2018版高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型学业分层测评 新人教B版必修3

3.2 古典概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列试验中，属于古典概型的是( )
A.种下一粒种子，观察它是否发芽
B.从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
【解析】 依据古典概型的特点判断，只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同.
【答案】 C
2.集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.23
B.12
C.13
D.16
【解析】 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为26＝13
.故选C . 【答案】 C
3.四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
【导学号：00732089】
A.14
B.13
C.12
D.25
【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P ＝14
. 【答案】 A
4.已知集合A ＝{2,3,4,5,6,7}，B ＝{2,3,6,9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则该元素是集合A∩B 中的元素的概率为( )
A.23
B.35
C.37
D.25
【解析】 A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,9}，A ∩B ＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，
所求的概率是37
. 【答案】 C
5.把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点
数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为( )
A.512
B.1112
C.513
D.913
【解析】 点(a ，b )取值的集合共有36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b 2
，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112
. 【答案】 B
二、填空题
6.一只蚂蚁在如图3­2­1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________.
图3­2­1
【解析】 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13
. 【答案】 13
7.在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).
【导学号：00732090】
【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n ＝10；
而A ，C ，E 三点共线，B ，C ，D 三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.
设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A ，则A 所包含的基本事件
数为m ＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P (A )＝m n ＝
810＝45
. 【答案】 45 8.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________.
【解析】 基本事件共有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5，2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7，2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)10种情况.相差0.3 m 的共有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情况，
所以P ＝210＝15
. 【答案】 15
三、解答题
9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率.
【解】 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，
从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P (A )＝716
. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2).
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3).
则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58
. 10.某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512
，求
甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
【解】 (1)设“一次停车不超过1小时”为事件A ，“一次停车1到2小时”为事件B ，“一次停车2到3小时”为事件C ，“一次停车3到4小时”为事件D .
由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512
. 又事件A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A )＝1－13－512＝14
. 所以甲的停车费为6元的概率为14
. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，
所以所求概率为316
. [能力提升]
1.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数字为0的概率是
( )
A.49
B.13
C.29
D.19
【解析】 个位数字与十位数字之和为奇数，则个位数字与十位数字中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：
(1)当个位数字为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数.
(2)当个位数字为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数.
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数字为0的两位数有5个，所
以所求概率为P ＝545＝19
. 【答案】 D
2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
【解析】 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素.
记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，
b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素.
故其概率为P (A )＝610
＝0.6. 【答案】 B
3.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16上或其内部的概率是________.
【解析】 连续掷两次骰子，得到点数m ，n 记作P (m ，n )，共有36种情况，其中点P (m ，n )落在圆x 2＋y 2＝16上或其内部的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，
(3,2)，共8种情况，所以P ＝836＝29
. 【答案】 29
4.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.
【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13
. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个.
因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215
.。