南京一中实验学校初一数学上册期末压轴题汇编

南京一中实验学校初一数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．
（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t
秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：
，求t 的值． 答案：（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，即可得到∠MOC=∠AOC ，∠BON=∠BOD ，再根据∠MO
解析：（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，即可得到∠MOC=1
2∠AOC ，
∠BON=12∠BOD ，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC 进行计算即可；
（3）依据∠AOM=12（10°+2t+20°），∠DON=12（160°-10°-2t ），∠AOM ：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t ）=2（150°-2t ），进而得出t 的值．
【详解】
解：（1）∵∠AOD=160°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，
∴∠MOB=12∠AOB ，∠BON=12∠BOD ，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12（∠AOB+∠BOD ）=12∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，
∴∠MOC=12∠AOC ，∠BON=12∠BOD ，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=1 2∠AOC+1
2
∠BOD-∠BOC
=1
2
（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=1
2
×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=1
2（2t+20°），∠DON=1
2
（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
2．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20
-和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数。

（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()
t s的所有可能值．
答案：（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为
解析：（1）是；（2）10或0或20；(3)
15
2
t=；t=6；
60
7
t=；t=12；
90
7
t=；
45
4
t=．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C 点表示的数为x ，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t 的代数式表示出线段AP ，AQ ，PQ ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t 的值．
【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是；
（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC 时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ），
解得，x=20．
综上，C 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得()()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤⎧⎪==-=⎨-≤⎪⎩
，，＜， （i ）、若0≤t≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有
①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，152
t =， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ，
解得，t=6；
③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607
t =； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152
t =；t=6；607t =； （ii ）、若10＜t≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有
①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ）， 解得，907
t =； ③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454t =
．
综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =
；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【点睛】 本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
3．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，其中39a c ==、．若点A 与点B 之间的距离表示为AB
a b ，点B 与点C 之间的距离表示为BC b c =-，点B 在点A C 、之间，且满足2BC AB = ．
（1）b = ； （2）若点M N 、分别从A 、C 同时出发，相向而行，点M 的速度是1个单位/秒，点N 的速度是2个单位秒，经过多久后M N 、相遇．
（3）动点M 从A 点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒，当点M 运动到B 点时，点N 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C 点运动，N 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ，问：在点N 开始运动后，M N 、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t 的值以及此时对应的M 点所表示的数；如果不能，请说明理由．
答案：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；
（2）根据相遇时间
解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【分析】
（1）用b 表示BC 、AB 的长度，结合BC=2AB 可求出b 值；
（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；
（3）用含t 的代数式表示出点M ，N 表示的数，结合MN=2，即可得出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）∵39a c ==、．
又∵点B 在点A 、C 之间，且满足BC=2AB ，
∴9-b=2（b-3），
∴b=5．
（2）AC=9-3=6
6÷（2+1）=2，即两秒后相遇．
（3）M 到达B 点时t=（5-3）÷1=2（秒）；
M 到达C 点时t=（9-3）÷1=6（秒）；
N 到达C 时t=（9-3）÷2+2=5（秒）
N 回到A 点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）
当0≤t≤5时，N 没有到达C 点之前，
此时点N 表示的数为3+2（t-2）=2t-1；
M 表示的数为3+t MN=21(3)4t t t --+=-=2
解得6t = （舍去）或2t =
此时M 表示的数为5
当5≤t≤6时，N 从C 点返回，M 还没有到达终点C
点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
M 表示的数为3+t
MN=219(3)316t t t -+-+=-=2
解得6t =或143
t =（舍去） 此时M 表示的数为9
当6≤t≤8时，N 从C 点返回，M 到达终点C
此时M 表示的数是9
点N 表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；
MN=9(219)210t t --+=-=2
解得6t =
此时M 表示的数是9
综上所述：当t 的值为6或2时，M 、N 两点之间的距离为2个单位，此时点M 表示的数为5或9．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ．
（1）线段AB 的长= ；
（2）如图，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒2个单位长度，点Q 的速度是每秒4个单位长度，当BQ ＝2BP 时，点P 对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M 从原点与点P ，Q 同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x 个单位长度（24x <<），若在运动过程中，2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关，求x 的值．
答案：（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数；
（3）首先根据题意得出2M
解析：（1）36；（2）6；（3）83
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数； （3）首先根据题意得出2MP−MQ ，然后根据2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关求解即可．
【详解】
（1）∵多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ，
12,24a b ∴=-=，
()2412241236AB ∴=--=+=；
（2）设运动的时间为ts ，由BQ=2BP 得：
4t=2(36−2t)，
解得：t=9，
因此，点P 所表示的数为：2×9−12=6，
答：点P 所对应的数是6．
（3）由题意得：点P 所表示的数为(−12+2t)，点M 所表示的数为xt ，点Q 所表示的数为(24+4t)，
∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t ，
∵结果与t 无关，
∴3x−8=0，
解得：x=83
． 【点睛】
本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．
5．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
（1）如果点A ，B 表示的数是互为相反数，那么点C 表示的数是_______，在此基础上，在数轴上与点C 的距离是3个单位长度的点表示的数是__________
（2）如果点D ，B 表示的数是互为相反数，那么点E 表示的数是_______
（3）在第（1）问的基础上解答：若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点B 的方向匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 的方向匀速运动．则两个点相遇时点P 所表示的数是多少？
答案：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1
【分析】
（1）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点，表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点
解析：（1）-1；-4或2；（2）72
-；（3）-1 【分析】
（1）由AB 的长度结合点A ，B 表示的数是互为相反数，即可得出点A ，B 表示的数，由2AC =且点C 在点A 的右边可得出点C 表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点C 的距离是3个单位长度的点表示的数；
（2）由BD 的长度结合点D ，B 表示的数是互为相反数，即可得出点D 表示的数，由1DE =且点E 在点D 的右边可得出点E 表示的数；
（3）当运动时间为t 秒时，点P 表示的数为3t -，点Q 表示的数为23t -+，由点P ，Q 相遇可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值，再将其代入(23)t -+中即可得出两个点相遇时点P 所表示的数．
【详解】
解：（1）6AB =，且点A ，B 表示的数是互为相反数，
∴点A 表示的数为3-，点B 表示的数为3，
∴点C 表示的数为321-+=-．
134--=-，132-+=，
∴在数轴上与点C 的距离是3个单位长度的点表示的数是4-或2．
故答案为：1-；4-或2．
（2）9BD =，且点D ，B 表示的数是互为相反数，
∴点D 表示的数为92
-，
∴点E 表示的数为97122-+=-． 故答案为：72-． （3）当运动时间为t 秒时，点P 表示的数为3t -，点Q 表示的数为23t -+，
323t t -=-+，
2t ∴=，
31t ∴-=-．
答：两个点相遇时点P 所表示的数是1-．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及相反数，解题的关键是：（1）由线段AB 的长度结合点A ，B 表示的数互为相反数，找出点A 表示的数；（2）由线段BD 的长度结合点
D ，B 表示的数互为相反数，找出点D 表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
6．阅读下面的材料并解答问题：
A 点表示数a ，
B 点表示数b ，
C 点表示数c ，且点A 到点B 的距离记为线段AB 的长，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．
若b 是最小的正整数，且a b 、满足()2
50c a b -++=．
（1）b =_________，c =__________．
（2）若将数轴折叠，使得A 与C 点重合：
①点B 与数_________表示的点重合；
②若数轴上P Q 、两点之间的距离为2018（P 在Q 的左侧），且P Q 、两点经折叠后重合，则P Q 、两点表示的数是_______、__________．
（3）点、、A B C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，试探索：35AC AB -的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
答案：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不变，值为8
【分析】
（1）利用非负性可求解；
（2）①由中点坐标公式可求AC 的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解； ②由折叠的性质可求解
解析：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不变，值为8
【分析】
（1）利用非负性可求解；
（2）①由中点坐标公式可求AC 的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解； ②由折叠的性质可求解；
（3）利用两点距离公式分别求出AC ，AB ，表示出3AC-5AB ，再化简即可求解．
【详解】
解：（1）∵b 是最小的正整数，
∴b=1，
∵（c-5）2+|a+b|=0．
∴c=5，a=-b=-1，
故答案为：1，5；
（2）①∵将数轴折叠，使得A 与C 点重合：
∴AC 的中点表示的数是（-1+5）÷2=2，
∴与点B 重合的数=2-1+2=3；
②点P 表示的数为2-2018÷2=-1007，
点Q表示的数为2+2018÷2=1011，
故答案为：-1007，1011；
（3）3AC-5AB的值不变．
理由是：
点A表示的数为：-1-2t，
点B表示的数为：1+t，
点C表示的数为：5+3t，
∴AC=5+3t-（-1-2t）=6+5t，AB=1+t-（-1-2t）=2+3t，
3AC-5AB=3（6+5t）-5（2+3t）=8，
所以3AC-5AB的值不变，为8．
【点睛】
本题考查了数轴，非负性，折叠的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．已知a是最大的负整数，b是1
5
的倒数，c比a小1，且a、b、c分别是A、B、C在数
轴上对应的数．若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．
（1）在数轴上标出点A、B、C的位置；
（2）运动前P、Q两点间的距离为；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为
和；
（3）求运动几秒后，点P与点Q相遇？
（4）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于11，直接写出所有点M 对应的数．
答案：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间
解析：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3．
【分析】
（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；
（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度×时间进行求解；
（3）根据速度和×时间=路程和，列出方程求解即可；
（4）分当M在C点左侧，当M在线段AC上，当M在线段AB上（不含点A），当M在点B的右侧，四种情况列出方程求解．
【详解】
解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是1
5
的倒数，
∴b=5，
∵c比a小1，
∴c=-2，
如图所示：
（2）运动前P、Q两点之间的距离为5-（-1）=6；
运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为3t和t，
故答案为：6，3t，t；
（3）依题意有3t+t=6，
解得t=1.5．
故运动1.5秒后，点P与点Q相遇；
（4）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于11，①当M在C点左侧，（-1）-x+5-x+（-2）-x=11．
解得x=-3，即M对应的数是-3．
②当M在线段AC上，x-（-2）-1-x+5-x=11，
解得：x=-5（舍）；
③当M在线段AB上（不含点A），x-（-1）+5-x+x-（-2）=11，解得x=3，即M对应的数是3．
④当M在点B的右侧，x-（-1）+x-5+x-（-2）=11，
解得：x=13
3
（舍），
综上所述，点M表示的数是3或-3．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离．
8．已知：a是最大的负整数，且a、b满足|c-7|+(2a+b)2=0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a =_____，b =_____，c =_____；
（2）数a、b、c所对应的点分别为A、B、C，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数），若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC-AB的值；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值．
答案：（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，
其值为2
【分析】
（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即
解析：（1）-1，2，7；（2）2；（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2【分析】
（1）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得b，c的值；
（2）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到BC-AB的值；
（3）先求出BC=3t+5，AB=3t+3，从而得出BC-AB，从而求解．
【详解】
解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵|c-7|+（2a+b）2=0，
∴c-7=0，2a+b=0，
∴b=2，c=7．
故答案为：-1，2，7；
（2）BC-AB
=（7-2）-（2+1）
=5-3
=2．
故此时BC-AB的值是2；
（3）BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+2，点C对应的数为5t+7．
∴BC=（5t+7）-（2t+2）=3t+5，AB=（2t+2）-（-1-t）=3t+3，
∴BC-AB=（3t+5）-（3t+3）=2，
∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值为2．
【点睛】
此题考查有理数及整式的混合运算，以及数轴，正确理解AB，BC的变化情况是关键．9．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c 满足|a+2|+（c﹣7）2=0．
（1）a=，b=，c=；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C
之间的距离表示为BC．则AB=，AC=，BC=．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC ﹣2AB=12．
【分析】
（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c
解析：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．【分析】
（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）AB原来的长为3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原来BC＝6，可知BC＝4t−2t＋6＝2t＋6；
（4）由3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）求解即可．
【详解】
（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，
∴a＋2＝0，c−7＝0，
解得a＝−2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1；
故答案为：−2；1；7．
（2）（7＋2）÷2＝4.5，
对称点为7−4.5＝2.5，
2.5＋（2.5−1）＝4；
故答案为：4．
（3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；
故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6．
（4）不变．
3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
10．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左
a=时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所运动一个单位”作为一次操作，如：当3
表示的数分别是2和5．
a=，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？
（1）若0
a=，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n次．
（2）若3
①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n的代数式表示）
②若它最后的位置所表示的数为10，求n的值．
a=-，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表（3）若10
示的数为260，求操作的次数．
答案：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求
解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求出n值即可；
（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．
【详解】
解：（1）∵a=0，
则一次操作后表示的数为-1或2，
则两次操作后表示的数为-2或1或4；
（2）①由题意可得：
a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，
∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；
②令43-n=10，
则n=33；
（3）设跳蚤向右运动了m次，
根据题意可得：
-10-50+2m=260，
则m=160，
∴操作次数为50+160=210．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．
11．如图①，O是直线AB上的一点，COD
∠．
∠是直角，OE平分BOC
（1）若30AOC ∠=︒，则BOD ∠=____________°，DOE ∠=____________°； （2）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若AOC α∠=，求DOE ∠的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图①中的COD ∠绕顶点O 顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系：__________________．（不用证明）
答案：（1）60°，15°；（2）∠DOE ；（3）∠AOC=360°-2∠DOE ．
【分析】
（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由
解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE 2α=
；（3）∠AOC =360°-2∠DOE ． 【分析】
（1）由已知可求出∠BOC =180°-∠AOC =150°，∠BOD =180°-∠COD -∠AOC =60°，再由∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 利用角的和差即可求出∠DOE 的度数；
（2）由∠AOC 的度数可以求得∠BOC 的度数，由OE 平分∠BOC ，可以求得∠COE 的度数，又由∠DOC =90°可以求得∠DOE 的度数；
（3）由∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ，∠BOC +∠AOC =180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系．
【详解】
解：（1）∵30AOC ∠=︒，
∴∠BOC =180°-∠AOC =150°，
∵OE 平分∠BOC ，
∴∠COE =12∠BOC =12×150°=75°，
又∵∠COD 是直角，
∴∠BOD =90°-∠AOC =60°，∠DOE =∠COD -∠COE =90°-75°=15°，
故答案为：60°，15°；
（2）∵AOC α∠=，
∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-α，
∵OE 平分∠BOC ，
∴∠COE =12∠BOC =902α︒-
，
又∵∠COD 是直角，
∴∠DOE =∠COD -∠COE =90(90)22αα︒-︒-=； （3）∠AOC =360°-2∠DOE ；
理由：∵OE 平分∠BOC ，
∴∠BOE =∠COE ，
则得∠AOC =180°-∠BOC =180°-2∠COE =180°-2（∠DOE -90°），
所以得：∠AOC =360°-2∠DOE ；
故答案为：∠AOC =360°-2∠DOE ．
【点睛】 本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
12．如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=∠AOD ，射线OM （与射线OB 重合）
绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°
/s ，射线ON （与射线OD 重合）绕O 点顺时值方向旋转，速度为12°
/s ，两射线，同时运动，运动时间为t 秒（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有______个直角；当t=2时，∠MON 的度数为_____，∠BON 的度数为_____，∠MOC 的度数为_____；
（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON －60°，试求出t 的值．
（3）当0＜t ＜6时，探究
72COM BON MON
∠+∠∠的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满足怎样的条件不是定值．
答案：（1）4；144°，114°，60°；（2）s 或10s ；（3），当0＜t ＜时，的值不是定值，当＜t ＜6时，的值是3
【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定 解析：（1）4；144°，114°，60°；（2）107s 或10s ；（3），当0＜t ＜103
时，72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，72COM BON MON ∠+∠∠的值是3 【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM ，ON 的位置，可得∠MON 的度数，∠BON 的度数以及∠MOC 的度
数；
（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；
（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜10
3
时，当
10
3
＜t＜6时，分别计算72
COM BON
MON
∠+∠
∠
的值，根据结果作出判断即可．
【详解】
解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴图中一定有4个直角；
当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°-30°=60°；故答案为：4；144°，114°，60°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s），
如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(90°-12t°)-60°，
解得t=10
7
；
如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(12t°-90°)-60°，
解得t=10；
综上所述，当∠AOM=3∠AON-60°时，t 的值为107s 或10s ； （3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t°+90°+12t°=180°，
解得t=103
， ①如图所示，当0＜t ＜
103时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
7901529012159012t t t t ︒︒︒︒︒︒︒-++++ =810812790
t t ︒︒
︒-+（不是定值）， ②如图所示，当103
＜t ＜6时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°， ∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
790152901227027t t t ︒︒︒︒︒︒-++- =8108127027t t ︒︒
︒︒
--=3（定值）， 综上所述，当0＜t ＜103时，72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，72COM BON MON
∠+∠∠的值是3． 【点睛】
本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键是将相关的角用含t 的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
13．已知：160AOD ∠=︒，OB 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线．
（1）如图1，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠内旋转时，求MON ∠的度数．
（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若20BOC ∠=︒，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOD ∠内旋转时，求MON ∠的大小．
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴
∵平分，
∴
解析：（1）80︒；（2）70︒
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出BOM ∠和BON ∠，然后根据MON BOM BON ∠∠∠=+代入数据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义表示出MOC ∠和BON ∠，然后根据
MON MOC BON BOC ∠∠∠∠=+-计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵OM 平分AOB ∠， ∴12
MOB AOB ∠=∠ ∵ON 平分BOD ∠， ∴12
BON BOD ∠= ∴11116080222
MON MOB BON AOB BOD AOD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒ （2）∵OM 平分AOC ∠， ∴12
MOC AOC ∠=∠， ∵ON 平分BOD ∠， ∴12
BON BOD ∠=∠ ∴MON MOC BON BOC ∠=∠+∠-∠
1122
AOC BOD BOC =∠+∠-∠ ()12
AOC BOD BOC =∠+∠-∠ =()12
AOD BOC BOC =∠+∠-∠ ()116020202
=⨯︒+︒-︒ 70=︒
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
14．如图，点O 在直线AB 上，90COD ∠=︒．
（1）如图①，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 上（即OC 与OA 重合），另一边射线OD 在直线AB 上方时，OF 是BOD ∠的平分线，则COF ∠的度数为_______．
（2）在图①的基础上，将COD ∠绕着点O 顺时针方向旋转（旋转角度小于360︒），OE 是AOC ∠的平分线，OF 是BOD ∠的平分线，试探究EOF ∠的大小．
①如图②，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的上方时，求EOF ∠的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出AOC ∠与BOD ∠的和，从而求出EOC ∠与FOD ∠的和，就能求出EOF ∠的度数．
小英：可设AOC ∠为x 度，用含x 的代数式表示EOC ∠、FOD ∠的度数，也能求出EOF ∠的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF ∠的度数．
②如图③，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 的上方，另一边射线OD 在直线AB 的下方
时，小红和小英认为也能求出EOF ∠的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF ∠的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的下方时，能否求出EOF ∠的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF ∠的度数．
答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，
【分析】
（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；
②用同上的方
解析：（1）135︒；（2）①135EOF ∠=︒；②同意，=135EOF ∠；③能求出，45EOF ∠=︒
【分析】
（1）由90COD ∠=︒得90BOD ∠=︒，再由角平分线的性质求出DOF ∠的度数，由COF COD DOF ∠=∠+∠即可求出结果；
（2）①根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度； ②用同上的方法去求出结果；
③设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-，由角平分线的性质表示出AOE ∠和BOF ∠，根据180EOF AOE BOF ∠=︒-∠-∠即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵90COD ∠=︒，
∴1809090BOD ∠=︒-︒=︒，
∵OF 平分BOD ∠， ∴1452
DOF BOD ∠=∠=︒， ∴135COF COD DOF ∠=∠+∠=︒，
故答案是：135︒ ；
（2）①方法1：∵90COD ∠=︒，
∴18090AOC BOD COD ∠+∠=︒-∠=︒
∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠， ∴12EOC AOC ∠=∠，12
FOD BOD ∠=∠， ∴()1452
EOC FOD AOC BOD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴135EOF EOC FOD COD ∠=∠+∠+∠=︒，
方法2：设AOC ∠为x 度，
∵OE 平分AOC ∠， ∴1122
EOC AOC x ∠=∠=， ∵90COD ∠=︒，
∴18090BOD COD AOC x ∠=︒-∠-∠=︒-，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()1119045222
FOD BOD x x ∠=∠=-=︒-︒， ∴11904513522EOF EOC COD FOD x x ⎛⎫∠=∠+∠+∠=
++-=⎪⎝
⎭︒ ︒︒； ②同意，
方法1：∵180AOC BOC ∠+∠=︒，OE 平分AOC ∠， ∴()1118022EOC AOC BOC ∠=∠=︒-∠1902
BOC =︒-∠， ∵90COD ∠=︒，
∴90BOD BOC ∠=︒-∠，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()119022BOF BOD BOC ∠=∠=︒-∠1452
BOC =︒-∠， ∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠11904513522BOC BOC BOC ⎛⎫⎛⎫=-∠+-∠+∠= ⎪ ⎪⎝⎝⎭
︒⎭︒︒， 方法2：设AOC ∠为x 度，
∵OE 平分AOC ∠， ∴1122
EOC AOC x ∠=∠=， ∴180180BOC AOC x ∠=︒-∠=︒-，
∵90COD ∠=︒，
∴9090BOD BOC x ∠=-∠=-︒︒，
∵OF 平分BOD ∠， ∴()1119045222
BOF BOD x x ︒∠=∠=-=-︒， ∴EOF EOC BOC BOF ∠=∠+∠+∠()111804513522x x x ⎛⎫=+-+-︒= ⎪⎝⎭
︒︒，
③能求出，45EOF ∠=︒，理由：
设AOC x ∠=，则180BOC x ∠=︒-，
∴270BOD BOC COD x ∠=∠+∠=︒-，
∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠， ∴1122AOE AOC x ∠=∠=，()111270135222
BOF BOD x x ∠=∠=︒-=︒-， ∴111801801354522EOF AOE BOF x x ⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-
-︒-=︒ ⎪⎝
⎭． 【点睛】 本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质． 15．如图，∠AOB ＝150°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD 从OB 开始，绕点O 顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t 秒（0≤t≤25）．
（1）当t 为何值时，射线OC 与OD 重合；
（2）当t 为何值时，∠COD ＝90°；
（3）试探索：在射线OC 与OD 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC 、OB 与OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t 的取值，若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）或；（3）存在，或
【分析】
（1）设，，由列式求出t 的值；
（2）分情况讨论，射线OC 与OD 重合前，或射线OC 与OD 重合后，列式求出t 的值；
（3）分情况讨论，平分，或平分，或平分，
解析：（1）7.5s ；（2）3t s =或12t s =；（3）存在，7517t s =
或15013
t s = 【分析】
（1）设6AOC t ∠=，14BOD t ∠=，由AOC BOD AOB ∠+∠=∠列式求出t 的值；
（2）分情况讨论，射线OC 与OD 重合前，或射线OC 与OD 重合后，列式求出t 的值； （3）分情况讨论，OD 平分BOC ∠，或OC 平分BOD ∠，或OB 平分COD ∠，列式求出t 的值．
【详解】
解：（1）设6AOC t ∠=，14BOD t ∠=，
当射线OC 与OD 重合时，AOC BOD AOB ∠+∠=∠，
即614150t t ︒+︒=︒，解得7.5t s =，
∴当7.5t s =时，射线OC 与OD 重合；
（2）①射线OC 与OD 重合前，
()COD AOB AOC BOD ∠=∠-∠+∠，
即()90150614t t ︒=︒-︒+︒，解得3t s =；
②射线OC 与OD 重合后，
AOC BOD COD AOB ∠+∠-∠=∠，
即61490150t t ︒+︒-︒=︒，解得12t s =，
∴当3t s =或12t s =时，∠COD ＝90°；
（3）①如图，OD 平分BOC ∠，则BOD COD ∠=∠，
∴BOD AOB BOD AOC ∠=∠-∠-∠，
即14150146t t t ︒=︒-︒-︒，解得7517t s =；
②如图，OC 平分BOD ∠，则12
BOC BOD ∠=∠， ∴12
AOB AOC BOD ∠-∠=∠， 即11506142t t ︒-︒=⨯︒，解得15013
t s =；
③如图，OB 平分COD ∠，则COB DOB ∠=∠，
即150636014t t ︒-︒=︒-︒，解得1054
t s =
， ∵105254>， ∴不成立，舍去；。