差分数组详解(一)

差分数组详解(一)
差分数组是一种用于快速计算区间修改和查询的数据结构。

定义
给定一个序列a，定义其差分数组为b，满足b[i] = a[i] -
a[i-1] (i >= 1)，b[0] = a[0]。

通常情况下，差分数组也被称为前
缀和数组的反操作。

性质
•对于原序列a的区间修改，也就是将a[l…r]内的每个元素加上c，可以转化为对差分数组b的两个操作：将b[l]加上c，将
b[r+1]减去c。

•对于任意一个位置i，其原序列中的值等于差分数组前i项的和。

即a[i] = b[0] + b[1] + … + b[i]。

•差分数组本身也是一个序列，可以进行区间查询。

举例说明
假设有一个序列a=[1,3,2,6,4]，其对应的差分数组为b=[1,2,-1,4,-2]。

若要将a[2…4]内的每个元素加上3，则需要执行以下操作：
•将b[2]加上3，此时差分数组变为b=[1,5,-1,4,-2]。

•将b[5]减去3，此时差分数组变为b=[1,5,-1,4,-5]。

此时再根据差分数组求出原序列a即可：a[0]=1,
a[1]=b[1]+a[0]=6, a[2]=b[2]+a[1]=5, a[3]=b[3]+a[2]=9,
a[4]=b[4]+a[3]=4。

实现
差分数组可以使用数组来存储。

建议在构造差分数组时，在a数
组前加入一个元素，即a.insert(0, 0)，这样可以使得差分数组b的
长度等于a的长度，方便操作。

应用
差分数组广泛应用于算法竞赛中的数据结构题目，特别是与区间
修改和查询相关的题目。

其时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)，
相对于其他数据结构具有空间复杂度低的优势。

除此之外，差分数组还可以用于线性规划等领域的问题求解。

注意事项
•对于差分数组b的前缀和，则可以求得a数组的前缀和。

因此，在实现前缀和数组时，也可以将原数组a的前缀和数组看作是差
分数组。

•差分数组的操作应尽量保证无歧义，可使用一个变量记录修改操作次数，避免对同一个位置进行多次修改。

•在应用差分数组进行区间查询时，也应该注意差分数组的前缀和，避免对于前缀和的误解。

总结
差分数组是一种用于区间修改和查询的数据结构，可以频繁地用
于算法竞赛等领域中的数据结构题目。

其实现简单，空间复杂度相对
较低，但在应用过程中需要注意其前缀和和操作顺序等问题，以保证正确性。