练案[79理][69文] 选修4-5 第二讲 不等式的证明与柯西不等式

[练案79理][练案69文]
第二讲 不等式的证明与柯西不等式
1．(2022·吉林长春模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝4.
(1)求证：a 2＋b 2≥22；
(2)求证：1a ＋2＋2b ≥12＋23
. [证明] (1)因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，
∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝16，
∴a 2＋b 2≥8，
从而a 2＋b 2≥22(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)．
(2)因为a ＋b ＝4，所以a ＋2＋b ＝6，
所以1a ＋2＋2b ＝⎝
⎛⎭⎫1a ＋2＋2b ⎝⎛⎭⎫a ＋2＋b 6 ＝16⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋2＋b a ＋2＋2(a ＋2)b ≥16(3＋22)＝12＋23
， 即a ＝62－8，b ＝12－6 2.
2．(2022·河南质检)已知正实数a ，b ，c 满足ab ＋bc ＋ac ＝abc .
(1)证明：a ＋b ＋c ≥9；
(2)证明：b a 2＋c b 2＋a c
2≥1. [证明] (1)因为ab ＋bc ＋ac ＝abc ， 所以1a ＋1b ＋1c
＝1，所以 a ＋b ＋c ＝(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c
＝3＋a b ＋b a ＋a c ＋c a ＋c b ＋b c
≥3＋2a b ·b a ＋2a c ·c a ＋2c b ＋b c
＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，
所以a ＋b ＋c ≥9.
(2)b a 2＋c b 2＋a c 2＝b a 2＋c b 2＋a c 2＋1a ＋1b ＋1c
－1 ＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋1c ＋⎝⎛⎭⎫a c 2＋1a －1
≥2a ＋2b ＋2c
－1＝1， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，
即b a 2＋c b 2＋a c 2≥1. 3．(2022·河南开封模拟)已知x 、y 为正实数，且满足x ＋y ＝1.
(1)若xy ≤m 恒成立，求m 的最小值；
(2)证明：⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y 2≥252
. [解析] (1)∵x >0，y >0，x ＋y ＝1，
∴xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14
⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝y ＝12时取等号 ∵xy ≤m 恒成立，
∴m ≥14，故m 的最小值为14
. (2)证明：∵1x ＋1y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝2＋x y ＋y x
≥4， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y 2≥⎝⎛⎭⎫x ＋1x
＋y ＋1y 22
＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1y 22≥(1＋4)22＝252.(当且仅当x ＝y ＝12
时取等号) ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1y 2≥252
. 4．(2022·宁夏石嘴山模拟)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x ＋3|.
(1)解不等式f (x )≤8；
(2)设x ∈R 时，f (x )的最小值为M .若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋2c ＝M ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．
[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x <－326，－32≤x <324x ，x ≥23
，
∴f (x )≤8可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32x ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x <326≤8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥32x ≤2
， ∴{x |－2≤x ≤2}．
(2)∵f (x )≥|(2x －3)－(2x ＋3)|＝6，∴M ＝6，
∵(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋22)≥(a ＋b ＋2c )2＝36，
当且仅当2a ＝2b ＝c 时“＝”成立，
所以a 2＋b 2＋c 2≥6，即a 2＋b 2＋c 2的最小值为6.
5．(2021·内蒙古呼和浩特市一模)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪x －a 2＋|x ＋b ＋c |(a ，b ，c 均为正实数)． (1)当a ＝b ＝c ＝1时，求f (x )的最小值；
(2)当f (x )的最小值为3时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．
[解析] (1)当a ＝b ＝c ＝1时，f (x )＝⎪⎪⎪
⎪x －12＋|x ＋2|， 易得f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12－(x ＋2)＝52
. ∴f (x )min ＝52
. (2)由绝对值三角不等式可得：
f (x )＝⎪⎪⎪
⎪x －a 2＋|x ＋b ＋c | ≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －a 2－(x ＋b ＋c )＝⎪⎪⎪
⎪a 2＋b ＋c ＝3， ∵a ，b ，c 均为正实数，
∴a 2
＋b ＋c ＝3， ∵(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫14＋1＋1≥⎝⎛⎭
⎫a 2＋b ＋c 2＝9， ∴a 2＋b 2＋c 2≥4，
当且仅当2a ＝b ＝c ，即a ＝23，b ＝c ＝43
时等号成立， ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为4.
6．已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |4<x <6}．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求at ＋10＋bt 的最大值．
[解析] (1)由|x ＋a |<b 知－b －a <x <b －a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝4b －a ＝6即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－5
b ＝1. (2)依题意知：
at ＋10＋bt ＝－5t ＋10＋t ＝5·2－t ＋t ≤[(5)2＋1][(2－t )2＋(t )2]
＝6(2－t ＋t )＝23， 当且仅当52－t
＝1t ，即t ＝13时等号成立， 所以所求式子的最大值为2 3.
7．(2022·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|2x －4|.
(1)求不等式f (x )≤2的解集；
(2)设f (x )的最小值为k ，若m ＋2n ＝k (m >0，n >0)，证明：m ＋1n ≤62
. [解析] (1)当x ≤1时，f (x )＝1－x ＋4－2x ＝5－3x ≤2，解得：x ≥1，∴x ＝1； 当1<x <2时，f (x )＝x －1＋4－2x ＝－x ＋3≤2，
解得：x ≥1，∴1<x <2；
当x ≥2时，f (x )＝x －1＋2x －4＝3x －5≤2，
解得：x ≤73，∴2≤x ≤73
； 综上所述：f (x )≤2的解集为⎣⎡⎦
⎤1，73； (2)证明：由(1)可知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5－3x ，x ≤1－x ＋3，1<x <2
3x －5，x ≥2
， ∴f (x )min ＝f (2)＝1，即k ＝1，
∴m ＋2n
＝1， 由柯西不等式得：⎝⎛⎭⎫m ＋2n [22＋(2)2]≥(2m ＋2
n
×2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 2＝1n ，即m ＝23，n ＝6时取等号， 即⎝⎛⎭⎫2m ＋2n 2≤6，∴m ＋1n ≤62
. 8．(2021·四川省宜宾市三诊)已知a ，b ，c ∈R ，且a 2＋b 2＋c 2＝1.
(1)求a ＋2b ＋c 的最大值；
(2)若a ＋2b ＋c ＝1，证明：－23
≤c ≤1. [解析] 解法一：(1)(a ＋2b ＋c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4ab ＋2ac ＋4bc ≤(a 2＋4b 2＋c 2)＋(4a 2＋b 2)＋(a 2＋c 2)＋(b 2＋4c 2)
＝6(a 2＋b 2＋c 2)＝6，当且仅当2a ＝b ＝2c ，即a ＝c ＝
66，b ＝63
时等号成立，所以a ＋2b ＋c 的最大值为 6.
解法二：∵a 2＋b 2＋c 2＝1，
由柯西不等式得(a ＋2b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋12)＝6
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2＝c a 2＋b 2＋c 2＝1，即a ＝c ＝66，b ＝63时取等号， ∴a ＋2b ＋c ≤6，即a ＋2b ＋c 的最大值为 6.
(2)证明：因为a 2＋b 2＋c 2＝1，a ＋2b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＝1－c 2，a ＋2b ＝1－c ，(a 2＋b 2)(1＋22)≥(a ＋2b )2，当且仅当2a ＝b 时等号成立，
则有5(1－c 2)≥(1－c )2，
即3c 2－c －2≤0，故－23
≤c ≤1.。