人教A版高中数学必修一高考二轮复习新第课时函数的单调性

课题：函数的单调性
教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． （一） 主要知识： 1.函数单调性的定义：
①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函
数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.
2.单调性的定义①的等价形式：
设[]b a x x ,,21∈，那么
()()()x f x x x f x f ⇔>--02
121在[],a b 是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02
121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。

3.复合函数单调性的判断．
4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.
即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈).
①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等
（二）主要方法：
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义
域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.判断函数的单调性的方法有：()1用定义；()2用已知函数的单调性；()3利用函数的导数；()4如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数()5图象法；()6复合函数的单调性结论：“同增异减” ()7奇函数在对
称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
()8 互为反函数的两个函数具有相同的单调性．
(9)在公共定义域内，
增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

()10函数)0,0(>>+=b a x b ax y 在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；
在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减。

3.证明函数单调性的方法：()1利用单调性定义①；()2利用单调性定义②
（三）典例分析：
问题1．（00全国,节选()2）设函数()f x ax ，其中0a >.()1略；
()2求证：当a ≥1时，函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调函数
问题2．已知函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围
问题3．求下列函数的单调区间：
()
120.7log (32)y x x =-+ ()2y =
问题4．()1若函数()y f x =
在R 单调递增，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范
围是 .A (),1-∞- .B ()0,+∞ .C ()1,0- .D (),1-∞-()0,+∞
()2若()x
x
x x f +-++=
11lg
21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21x x f ＜21
的解集为
问题5．（05山东模拟）设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 、y 都有
()()()f x y f x f y +=+.求证：()1()f x 是奇函数；()2若当0x >时，有()0f x >， 则()f x 在R 上是增函数.
（四）巩固练习：
1.函数()3y x x =--的递增区间是
2.已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性为
3.已知奇函数()f x 在()0,+∞单调递增，且(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集是
4.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
.A [)3,-+∞
.B (],3-∞- .C (],3-∞ .D [)3,+∞
5.函数()f x 在递增区间是()4,7-，则(3)y f x =-的递增区间是
.A ()2,3- .B ()1,10- .C ()1,7- .D ()4,10-
（五）课后作业：
1.利用函数单调性定义证明：()f x ＝1+-x 在(],1-∞上是减函数
2.函数212
log (23)y x mx =-+在(,1)-∞上为增函数，则实数m 的取值范围
3.]0,(-∞
.A 842+-=x x y .B )(l o g 2
1x y -= .C 1
2
+-
=x y .D x y -=1 4.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是
.A )10(，
.B )2,1( .C )2,0( .D ),2[+∞
5.)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则
.A )2()(a f a f <.B )()(2a f a f <.C )()1(2a f a f <+.D )()(2
a f a a f <+
6.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，那么在区间[]7,3--上是 .A 增函数且最小值为5- .B 增函数且最大值为5-
.C 减函数且最小值为5- .D 减函数且最大值为5-
7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它在[)0,+∞上递减，那么一定有
.A 23(1)4f f a a ⎛⎫
->-+ ⎪⎝⎭
.B 34f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭≥2(1)f a a -+
.C 23(1)4f f a a ⎛⎫
-<-+ ⎪⎝⎭
.D 34f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
≤2(1)f a a -+
8.已知()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，则2(1)f x -是增函数的区间是 .A ),0[+∞ .B ]0,(-∞
.C [1,0)(1,-+∞ .D (,1](0,1]-∞-
9.（04湖南文）若2()2f x x ax =-+与1
()a
x g x +=
在区间[]1,2上都是减函数，则a
的取值范围是（ ）.A ()
()1,00,1-.B ()(]1,00,1- .C ()0,1 .D (]0,1
10.（04上海）若函数()2f x a x b =-+在[]0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的范围是
11.已知偶函数)(x f 在]20[，
内单调递减，若)1(-=f a ，)41
(log 2
1f b =，)5.0(lg f c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是_____________
12.已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数 m 的取值范围.
13.已知函数x
x
x x f -+-=
11log 1)(2
，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
14.设0a >，()x x e a
f x a e
=+是R 上的偶函数．()1求a 的值；
()2证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．
★15.(05北京东城模拟)函数()f x 对任意的,a b R ∈，
都有()()()1f a b f a f b +=+-， 并且当0x >时()1f x >.()1求证：()f x 是R 上的增函数； ()2若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<
★16.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， ()1求证：()f x 是偶函数；()2 ()f x 在(0,)+∞上是增函数；
()3解不等式2(21)2f x -<．
（六）走向高考：
1.（07天津）在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间
[]2,1是减函数，则函数()x f
.A 在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数 .B 在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数 .C 在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数 .D 在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数
2.（07辽宁文）函数212
log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）
.A 52⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
， .B (3)+∞， .C 52⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
.D (2)-∞，
3.(07福建)已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫
⎝⎛的实数x 的范围是
.A ()1,1- .B ()1,0 .C ()()1,00,1 - .D ()()+∞-∞-,11,
4.（07天津）在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间 [12]，上是减函数，则()f x
.A 在区间[21]--，
上是增函数，在区间[34]，上是增函数 .B 在区间[21]--，
上是增函数，在区间[34]，上是减函数 .C 在区间[21]--，
上是减函数，在区间[34]，上是增函数 .D 在区间[21]--，
上是减函数，在区间[34]，上是减函数
5.（07重庆）已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，
上为减函数，且函数(8)y f x =+ 为偶函数，则.A (6)(7)f f >.B (6)(9)f f >.C (7)(9)f f > .D (7)(10)f f >
6.（05山东）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 .A ()sin f x x =.B ()1f x x =-+.C ()1()2x x f x a a -=
+.D 2()ln 2x
f x x
-=+
7.（05天津）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递增，
则a 的取值范围是 .A )1,41[ .B )1,43[ .C 9,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.D 91,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.（05重庆)若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且(2)0f =， 则使得()0f x <的x 的取值范围是
.A (),2-∞； .B ()2,+∞；.C ()
(),22,-∞-+∞； .D ()2,2-
9.（06北京文)已知(3)4,1()log ,1a
a x a x f x x x --⎧=⎨
≥⎩＜
，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .A ()1,+∞
.B (),3-∞ .C ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡3,53
.D ()1,3
10.(00以前)已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单
调性．
11.（06全国Ⅰ文）
设a 为实数，函数()()3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞都是增函数，求a 的取值范围。

12.（06安徽文）设函数()32f x x bx cx =++()x R ∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。