2019高考数学精讲精练(新人教a版)第02章函数b

2019高考数学精讲精练（新人教a 版）第02章函数b
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系、 【基础练习】
1. 二次函数232y x x =-+,那么其图像的开口向__上__；对称轴方程为
32
x =
；
顶点坐标为 3
1(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14
-、 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,那么m =__－2___，顶
点坐标为
(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞、
3. 函数221y x x =--的零点为
11,2
-
、
4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要
条件为
0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0
b c
a a
∆≥-<>、 5. 函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范围是__________、
【范例解析】
例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈、 〔1〕讨论)(x f 的奇偶性；
〔2〕假设2a =时，求)(x f 的最小值、 分析：去绝对值、
解：〔1〕当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数、
当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠、
[1,2]
此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数、 〔2〕
⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2
12 3)(2
2x x x x x x x f
由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为
4
3)21(=f 、
故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为4
3、
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值、 例2.函数()
f x 212
ax x a =+-()a R ∈
在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达
式、
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况、 解：∵直线
1x a =-是抛物线()f x 2
12
ax x a
=+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
〔1〕当0>a 时，函数()y f x =
，
2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由
10
x a
=-<知()f x
在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；
〔2〕当0=a 时，()f x x =
，
2]x ∈，有)(a g =2；
〔3〕当0<a 时，，函数()y f x =
，
2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段， 假设
1x a =-]2,0(∈即2
2-
≤a 时，)(a
g f ==， 假设
1x a =-]2,2(∈即]
21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a =-=--， 假设
1x a =-),2(+∞∈即)
0,2
1(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a 、
综上所述，有)(a g =
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
-≤-≤<---->+)
2
2
(2)
2
122(,21)
2
1
(2a a a a a a 、
点评：解答此题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =
在区间
2]上的单调性、 【反馈演练】
1、函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥、
2、二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，那么此二次函数的解析式为
2215
y x x =-++、
3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为以下四图之一： 那么a 的值为 〔 B 〕
A 、1
B 、－1
C 、
2
51--
D 、
2
51+-
4、假设不等式210x ax ++≥对于一切
1(0,)2x ∈成立，那么a 的取值范围是5
[,)
2
-+∞、 5.假设关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，那么实数m 的取值范围是
(,5][5,)-∞-⋃+∞、
6.函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a 、 〔1〕求()g a 的表达式； 〔2〕求()g a 的最大值、
解：〔1〕由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为
2
a x =
， 当1
2
a
≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+；
当
112a -<<，即22a -<<时，2()()322
a a g a f =-=-
；
当1
2
a
≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-；
综上，
2
25,(2)
()3,(22)
252,(2)
a a a g a a a a +≤-⎧⎪
⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩、
〔2〕当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤、故当0a =时，()g a 的最大值为3、
7. 分别根据以下条件,求实数a 的值：
〔1〕函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； 〔2〕函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4、
解：〔1〕当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，那么1a =-；
当01a ≤≤时，max ()()
f x f a =，令()2f a =
，
a ∴=
；
当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =、
综上，可得1a =-或2a =、
〔2〕当0a >时，max ()(2)
f x f =，即814a +=，那么
38
a =
； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，那么3a =-、
综上，
38
a =
或3a =-、 8. 函数2(),()f x x a x R =+∈、 〔1〕对任意12
,x x R ∈，比较121
[()()]
2
f x f x +与
12()
2
x x f +的大小；
〔2〕假设[1,1]x ∈-时，有
()1
f x ≤，求实数a 的取值范围、
解：〔1〕对任意1x ，2
x R ∈，2
1212121
1[()()]()()0224
x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121
[()()]()22
x x f x f x f ++≥、
〔2〕又()1
f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，
得
2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]
a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤、
第7课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算、 【基础练习】
1.写出以下各式的值：(0,1)a a >≠
=3π-； 2
38=____4____； 3481-=1
27
； log 1a =___0_____； log a a =____1____；
log
4=
__－4__、
2.化简以下各式：(0,0)a b >> 〔1〕
2
11
13
3
3324()3
a b
a b ---÷-=
6a -； 〔2〕2222(2)()a a a a ---+÷-=221
1
a a -+、
3.求值：〔1
〕
35
log (84)⨯=
___－38____；
〔2〕33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；
〔3〕234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____、
【范例解析】
例1. 化简求值：
〔1〕假设13a a -+=，求11
22a a --及44224
8
a a a a --+-+-的值； 〔2〕假设3
log 41x =，求332222x x x x
--++的值、
分析：先化简再求值、
解：〔1〕由13a a -+=，得112
22()1
a a -
-=，故11221a a --=±； 又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224
43
8
a a a a --+-=-+-、
〔2〕由3
log 41x =得43x =；那么33227414
223
x x
x x
x x
---+=-+=+、 点评：解条件求值问题：〔1〕将条件适当变形后使用；〔2〕先化简再代入求值、 例2.〔1〕求值：
1
1lg9lg 240212361lg 27lg 35
+-+-+； 〔2〕2log 3m =，3log 7n =，求42log 56、
分析：化为同底、 解：〔1〕原式=
lg10lg3lg 240
136lg10lg9lg 5
+-+-+1lg
810lg8=+=；
〔2〕
由
2log 3m
=，得
3
1l
o g 2
m
=；
所以
333
42333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn
m mn ++===++++、
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数、 例3. 35a b c ==，且1
1
2a b
+=，求c 的值、 分析：将a ，b 都用c 表示、 解：由35a b c ==，得1
log 3
c a
=，1
log 5
c b
=；又1
12a b
+=，那么log 3log 52c c
+=， 得215c =、
0c >
，c ∴=
点评：三个方程三个未知数，消元法求解、 【反馈演练】
1、假设21025x =，那么10x -=15
、
2、设lg321a =，那么lg0.321=3a -、
3、函数
1()lg
1x f x x
-=+，假设()f a b =，那么()f a -=－B 、
4、设函数
⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,
21x x
x x f x 假设1)(0
>x f ，那么x 0的取值范围是〔－∞，－1〕∪
〔1，+∞〕、
5、设f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12
、
6、假设618.03=a ，)1,[+∈k k a ，那么k =__－1__、
7、函数
2
1
(0)()21
(1)
x
c cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且
8
9)(2
=
c f 、
〔1〕求实数c 的值； 〔2〕解不等式
1
8
2
)(+＞x f 、 解：〔1〕因为01c <<，所以2c c <， 由
2
9()8f c =，即3918c +=，12
c =
、 〔2〕由〔1〕得：
4111022()12112x x x f x x -⎧⎛
⎫+<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨
⎛⎫
⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤
由
()18f x >+得，当102x <<
时，解得142
x <<
、
当1
1
2
x <≤时，解得1
528
x <≤，
所以
()18f x >+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
、 第8课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，
1y x
=
，1
2y x =的图像了解它们的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型、 【基础练习】
1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，那么实数a 的取值范围是
(1,2)、 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，那么()f x =222x -+、 3.函数
2
20.3
x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间
1(,]
2
-∞-；值域1
4(0,0.3]、
4.函数
1()41x f x a =++是奇函数，那么实数a 的取值12
-
、
5.要使
1
1()2
x y m
-=+的图像不经过第一象限，那么实数m 的取值范围2m ≤-、 6.函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，那么此定点坐标为1
(,0)2
、
【范例解析】
例1.比较各组值的大小：
〔1〕0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62； 〔2〕b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； 〔3〕13
1
()2
，1
21()3
、 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性、 解：〔1〕
0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，
0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<、
〔2〕
01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>、
〔3〕1
113
221
11
()()()223>>、
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类、 例2.定义域为R 的函数
1
2()2x x b f x a
+-+=+是奇函数,求,a b 的值；
解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
1
1201()22x x b b f x a a +--=⇒=∴=++
又由f 〔1〕= －f 〔－1〕知
1112
2 2.41
a a a -
-=-⇒=++
例3.函数
2
()(1)
1
x
x f x a a x -=+>+，求证： 〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； 〔2〕方程()0f x =没有负根、 分析：注意反证法的运用、 证明：〔1〕设12
1x x -<<，
1
2
2112123()()()(1)(1)
x x x x f x f x a a x x --=-+
++，
1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，那
么12
()()0f x f x -<
故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数、
〔2〕设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，那么
0021x x a x -=-
+、又001x
a <<，
002
01
1x x -∴<-<+
即01
2
2
x <<，与假设0
0x <矛盾，故方程()0f x =没有负根、
点评：此题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系、 【反馈演练】
1、函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有〔 C 〕 A 、)()()(y f x f xy f =
B 、)()()(y f x f xy f +=
C 、)()()(y f x f y x f =+
D 、)()()(y f x f y x f +=+
2、设
7
13=
x
，那么〔 A 〕 A 、－2<x <－1 B 、－3<x <－2 C 、－1<x <0 D 、0<x <1
3、将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的
图像、
A 、先向左平行移动1个单位
B 、先向右平行移动1个单位
C 、先向上平行移动1个单位
D 、 先向下平行移动1个单位
4、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，那么以下结论正确的选项是〔 C
A 、0,1<>b a
B 、0,1>>b a
C 、0,10><<b a
D 、0,10<<<b a
5、函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，那么a 的值为___2__、
6、假设关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范围、 解：由4220x x m ++-=得，
219
422(2)2
24
x
x
x
m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7、函数
2()()(0,1)
2
x x
a f x a a a a a -=->≠-、 〔1〕判断()f x 的奇偶性；
〔2〕假设()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围、 解：〔1〕定义域为R ，那么
2()()()
2
x x
a f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数、 〔2〕设12
x x R <∈，
12
121221()()()(1)
2x x x x a f x f x a a a a
-+-=-+-， 当01a <<时，得220a -<，即01a <<； 当1a >时，得220a ->，即a >
综上，实数a
的取值范围是
(0,1))⋃+∞、
第9课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题、 【基础练习】 1. 函数
)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1
[,2)4
、
2. 函数
2()log 21
f x x =-的单调减区间是
1(,)
2
-∞、 【范例解析】
例1. 〔1〕log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，那么实数a 的取值范围是_________、
①)(x f 有最小值；②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；
④假设)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是4-≥a 、 那么其中正确命题的序号是_____________、 分析：注意定义域，真数大于零、
解：〔1〕0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，
那么1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<、 〔2〕①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立； ③当40a -<<时，假设)(x f 的定义域为R ，那么20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④假设)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，那么
2,2420.
a
a a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得
a ∈∅，不成立、
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决、 例3.函数
x
x x x f -+-=11log 1)(2
，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性、
解：x 须满足
,11011,0110
<<->-+⎪⎩⎪
⎨⎧>-+≠x x x x
x
x 得由所以函数)(x f 的定义域为〔－1，0〕∪
〔0，1〕.
因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有
)
()11log 1(11log 1)(22x f x x
x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在〔0，1〕内的单调性，任取x 1、x 2∈〔0，1〕，且设x 1<x 2，那么
,0)112
(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(
11log 111log 1
)()(1
222211
222212
22
2112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由
得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在〔0，1〕内单调递减，
由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在〔－1，0〕内单调递减.
点评：此题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力、
【反馈演练】
1、给出以下四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)
；③ln ln 2.其中值最大的序号是___④___.
2、设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，那么a b +等于___5__、
3、函数log (3)1(0,1)a
y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，那么定点A 的坐标是(2,1)--、
4、函数
]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，那么a 的值为12
、
5、函数
()⎩⎨⎧>+-≤-=1
,341,442
x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2
log =的图象的交点个数有
___3___个.
6、以下四个函数：①lg y x x =+；②lg y x x =-；③lg y x x =-+；
第6题
④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如下图的序号为___②___.
7、求函数
22()log 2log 4x f x x =⋅,1
[,4]
2
x ∈的最大值和最小值、 解：
2222()log 2log (log 1)(log 2)
4
x f x x x x =⋅=+-222log log 2x x =--
令2
log t x =，
1
[,4]
2
x ∈，那么[1,2]t ∈-， 即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值、 故函数()f x 的最大值为0，最小值为
94
-、 8、函数
()log a
x b f x x b
+=-(0,1,0)a a b >≠>、
〔1〕求()f x 的定义域；〔2〕判断()f x 的奇偶性；〔3〕讨论()f x 的单调性，并证明、 解：〔1〕解：由0
x b
x b
+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞、
〔2〕
()log ()()
a x b
f x f x x b
-+-==---，故()f x 为奇函数、 〔3〕证明：设12
b x x <<，那么
121221()()()()log ()()
a
x b x b f x f x x b x b +--=+-，
12212121()()2()
10
()()()()
x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-、
当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；
当01a <<时，12
()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数、
第10课函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系、
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质、
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法、 【基础练习】
1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1___个零点、
2.函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：
那么()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个、 【范例解析】
例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如下图：令()()g x af x b =+， 那么以下关于函数()g x 的结论：
①假设a <0，那么函数()g x 的图象关于原点对称；
②假设a =－1，－2<b <0，那么方程()g x =0有大于2的实根； ③假设a ≠0，2b =，那么方程()g x =0有两个实根； ④假设0a ≠，2b =，那么方程()g x =0有三个实根、 其中，正确的结论有___________、
分析：利用图像将函数与方程进行互化、
解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，
2()f x a
=-
，
由图知，当
222a -<-<时，2()f x a
=-
才有三个实数根，故④不正确；应选②、
点评：此题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因
此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本、
例2.设2()32f x ax bx c =++，假设0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >、 求证：〔1〕0a >且
1
2-<<-a
b
； 〔2〕方程()0f x =在(0,1)内有两个实根、
分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换、
证明：〔1〕(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代
入(1)f 得：
0a c ->，即0a c >>，且
01c a <<，即1(2,1)
b c
a a
=--∈--，即证、 〔2〕
11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >、那么两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2
内，
得证、
点评：在证明第〔2〕问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12
来考
察
1()
2
f 的正负是首选目标，如不能实现1
()02f <，那么应在区间内选取其它的值、此题也可选
3b a
-，也可利用根的分布来做、
【反馈演练】
1、设123)(+-=a ax x f ，a 为常数、假设存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，那么实数a
的取值范围是
1
(,1)(,)
2
-∞-⋃+∞、 2、设函数
2,0,()2,0.
x bx c x f x x ⎧++≤=⎨
>⎩假设(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，那么关于x 的方
程()f x x =解的个数为
〔C 〕
A 、1
B 、2
C 、
3
D 、4
3、2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，以下命题：
①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②假设0a >，那么不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；
③假设0a <，那么必存在实数0x ，使00[()]f f x x
>
④假设0a b c ++=，那么不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立、 其中正确命题的序号是①②④、
4、设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<、
求实数a 的取值范围、
解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+， 那么由题意可得
01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<
<⎪⎨
⎪>⎪>⎪⎩，，，
，
01133a a a a ⎧>⎪
⇔-<<⎨⎪<->+⎩，
，
03a ⇔<<- 故所求实数a
的取值范围是(03-，、
5、函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值；
解：
()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=
22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+=
由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=-
6、二次函数c bx ax x f ++=2)(、假设a>b >c ，且f 〔1〕=0，证明f 〔x 〕的图象与x 轴有2个交点. 证明：
2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=->且且
()f x ∴的图象与x 轴有两个交点.
第11课函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答、
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题、
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力、 【基础练习】
1今有一组实验数据如下：
现准备用以下函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
①2log v t =②12
log v t
=
③
212
t v -=
④22v t =-
其中最接近的一个的序号是______③_______、
2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.假设每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，那么出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .年利润=(出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：〔Ⅰ〕由题意得y =[1.2×(1+0.75x )－1×(1+x )]×1000×(1+0.6x )〔0<x <1〕
整理得y =－60x 2
+20x +200〔0<x <1〕. 〔Ⅱ〕要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨
⎧<<>⨯--.
10,01000)12.1(x y
即
⎩⎨
⎧<<>+-.
10,020602x x x 解不等式得
3
10<
<x .
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <0.33. 【范例解析】
例.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示、
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 ()⎩⎨
⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，，
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g (t )=200
1(t －150)2+100，0≤t ≤300、
(Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，那么由题意得 h (t )=f (t )－g (t )， 即
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤<-+-≤≤++-=.3002002102527200
1,20002
175********t t t t t t t h ，，
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－
200
1(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得：h(t)=－
200
1(t－350)2+100，
所以，当t=300时，h(t)取得区间〔200，300]上的最大值87.5、
综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【反馈演练】
1、把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之
___________2
cm、
2、某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，山顶的温度是14.1℃，山脚的温度
是26℃，那么此山的高度为_____17_____m、
3、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润〔单位：万元〕分别为L1=5.06x－0.15x2和
L2=2x，其中x为销售量〔单位：辆〕.假设该公司在这两地共销售15辆车，那么能获得的
最大利润为____45.6___万元、
4、某单位用木料制作如下图的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部
是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y
解：由题意得xy+
4
1x2=8，∴y=
x
x
4
8
2
-=
4
8x
x
-
(0<x<42).
那么框架用料长度为l=2x+2y+2(
x
2
2)=(
2
3+2)x+
x
16≥42
4
6+.
当(
2
3+2)x=
x
16,即x=8－42时等号成立.
此时，x=8－42，y=
故当x为8－42m，y为时，用料最省. 第4题。