课件：数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近

0 x1
数值分析
数值分析
一、赋范线性空间中的最佳一致逼近
一 般 取 H span{1, x, x2 , xn }
构造
Pn ( x) H
Pn ( x) f ( x) H
这 里Pn ( x)实 际 上 是 一 个 插 值 节待 点求 的
Lagrange插 值 多 项 式 。
定理1 若 f ( x)C[a, b]，则必存在一个多项式 Pn( x) H是f ( x)在[a, b]上的最佳一致逼近 多项式。
数值分析
连续函数的最佳一致逼近
一、赋范线性空间中的最佳一致逼近
（契比雪夫意义下的逼近）
若 f ( x) C[a, b] ( C[a, b] || || )
取n 1个线性无关函数 0( x),1( x), ...,n( x) C[a, b] 张成空间 Span{0( x),1( x), ...,n( x)} C[a, b]
数值分析
数值分析
二、最小零偏差多项式问题
在区间[1,1]上求函数f ( x) xn的n 1次最佳一致
逼近多项式。 设Qn1( x)就 是 函 数f ( x) xn在[1,1]的n 1次
最佳一致逼近多项式。
n1
Qn ( x) xn Qn1( x) xn ak xk k0
在 区 间[1,1]上 应 有n 1个 交 错 点 ， 并 轮 流 达 到 其最大值和最小值。 把Qn ( x)看 成 是 首1多 项 式 与 零 的 误 差 函，数 称Qn ( x)为 最 小 零 偏 差 多 项 式 。
数值分析
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P1(x)=a0+a1x
f(x)
a x1
b
综合以上，可解出
f (a) (a0 a1a) f (b) (a0 a1b)
f '( x1 ) a1
f (a) (a0 a1a) ( f (x1) (a0 a1x1))
a1
f (b) f (a) , ba
再由f '( x1 ) a1解出x1
对 f ( x) C[a, b] 但 f ( x) , 构造逼近函数s( x)
n
s( x) c j j ( x)
j0
用
s(x) f (x)
使
||
f
( x)
s( x) ||
min
则称s( x)为f ( x)在中的最佳一致逼近函数。
例：选取常数a,b，使max | ex (a bx) | 达到最小。
数值分析
数值分析
定义 设函数f ( x) C[a, b], 称点集
{ xk }kn0 { x0, x1, xn } 是f ( x)在[a, b]的交错点组，当且仅当满足
f ( xk ) (1)k
f (x)
(k 0,1, 2
, n)
其中 取1或 1。
例 f ( x) sin x 在[0, 2]的交错点组{1 , 3}。
故 b e1 e0 e 1 1.7183 10
由 f '( x1 ) e x1 e 1
求出 x1 ln(e 1) 0.5413
e0 e0.5413
0.5413
a
1.7183
0.8940
2
2
f ( x) ex在[0，1]上的最佳一致逼近多项式为
P( x) 0.8940 1.7183x
—
n ( x1 ) T n ( x1 ) 0
—
n( x2 ) T n( x2 ) 0
—
说 明n ( x) T n ( x)在xk
cos k
n
k
0,1,n
—
轮 流 改 变 正 负 号 。 由数 函的 连 续 性 ，n ( x) T n ( x)
在[1，1]上 至 少 有 个n根 。
数值分析
k
n
,k
0,1,
n。Tn ( x)在[1,1]上
轮流取最大 1和最小值 1。
Tn
(
xk
)
cos
n
k
n
cos k
1k ，k
0,1,
n
数值分析
数值分析
定理3 在区间[1,1]上，在首项系数为1的一切
n次多项式Pn ( x)中T n ( x) 21nTn( x)对 "0"的偏差最小.
即
max
数值分析
—
故n
(
x)
T
n
(
x)为n次 —
多
项
式
。
但n( x)与T n( x)都是首1的多项式，故
—
n( x) T n( x)是次数不超过n 1次的多项式，
与所设矛盾。
证毕
由 此 定 理 知 ， 所 有 首 1的n次 多 项 式n ( x)
—
在[1,1]上 有 n ( x) 21n， 而 Tn ( x) 21n
2
取插值节点
xk
1 1 cos (2k 1)
2 2 2(n 1)
,
k 0,1, 2, 3
x0 0.96169, x1 0.96134, x2 0.30865, x3 0.03806
利用这些节点构造插商表，由牛顿插值公式得 P3( x) 0.99977 0.99290x 0.46323x2 0.10240x3
max
1 x1
(x
x0 )( x
x1 )
( x xn )
数值分析
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在[1,1]如 何 选 取 节 点xk k 0,1,2, n使 得
max(
1 x1
x
x0 )(x
x1 )( x
xn )
尽可能的小
由Chebyshev 多项式的性质：首1的Chebyshev
多项式T n ( x)是所有首1的n次多项式中对零的偏差 最小。
取Tn1( x)的n 1个 零 点
x(0) k
cos 2k 2(n
1 1)
,
(k 0,1,2,, n)
作为插值节点，就使
max(
1 x1
x
x0
)(x
x1
)(
x
xn
)
最
小.
数值分析
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因
为m a x ( 1 x1
x
x(0) 0
)(x
x(0) 1
)(
x
x(0) n
)
T n1( x) 2n
x[ 1,1]
T n ( x)
max
x[1,1]
Pn ( x)
证明：因Chebyshev多项式Tn ( x)首项系数为2n1， 因此T n ( x)是首1的n次多项式。
反证:如还存在另一个首1的n次多项式n ( x)，
它对“0”的偏差比T n ( x)对“0”的偏差还小，
即
max
x[ 1,1]
n ( x)
定义 设f ( x) C[a, b], Pn( x) H, 若在点xk上有
f ( xk ) Pn ( xk )
max x[a ,b]
f ( x) Pn( x)
u0
称点xk是Pn ( x)的偏差点。 若f ( xk ) Pn ( xk ) u, 称xk为正偏差点； 若f ( xk ) Pn ( xk ) u, 称xk为负偏差点.
又由于在[a，b]上f ''( x)不变号，故f '( x)在[a，b]上单调。
又因为（f ( x) P1( x))' f '( x) a1也是单调的。所以f ( x) P1( x) 在（a，b）内只能有一个偏差点x1。于是
P1'( x1 ) f '( x1 ) a1 f '( x1 ) 0,即f '( x1 ) a1。
a0
f (a) f ( x1 ) 2
f (b) f (a) a x1
ba
Байду номын сангаас
2
这样就得到f ( x)的线性最佳一致逼近多项式为
P1( x) a0 a1 x
数值分析
数值分析
例：选取常数a, b，使max | e x (a bx) | 达到最小。 0 x1
解：设P( x) a bx为f ( x) e x在[0，1]上的最佳一致 逼近多项式。
max
x[ 1,1]
T n( x)
数值分析
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由 于Tn ( x)的 交 错 点 是xk
k
cos n
k
0,1,n,
并 轮 流 取 得 最 大 值 1和 最 小 值 1。 因 此T n ( x)在xk
处 轮 流 取(1)k 21n k 0,1,n。 于 是 ， 由 上 式 知
—
n ( x0 ) T n ( x0 ) 0
数值分析
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Qn ( x)应 满 以 下 条 件 （1）Qn( x)是n次 多 项 式 ， 在[1，1]上 有n 1个 交 错 点 ； （2） 首 项 系 数 为1；
（3） 对 “0” 的 偏 差 最 小 ；
Chebyshev多项式 Tn ( x) cos(n arccos x)
当取xk
cos
22
定理2（Chebyshev定理） 设f ( x) C[a, b], Pn( x) H，则Pn( x)是f ( x)的
最佳一致逼近的充分必要条件是f ( x) Pn( x)在[a, b] 上至少有n 2交错点组成的交错点组。
对n 1, f ( x) P1( x)有n 2 3个交错点。
数值分析
数值分析
最佳一致逼近多项式的计算
下面给出n 1时最佳一致逼近多项式的求法：
设f ( x) C 2[a,b],且f ''( x)不变号。构造P1( x) a0 a1x 为f (x)在[a，b]上的最佳一致逼近多项式。
由Chebyshev定理，对n 1，f (x) P1(x)有n 2 3个 交错点，且a,b为交错点.设另一个交错点是x1,且a x1 b。 由交错点的定义知 f (a) (a0 a1a) f (b) (a0 a1b)
数值分析
数值分析
Chebyshv零点插值(插值极小化方法） Lagrange插值多项式
n
Ln ( x) lk ( x) yk k0
误差余项估计是
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
f (n1) ( )
(n 1)! ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Mn1 (n 1)!
数值分析
用Tn1( x)的 零 点 作Lagrange插 值 节 点 的 插 值 多 项 式Ln ( x)的 插 值 误 差 余 项 是
Rn ( x)
f
(x)
Ln ( x)
Mn1 2n (n 1)!
数值分析
数值分析
当 插 值 区 间 是 任 意 有 区限 间[a, b]时 ， 需 要 作 变量代换
x b a b a t,t 1 (2x a b)
22
ba
将 区 间[1,1]上T n1(t )的 零 点 换 成[a, b]上
的插值节点
xk
b 2
a
ba 2
cos(2k 1)
2(n 1)
(k 0,1,2,n)
数值分析
数值分析
例 设 f ( x) ex，用插值极小化方法，求f ( x) ex
在[0,1]上的三次插值多项式P3( x)。 解: 作变量替换x 1(t+1)，将[0,1]变换到[1,1]，