2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高二(下)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高二（下）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z 满足(1)1(i z i i +=-为虚数单位），则||(z = )
A B C ．2 D ．1
2．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=，则(13)(P ξ-<<=
) A ．0.683 B ．0.853
C ．0.954
D ．0.977
3．（5分）曲线2
x
y x =+在点(1,1)--处的切线方程为( ) A ．21y x =+
B ．21y x =-
C ．23y x =--
D ．22y x =--
4．（53)n x 的展开式中，
各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若32A
B
=，则(n = ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．（5分）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是
( ) A ．3
5
B ．
25
C ．
47
D ．
37
6．（5分）已知甲、已、丙、丁四人在某次数学考试后交流各自的数学考试情况，甲说“我分数肯定最低”；乙说：“我肯定不是最低分的那个人”；丙说：“我不会最低，但也不可能得最高分”；丁说：“那只有我是最高分了”，考试公布成绩后，发现四人的分数各不相同，且仅有一人没有说对，则四人中得最高分的是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．（5分）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．由21(11)2+>，22(21)2+>，23(31)2+>，⋯，推断：对一切*n N ∈，2(1)2n n +>
B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对x R ∀∈都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数
C ．由圆2
2
2
x y r +=的面积2
S r π=，推断：椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=
D ．由21n a n =-，求出211S =，222S =，233S =，⋯，推断：数列{}n a 的前n 项和2n S n = 8．（5分）通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？( ) A ．97.5%的可能性 B ．99.5%的可能性 C ．99%的可能性
D ．99.9%的可能性
9．（5分）已知随机变量8X η+=，若~(10,0.6)X B ，则随机变量η的均值()E η及方差()
D η分别是( ) A ．6和2.4
B ．2和5.6
C ．2和2.4
D ．6和5.6
10．（5分）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=”，求
”索的因应是( ) A ．0a b ->
B ．0a c ->
C ．()()0a b a c -->
D ．()()0a b a c --<
11．（5分）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( ) A ．150种
B ．180种
C ．240种
D ．540种
12．（5分）已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数为()y f x =偶函数，且当(,0)x ∈-∞，
()()0
f x xf x +'<成立((f x '是
函数()f x 的导函数）．若
1
4
12
(1),(2)(2),2(log )a f b ln f ln c f =--==，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a c b >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上）
13．（5分）复数21
(3lne i i i
++
-为虚数单位）的共轭复数是 ．
14．（5分）定积分1
)x dx ⎰等于 ．
15．（5分）某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种．
16．（5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，⋯⋯，则126S = ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（12分）（1）求51()(12)x x x
++的展开式中3x 的系数；
（2）计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围成的图形的面积S ． 18．（12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a ，b 的值；
（2）若对于任意的[0x ∈，3]，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
19．（12分） 2.5PM 是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 2.5PM 浓度的数据如表：
（1）根据以上数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数r 加以说明； （2）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧
=+；
（3）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（2）求出的线性回归方程，预测此时 2.5PM 的浓度为多少？
参考数据：5
5
1
1
540,14.422i i i i x y ====≈∑∑．
回归方程y b x a ∧∧∧
=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y
nxy b x
nx ∧
==-=
-∑∑，a y b x ∧∧
=-，相关系数r 公式为：n
i i
x y
nxy
r -=
∑
20．（12分）当前，网购已成为现代大学生的时尚．某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（2）用
ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与期望()E X ．
21．（12分）已知函数()(0)a f x lnx a
x
=+>．
（Ⅰ） 若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； （Ⅱ） 证明：当2a e …，1b >时，1
()f lnb b
>．
请考生在第22题、23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请填涂相应题号．
22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为()x y sin ϕ
ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数，以直角坐标系xOy 的原点O
为极点，x 的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为ρ= （1）将曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）射线(0)4
π
θρ=
…与曲线1C 、2C 分别交于P 、Q 两点，曲线1C 与极轴的交点为A ．求
PAQ ∆的面积．
23．已知2()|23|f x x a =+．
（1）当0a =时，求不等式()|2|3f x x +-…的解集；
（2）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围．
2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高二（下）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z 满足(1)1(i z i i +=-为虚数单位），则||(z = )
A B C ．2 D ．1
【解答】解：(1)1(i z i i +=-为虚数单位）， (1)(1)(1)(1)i i z i i ∴-+=--， 22z i ∴=-，即z i =-．
则||1z =． 故选：D ．
2．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=，则(13)(P ξ-<<=
) A ．0.683
B ．0.853
C ．0.954
D ．0.977
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，
∴曲线关于1x =对称，
(3)0.977P ξ<=，(3)0.023P ξ∴>=， (13)12(3)10.0460.954P P ξξ∴-=->=-=剟．
故选：C ． 3．（5分）曲线2
x
y x =+在点(1,1)--处的切线方程为( ) A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =-- D ．22y x =--
【解答】解：2
x
y x =
+， 2
2
(2)y x ∴'=
+，
所以1|2x k y =-='=，得切线的斜率为2，所以2k =； 所以曲线()y f x =在点(1,1)--处的切线方程为： 12(1)y x +=⨯+，即21y x =+．
故选：A ．
4．（53)n x 的展开式中，
各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若32A
B
=，则(n = ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解答】解：令1x =，则4n A =，
又2n
B =，32A
B
=，∴4322n n =，解得5n =．
故选：A ．
5．（5分）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是
( ) A ．3
5
B ．
25
C ．
47
D ．
37
【解答】解：某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等）， 在男生甲被选中的情况下，
基本事件总数12
1
615n C C ==， 男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：
11112
124129m C C C C C =+=，
∴男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是93
155
m p n =
==． 故选：A ．
6．（5分）已知甲、已、丙、丁四人在某次数学考试后交流各自的数学考试情况，甲说“我分数肯定最低”；乙说：“我肯定不是最低分的那个人”；丙说：“我不会最低，但也不可能得最高分”；丁说：“那只有我是最高分了”，考试公布成绩后，发现四人的分数各不相同，且仅有一人没有说对，则四人中得最高分的是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【解答】解：假设四人中最高分是甲， 则甲和丁没有说对，不满足题意； 假设四人中最高分是乙，
则甲、乙、丙说的可能都对，但丁没有说对，满足题意； 假设四人中最高分是丙，
则丙和丁没有说对，不满足题意； 假设四人中最高分是丁， 四人说的可能都对，不满足题意． 故选：B ．
7．（5分）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．由21(11)2+>，22(21)2+>，23(31)2+>，⋯，推断：对一切*n N ∈，2(1)2n n +>
B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对x R ∀∈都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数
C ．由圆2
2
2
x y r +=的面积2
S r π=，推断：椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=
D ．由21n a n =-，求出211S =，222S =，233S =，⋯，推断：数列{}n a 的前n 项和2n S n = 【解答】解：对于A ，由21(11)2+>，22(21)2+>，23(31)2+>，⋯，推断：对一切*n N ∈，
2(1)2n n +>，错误，如26(61)49264+=<=，故A 错误；
对于B ，由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对x R ∀∈都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数，是奇函数的定义，不是归纳推理，故B 错误；
对于C ，由圆2
2
2
x y r +=的面积2
S r π=，推断：椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=是类比推
理．故C 错误；
对于D ，由21n a n =-，求出211S =，222S =，233S =，⋯，推断：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，是归纳推理且结论正确，故D 正确． 故选：D ．
8．（5分）通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？( )。