量子力学与统计力学课件第7章
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（CGS）
电子电 荷
电子质 量
9
在任意方向上的 投影仅两个
e M sz M B （SI）子 2 (3) e M sz M B （CGS） 2c
波尔磁
说明：自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无 关。它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志 了电子还有一个新自由度。 电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
(9)
17
本征值
ˆ ˆ ˆ x y z 的本征值都是 1
1
2 x 2 y 2 z
(10)
反对易关系 (11)式证明：
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x y 0
自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。
3
本章主要研究内容
7.1 7.2 7.4
7.5
7.6 7.7
7.8
电子自旋 电子自旋算符与自旋波函数 两个角动量的耦合 光谱的精细结构 全同粒子的性质 全同粒子系统的波函数 泡利原理 两个电子的波函数
4
学习要求：
1.掌握电子的自旋特性，自旋算符及自旋波函数； 2.掌握全同粒子特性，泡利原理，双电子自旋波函数； 3.理解两个角动量的耦合； 4.理解光谱的精细结构； 5.了解简单塞曼效应及氦原子（微扰法）。
所以自旋算符应为 2 2 的矩阵。
ˆ ' Sz
故可设
在 1/ 2 ˆ 是 Sz 的本征态，对应的本征值 /2 ˆ S z 1/2 1/2 2
ˆ Sz 有确定的值 /2 ，故 所描写的态中， 1/ 2
(19)
展开有
a b 1 1 2 c d 0 2 0
重点及难点：
1.重点是电子自旋的存在、自旋角动量算符（自旋角动 量算符的本征值、泡利矩阵、 自旋角动量z分量算符的 本征矢。难点为电子自旋的含义的正确理解和具体性质 及关系，以及角动量的合成）。 2.电子的自旋的内禀性，泡利矩阵，据此讨论自旋算符 及自旋波函数。
5
§ 7.1电子自旋
一、Stern-Gerlach实验 —电子具有自旋的实验证明 由K射出的处于s态的氢原子束 通过BB狭缝 不均匀磁场N-S 射到照相片PP上 现象：一条谱线分裂成两条！
(16)
(17)
1.自旋函数是 2 1 的矩阵， 而自旋算符是作用在自旋函数上的，
ˆ a b (18) Sz 即： 2 c d 力学量算符是厄密算符，矩阵是厄密阵。 ˆ a b ，由于 S 是厄密算符，所以 S S ，即： ˆ ˆ 令 Sz z z z 2 c d a * c * a b b * d * c d 20
. A. 古德史密特（GOUDSMIT，Samuel Abraham） 荷兰血统的美国物理学家，生于1902年7月11日，卒于 1978年12月4日。1928到1941年，他在密歇根大学任教 ；1941到1946年，在麻省技术研究所工作；1948年后 ，在布鲁克黑文国家实验室工作，特别是从事原子光 谱结构研究。
(7)
对易关系
ˆ ˆ ˆ 2i
(8)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 2i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x 2i ˆz ˆx ˆx ˆz ˆy
14
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S x S y S y S x i S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z S z S y i S x S S S S i S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y z x
12
G. 乌伦贝克（UHLENBECK，Georg Eugen）美籍荷兰物理学家，1900 年12月6日生于巴达维亚，在乌德勒支和安阿伯当大学教授。1925年他与 S.A.古德史密特，共同提出电子具有内生旋转——自旋。1927年他又发表 “Over statistische methoden in de theorie der guanta”，1964年，他与 S.A.古德史密特一起获德国物理学会颁发的普朗克勋章。
第七章自旋与全同粒子 薛定谔方程能解释的微观现象: 1.计算谐振子的能级； 2.计算氢原子的能级； 3.计算粒子被势场散射时的散射截面； 4.计算原子对光的吸收和发射。
薛定谔方程的局限性: 1.未考虑粒子的自旋特征—不能解释赛曼效应； 2.处理单粒子体系容易—不能处理多粒子体系。 本章将自旋引入量子力学理论，并讨论多粒 1 子体系的特性
薛定谔方程解释不了原子光谱的双线结构问题。
6
结论：
1.氢原子具有磁矩，故原子束通过非均匀磁场时 受到力的作用发生偏转； 2.只有两条分立线表明原子的磁矩中磁场中只有 两种取向，磁矩是量子化的。
讨论：
基态氢原子在非均匀磁场中
原子磁矩 外磁场
基态氢原子势能：
原子所受的力：
问题：M 是什么磁矩？
磁矩和外磁场 间的夹角
7
若原子磁矩可取任何方向
cos :
-1~+1连续变化
照相片上应是连续带
cos 1
但实验结果中仅有两条分立线
因实验中用的射线是s态的氢原 子，角动量l=0，原子无角动量 原子具有的磁矩是电子固 有的磁矩，即自旋磁矩
无轨道磁矩
原子光谱的精细结构也得出电子具有自旋的结论 ： 对应于钠原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两 条谱线 8 ——只有用电子自旋才能解释
(4)
将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般形式:
S 2 s(s 1)2
16 s为自旋量子数 ( s 1 2) (5)
1 1 说明：自旋量子数s ，自旋磁量子数m s 。便，引入算符
ˆ ˆ S 2
(6)
ˆ ˆx Sx 2 ˆ ˆy Sy 2 ˆ ˆz Sz 2
同理
a=1，c=0 ˆ S z 1/2 1/2 2
a b 0 0 2 c d 1 2 1
(20)
b=0，d=-1
(21) (22)
21
因此
ˆ 1 0 Sz 2 0 1
ˆ S2 x
ˆ2 Sy 、
ˆ Sz2 的本征值都是 2 4 即 、
(3) S S S 4
2 x 2 y 2 z
2
ˆ ˆ ˆ ˆ 所以 S2 S2 S2 , S2 都是常数算符(Constant Operators)与任 x y z
何算符都对易。
ˆ 因此旋角动量平方算符 S 2 的本征值： 3 2 2 2 2 2 S Sx S y Sz 4
2
反常塞曼(Zeeman)效应：
1912 年，Passhen 和 Back 发现反常塞曼效应－在弱磁场 中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级， 例如钠光谱线D1→4条，D2→6条）
2.对称性
对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互 置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒 子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光 谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全 同性原理的基础上。
写成矩阵形式，为二行一列矩阵
1 x, y, z, t 2 x, y, z, t
sz / 2 sz / 2
(15)
19
电子处于 sz 时， 电子处于 z s 态时， 求泡利矩阵
/ 2自旋态
/ 2自旋
1 1 0 2 0 1 2 2
多粒子体系复杂， 薛定谔方程不能直 接求解。
采用逐级近似的方法 尽可能多的了解多粒子体系的知识和 信息，如：角动量和对称性等知识。
1.角动量
与空间运动有关—轨道角动量 L ； 与空间运动无关—自旋角动量S 。
有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如： 碱原子光谱的双线结构
钠原子光谱
S
1925年，他与G.乌伦贝克一起，将电子自旋引入量子理论。这 个概念的重要性远远超过发现者的预料。1944—1945年，他是 盟军调查德国原子能研究计划秘密代表团“Alsos”的领导人。 1964年，德国物理协会授予他普朗克勋章。
13
§ 7.2 电子的自旋算符和自旋函数
一、概述： 1.电子具有自旋角动量 —是一个力学量（具有量子特性） —与电子的坐标和动量无关 —电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量 2.自旋角动量算符 [说明]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，和 坐标、动量无关，在经典理论中没有对应量，也不同 于一般的力学量（可表示为坐标和动量的函数），它 ˆ ˆ 不能用 r p 描述。 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算 ˆ 来表征电子的自旋角动量 S 。 符S
电子自旋磁矩和自 旋角动量之比—— 电子自旋的回旋磁 比率：
M sz e Sz
（SI）
M sz e Sz c
(4)
（CGS）
10
而轨道磁矩与轨道角动量的关系：
e Ml L 2 e Ml L 2c
（SI）
(5)
（CGS）
轨道运动的回转磁比率： Mlz e （SI） Lz 2 M lz e （CGS） Lz 2 c
二、乌仑贝克-哥德斯密脱假设（1925年提出）
（1）每个电子具有自旋角动量
S ，它在空间任意方
向投影的取值仅两个 S z 。 (1) 2 （2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的 关系是 e
MS S e MS S c
（SI）
(2)
0
18
三、自旋算符的矩阵表示 1.泡利矩阵 首先考虑电子的自旋如何中态函数中得到反映：
电子的波函数可写为（包含描写自旋态的自旋变量）：
Sz 2
( x, y, z, sz , t )
(14)
分量形式
1 ( x , y, z, t ) ( x , y, z, , t ) 2 2 ( x , y, z , t ) ( x , y, z , , t ) 2
(11)
(12)
(13)
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z y y z y z y 2i
写成分量形式
(1)
(2)
3.自旋角动量平方算符 与自旋量子数
ˆ2 S2 S2 S2 ˆ ˆ ˆ S x y z
15
由于在空间任意方向上的 投影只有两个取值 2
ˆ S S ˆ ˆ 所以 Sx 、 y 、 z 的本征值是
Sx Sy Sz 2 2 2
自旋回转磁矩是轨道回转磁矩的两倍
11
自旋应用：
自旋电子学（集合磁学、半导体、光学、电子学、量 子计算等）应用： 自旋场效应晶体管、自旋发光二极管等。 巨磁电阻（ GMR ）：硬磁盘读出磁头、磁性随机存 储器（MRAM）和磁敏传感器。——计算机信息存储 技术进入了GMR时代。计算机硬盘在GMR读出头的 推动下，其记录密度从60Mbits/in2发展到100Gbits/in2， 提高近1500倍；而每Mbits的费用从10美元下降到0.08 美元。
电子电 荷
电子质 量
9
在任意方向上的 投影仅两个
e M sz M B （SI）子 2 (3) e M sz M B （CGS） 2c
波尔磁
说明：自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无 关。它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志 了电子还有一个新自由度。 电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
(9)
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本征值
ˆ ˆ ˆ x y z 的本征值都是 1
1
2 x 2 y 2 z
(10)
反对易关系 (11)式证明：
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x y 0
自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。
3
本章主要研究内容
7.1 7.2 7.4
7.5
7.6 7.7
7.8
电子自旋 电子自旋算符与自旋波函数 两个角动量的耦合 光谱的精细结构 全同粒子的性质 全同粒子系统的波函数 泡利原理 两个电子的波函数
4
学习要求：
1.掌握电子的自旋特性，自旋算符及自旋波函数； 2.掌握全同粒子特性，泡利原理，双电子自旋波函数； 3.理解两个角动量的耦合； 4.理解光谱的精细结构； 5.了解简单塞曼效应及氦原子（微扰法）。
所以自旋算符应为 2 2 的矩阵。
ˆ ' Sz
故可设
在 1/ 2 ˆ 是 Sz 的本征态，对应的本征值 /2 ˆ S z 1/2 1/2 2
ˆ Sz 有确定的值 /2 ，故 所描写的态中， 1/ 2
(19)
展开有
a b 1 1 2 c d 0 2 0
重点及难点：
1.重点是电子自旋的存在、自旋角动量算符（自旋角动 量算符的本征值、泡利矩阵、 自旋角动量z分量算符的 本征矢。难点为电子自旋的含义的正确理解和具体性质 及关系，以及角动量的合成）。 2.电子的自旋的内禀性，泡利矩阵，据此讨论自旋算符 及自旋波函数。
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§ 7.1电子自旋
一、Stern-Gerlach实验 —电子具有自旋的实验证明 由K射出的处于s态的氢原子束 通过BB狭缝 不均匀磁场N-S 射到照相片PP上 现象：一条谱线分裂成两条！
(16)
(17)
1.自旋函数是 2 1 的矩阵， 而自旋算符是作用在自旋函数上的，
ˆ a b (18) Sz 即： 2 c d 力学量算符是厄密算符，矩阵是厄密阵。 ˆ a b ，由于 S 是厄密算符，所以 S S ，即： ˆ ˆ 令 Sz z z z 2 c d a * c * a b b * d * c d 20
. A. 古德史密特（GOUDSMIT，Samuel Abraham） 荷兰血统的美国物理学家，生于1902年7月11日，卒于 1978年12月4日。1928到1941年，他在密歇根大学任教 ；1941到1946年，在麻省技术研究所工作；1948年后 ，在布鲁克黑文国家实验室工作，特别是从事原子光 谱结构研究。
(7)
对易关系
ˆ ˆ ˆ 2i
(8)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 2i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x 2i ˆz ˆx ˆx ˆz ˆy
14
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系
ˆ ˆ ˆ S S iS
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S x S y S y S x i S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z S z S y i S x S S S S i S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y z x
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G. 乌伦贝克（UHLENBECK，Georg Eugen）美籍荷兰物理学家，1900 年12月6日生于巴达维亚，在乌德勒支和安阿伯当大学教授。1925年他与 S.A.古德史密特，共同提出电子具有内生旋转——自旋。1927年他又发表 “Over statistische methoden in de theorie der guanta”，1964年，他与 S.A.古德史密特一起获德国物理学会颁发的普朗克勋章。
第七章自旋与全同粒子 薛定谔方程能解释的微观现象: 1.计算谐振子的能级； 2.计算氢原子的能级； 3.计算粒子被势场散射时的散射截面； 4.计算原子对光的吸收和发射。
薛定谔方程的局限性: 1.未考虑粒子的自旋特征—不能解释赛曼效应； 2.处理单粒子体系容易—不能处理多粒子体系。 本章将自旋引入量子力学理论，并讨论多粒 1 子体系的特性
薛定谔方程解释不了原子光谱的双线结构问题。
6
结论：
1.氢原子具有磁矩，故原子束通过非均匀磁场时 受到力的作用发生偏转； 2.只有两条分立线表明原子的磁矩中磁场中只有 两种取向，磁矩是量子化的。
讨论：
基态氢原子在非均匀磁场中
原子磁矩 外磁场
基态氢原子势能：
原子所受的力：
问题：M 是什么磁矩？
磁矩和外磁场 间的夹角
7
若原子磁矩可取任何方向
cos :
-1~+1连续变化
照相片上应是连续带
cos 1
但实验结果中仅有两条分立线
因实验中用的射线是s态的氢原 子，角动量l=0，原子无角动量 原子具有的磁矩是电子固 有的磁矩，即自旋磁矩
无轨道磁矩
原子光谱的精细结构也得出电子具有自旋的结论 ： 对应于钠原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两 条谱线 8 ——只有用电子自旋才能解释
(4)
将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般形式:
S 2 s(s 1)2
16 s为自旋量子数 ( s 1 2) (5)
1 1 说明：自旋量子数s ，自旋磁量子数m s 。便，引入算符
ˆ ˆ S 2
(6)
ˆ ˆx Sx 2 ˆ ˆy Sy 2 ˆ ˆz Sz 2
同理
a=1，c=0 ˆ S z 1/2 1/2 2
a b 0 0 2 c d 1 2 1
(20)
b=0，d=-1
(21) (22)
21
因此
ˆ 1 0 Sz 2 0 1
ˆ S2 x
ˆ2 Sy 、
ˆ Sz2 的本征值都是 2 4 即 、
(3) S S S 4
2 x 2 y 2 z
2
ˆ ˆ ˆ ˆ 所以 S2 S2 S2 , S2 都是常数算符(Constant Operators)与任 x y z
何算符都对易。
ˆ 因此旋角动量平方算符 S 2 的本征值： 3 2 2 2 2 2 S Sx S y Sz 4
2
反常塞曼(Zeeman)效应：
1912 年，Passhen 和 Back 发现反常塞曼效应－在弱磁场 中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级， 例如钠光谱线D1→4条，D2→6条）
2.对称性
对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互 置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒 子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光 谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全 同性原理的基础上。
写成矩阵形式，为二行一列矩阵
1 x, y, z, t 2 x, y, z, t
sz / 2 sz / 2
(15)
19
电子处于 sz 时， 电子处于 z s 态时， 求泡利矩阵
/ 2自旋态
/ 2自旋
1 1 0 2 0 1 2 2
多粒子体系复杂， 薛定谔方程不能直 接求解。
采用逐级近似的方法 尽可能多的了解多粒子体系的知识和 信息，如：角动量和对称性等知识。
1.角动量
与空间运动有关—轨道角动量 L ； 与空间运动无关—自旋角动量S 。
有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如： 碱原子光谱的双线结构
钠原子光谱
S
1925年，他与G.乌伦贝克一起，将电子自旋引入量子理论。这 个概念的重要性远远超过发现者的预料。1944—1945年，他是 盟军调查德国原子能研究计划秘密代表团“Alsos”的领导人。 1964年，德国物理协会授予他普朗克勋章。
13
§ 7.2 电子的自旋算符和自旋函数
一、概述： 1.电子具有自旋角动量 —是一个力学量（具有量子特性） —与电子的坐标和动量无关 —电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量 2.自旋角动量算符 [说明]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，和 坐标、动量无关，在经典理论中没有对应量，也不同 于一般的力学量（可表示为坐标和动量的函数），它 ˆ ˆ 不能用 r p 描述。 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算 ˆ 来表征电子的自旋角动量 S 。 符S
电子自旋磁矩和自 旋角动量之比—— 电子自旋的回旋磁 比率：
M sz e Sz
（SI）
M sz e Sz c
(4)
（CGS）
10
而轨道磁矩与轨道角动量的关系：
e Ml L 2 e Ml L 2c
（SI）
(5)
（CGS）
轨道运动的回转磁比率： Mlz e （SI） Lz 2 M lz e （CGS） Lz 2 c
二、乌仑贝克-哥德斯密脱假设（1925年提出）
（1）每个电子具有自旋角动量
S ，它在空间任意方
向投影的取值仅两个 S z 。 (1) 2 （2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的 关系是 e
MS S e MS S c
（SI）
(2)
0
18
三、自旋算符的矩阵表示 1.泡利矩阵 首先考虑电子的自旋如何中态函数中得到反映：
电子的波函数可写为（包含描写自旋态的自旋变量）：
Sz 2
( x, y, z, sz , t )
(14)
分量形式
1 ( x , y, z, t ) ( x , y, z, , t ) 2 2 ( x , y, z , t ) ( x , y, z , , t ) 2
(11)
(12)
(13)
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z y y z y z y 2i
写成分量形式
(1)
(2)
3.自旋角动量平方算符 与自旋量子数
ˆ2 S2 S2 S2 ˆ ˆ ˆ S x y z
15
由于在空间任意方向上的 投影只有两个取值 2
ˆ S S ˆ ˆ 所以 Sx 、 y 、 z 的本征值是
Sx Sy Sz 2 2 2
自旋回转磁矩是轨道回转磁矩的两倍
11
自旋应用：
自旋电子学（集合磁学、半导体、光学、电子学、量 子计算等）应用： 自旋场效应晶体管、自旋发光二极管等。 巨磁电阻（ GMR ）：硬磁盘读出磁头、磁性随机存 储器（MRAM）和磁敏传感器。——计算机信息存储 技术进入了GMR时代。计算机硬盘在GMR读出头的 推动下，其记录密度从60Mbits/in2发展到100Gbits/in2， 提高近1500倍；而每Mbits的费用从10美元下降到0.08 美元。