
2
111n
n
n
x nx S x
x -=-
--，时，()
11232
n n n S n +=++++=
…… [练习] 求数列n n S n n 项和的前⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧2。

(答案：n n n S 222+-=)
(4)倒序相加(前后项之和为定值。

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. )
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫
⎬=++++⎭
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
5. 求数列绝对值的前n 项和(根据项的正负，分类讨论)
例15：已知数列{}n a 的通项n a n 211-=，n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T 。

解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，
,2,91-==d a 公差210)2(2
)
1(9n n n n n S n -=-⋅-+= 5≤n 时，2212110n n S a a a a a a T n n n n -==+++=+++=ΛΛ 5>n 时，
()()
50
10)10(50222555765216521+-=--=-=--=+++-+++=+++++=n n n n S S S S S a a a a a a a a a a a T n n n n
n ΛΛΛΛ
∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=5
,50105
,1022
n n n n n n T n 。