广西玉林市贵港市2012届高三4月联考试题数学(文)卷()

2012年4月份玉林市贵港市
高三数学联考（文）
一、选择题 1 ．已知集合{}
|110,P x x x N =≤≤∈,集合
{}
2|60,Q x x x x R =+-≤∈，则P Q ⋂等于
（ ）
A ．{}2
B ．{}1,2
C ．{}2,3
D ．{}1,2,3 2 ．函数2
log (2),(1,6]y x x =+∈-的反函数的定义域为 ( ）
A ．(1,4]
B ．(0,4]
C ．(0,3]
D ．(1,3]
3 ．已知向量a 与b 的夹角为120°，13
||,3||=
+=b a a ，则||b 等于
( ）
A ．5
B ．3
C ．4
D ．1
4
．“(0),ab k k a b <<<”是“11a b <
”成立的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既
不充分也不必要条件
5 ．已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,则2z x y =+的最大值为 （ ）
A ．3
B ．3-
C ．1
D ．32
6 ．设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，若10
11S
S -=,则11S 等于 ( ）
A ．109
B ．119
C ．1110
D ．65
7 ．把函数
sin()
6y x π
=+
图像上各点的横坐标缩短为原来的2
1
倍(纵坐标
不变），再将图像向右平移3
π
个单位,那么所得图像的一条对称轴
方程为 ( ）
A ．
2
x π
=-
B ．
4
x π
=-
C ．
8
x π
=
D ．
4
x π
=
8 ．在正方体111
1
ABCD A BC D -中，
M 为1
DD 的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱11
A B 上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是 ( )
A ．6
π
B ．4
π
C ．3
π
D ．2π
9 ．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ( ） A ．6个
B ．9个
C ．18
D ．36个
10．已知函数()
f x 是R 上的奇函数,且
(1)(1)
f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，
()21x f x =-，则(2011)(2012)f f +的值为 （ )
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
11．已知P 是双曲线22
1916x y -=右支上的点，12,F F 分别为双曲线的左、右
焦点，点Q 、R 分别是圆
221
(5)4
x y ++=
和圆
221(5)4
x y -+=
上的点，则
||||PQ PR -的最大值是
（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和
3，二面角βα--l 的平
面角为6
5π
,则球O 的半径为 （ ）
A ．
B C D ．
二、填空题
13．5
1()x x -的展开式中含3x 项的二项式系数为。

14．若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=
.
15．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点(0,2)A ，线段FA 与抛物
线交于点B ,过B 作l 的垂线，垂足为M .若AM MF ⊥,则p =____________ 16．如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60︒角,,M N
分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =则线段
MN
的
长的取值范围是 。

三、解答题
17．各项都为正数的数列{}n a 满足
1
22
11,2n n a a a +=-=。

（1)求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬
+⎩⎭的前n 项和。

18．在锐角ABC ∆中,,,A B C 三内角所对的边分别为1
,,,cos 2,3
2a b c A a b =-==。

（1）求c ; （2）求ABC ∆的面积。

19．口袋中有6个大小相同的小球,其中1个小球标有数字“3”,2个小球标有数字“2”,3个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球,取后放回,连续抽取两次。

（I)求两次取出的小球所标数字不同的概率；
（II)记两次取出的小球所标数字之和为ξ，求事件“5ξ≥”的概率。

20．如图，在三棱锥A BCD -中,90ABC BCD CDA ︒
∠=∠=∠=，6
3,6
AC BC CD ===，
设顶点A 在底面BCD 上的射影为E ． (Ⅰ）求证：CE BD ⊥；
（Ⅱ）设点G 在棱AC 上,且2CG GA =,试求二面角C EG D --的余弦值.
21．已知函数
3
21()613f x x ax x =
++-,当2x =时,函数()f x 取得极值。

（1）求实数a 的值;
（2）若13x ≤≤时，方程()0f x m +=有两个根,求实数m 的取值范围。

22．已知椭圆C与双曲线1
2
2=
-y
x共焦点，且下顶点到直线0
2=
-
+y
x的
距离为.22
3
(1）求椭圆C的方程；
(2)若一直线:l y kx m
=+与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆的顶点)两点，以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标。

2012年4月份玉林市贵港市高三数学联考(文)参考答案
一、选择题
B C C A A B A D C B D D 二、填空题 13
、 5 14、
13
15、
AM AH
AC AB
=，
16解：过点M 作MH//BC 交AB 于H ,则又AM=FN ，AC=FB ，∴
FN AH
FB AB
=,∴
NH//AF ，
∴NH ⊥AB ,MH ⊥AB ，∴∠60°．
设AH=x
（0≤x ≤2),则MH=x ,x NH -=2,
∴
MN ==1)1(32+-=x ∴ 21≤≤MN ． 三、解答题 17 解：（1）由1
22
2n n a a +-=可知数列{}2
n
a 是以1为首项，公差为2的等差数
列
2
12(1)
21n a n n ∴=+-=-，又0n a >，则n a = （4分）
（2）
2
n a n =
112n n a a +∴
==
+
1223
1
11
1n n
a a a a a a
+∴
+++
+++
1
1
121)2
2n =
++=
（10分）
18
解（Ⅰ）由
1
cos 2,
2A =- 02A π
<<
02A π<<
∴
223
A π=
，
3A π
=
………………3分
由2
222cos a
b c bc A =+-得2320c c -+=21或=∴c
…………5分
1c =时， cos 0,1B c <∴=舍去，
2=∴c …………7分
(2)
113332sin 223S b c sinA π∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=
10分 19 解:分别记事件第i 次抽取的小球标有数字“1”,“2”,“3”为
,,i i i A B C ，1,2i =,则
111
(),(),()236i i i P A P B P C =
==。

（Ⅰ）取出的两个小球所标数字相同的概率为
2221212121117
()()()()23618P A A B B C C ++=++=
取出的两个小球所标数字不同的概率121212711
1()11818P A A B B C C -++=-
=
(Ⅱ）记事件“i ξ=”为J
C ，5,6j =，则
51212111
()()2369P C P B C C B =+=⨯⨯=
261211
()()()636P C P C C ===
56115
()()93636P C P C +=
+=。

故事件“
5
ξ≥”的概率为
20 证明：（I)方法一：由AE ⊥平面BCD 得AE ⊥CD ,
又AD ⊥CD ，则CD ⊥平面AED ， 故
CD DE
⊥，…………………………………………3分
同理可得CB BE ⊥，则BCDE 为矩形，又BC CD =，
则BCDE 为正方形，故CE BD ⊥．…………………6分 方法二：由已知可得
2
AB BD AD ===,设O 为
BD
的中点，则
,AO BD CO BD ⊥⊥,则BD ⊥平面AOC ,故平面BCD ⊥平面AOC ，则顶点A 在底
面BCD 上的射影E 必在OC ,故CE BD ⊥．
（II)方法一:由(I ）的证明过程知OD ⊥平面AEC ，过O 作OF EG ⊥,垂足为
F
,则易证得
DF EG
⊥，故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面
角，……………9分 由已知可得6AE =，则2
AE AG AC =⋅,故EG AC ⊥，则
32CG
OF =
=
又32OD =30DF =，
故
10
cos 5
OFD ∠=
,即二面角C EG D --10
5
方法二: 由（I ）的证明过程知BCDE 为正方形,如图建立坐标系,则
(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C ，可得(2,2,4)G ,则(0,6,0),ED EG ==(2,2,4)，
易知平面CEG 的一个法向量为(6,6,0)BD =-，设平面DEG 的一个法向量为
(,,1)n x y =,则由00n ED n EG ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得(2,0,1)n =-,
则10
cos ,5
BD n BD n BD n
⋅=
=⋅,即二面角
C EG D
--的
10
5
21解:（I ）由
1631
)(23-++=x ax x x f ，则
62)(2
++='ax x x f 因在2=x 时，)(x f 取到极值，所以0)2(='f 0644=++⇒a
解得,
25-
=a
5分
(II)由（I ）得32
15()6132f x x x x =
-+-且31≤≤x
则
)3)(2(65)(2--=+-='x x x x x f
由0)(='x f ，解得2=x 或3=x ；0)(>'x f ,解得3>x 或2<x ；
0)(<'x f ，解得32<<x
∴)(x f 的递增区间为：)2,(-∞和),3(+∞；)(x f 递减区间为:)3,2(
又
27
)3(,311)2(,617)1(===
f f f
要0)(=+m x f 有两个根,则m x f -=)(有两解，由函数的单调性可得：
11732m -
<≤-。

22 解：（1)
)0,2(),0,2(1212
2F F y x -=-的焦点为双曲线 ∴椭圆C 的焦点为)0,2(),0,2(21
F F -
设椭圆的方程为)0(122
2
2>>=+b a b y a x ,
由题意得
.1,22
32
|
2|==
--b b 解得
.3=∴a
∴椭圆的方程为.
1322
=+y x
(2）椭圆的上顶点为Q （0,1),
由方程组,1)(31
3,
222
2=++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kx x y x m kx y 得
即012)31
(222=-+++m kmx x k
∵直线m kx y l
+=:2
与椭圆C 相交于A 、B 两点，
)31
31(4)1)(31(44222222>+-=-+-=∆∴m k m k m k ,
即.01322
>+-m k
设A 、B 两点的坐标分别为),,(),,(22
1
1
y x
y x
则,31)
1(3,3162
221221k m x x k km x x +-=+-=+ ,3122)(22121k m
m x x k y y +=
++=+∴
2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
.31331631)1(32
222222222k k m m k m k k m k +-=++-+-=
∵以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点Q(0,1)，
,0)1)(1(,2121=--+∴⊥∴y y x x BQ AQ
即01)(212121=++-+y y y y x x
,0131231331)1(32
22222=++-+-++-∴k m k k m k m
化简得,0122
=--m m
.
21
1-==∴m m 或
当m=1时，直线1
:2
+=kx y l 过定点Q （0，1),与已知矛盾；
当
21
-
=m 时,满足0132
2>+-m k ,
此时直线
21:2-
=kx y l 过定点),
21
,0(-
2l 直线∴过定点).
21,0(-。