常微分方程 第五章 线性微分方程组(3)
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
常微分方程
了解：了解相平面、周期解、极限圈以及非线性微分方程的稳定性概念。
理解：理解非线性微分方程解的存在唯一性定理及解的延拓与连续性定理。
掌握：掌握非线性微分方程的奇点分类方法及解的稳定性的判定方法。
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配
（一）课时分配
课程总教学时数为54学时，安排在第三学期，每周3学时，上课18周。具体分配如下：
主要内容
第一节变量分离方程与变量变换
第二节线性方程与常数变易法
第三节恰当方程与积分因子
第四节一阶隐方程与参数表示
教学要求
了解：了解各类一阶微分方程之间的相互联系与区别。
理解：理解一阶微分方程初等解法对学习常微分方程的重要性。
掌握：掌握一阶常微分方程的分类及各类方程的初等解法与技巧。
第三章一阶微分方程的解的存在定理
主要内容：
第一节存在唯一性定理
第二节线性微分方程组的一般理论
第三节常系数线性微分方程组
教学要求
了解：了解线性微分方程组的一般理论及线性微分方程解的代数结构。
理解：理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，高阶微分方程与线性微分方程组之间的关系。
掌握：掌握齐线性微分方程组的基解矩阵的求法以及求解非齐线性微分方程组的常数变易法。
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
第六章非线性微分方程和稳定性
教学目的
初步了解非线性微分方程的稳定性理论与定性理论，为应用微分方程理论解决实际问题及进一步学习微分方程理论奠定基础。
主要内容：
第一节引言
第二节相平面
第三节按线性近似决定微分方程组的稳定性
第四节李雅普诺夫第二方法
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
常微分方程复习提纲
2012-2013第二学期常微分方程期末复习提纲第一章绪论掌握微分方程的概念, 能正确判断微分方程的阶数以及是否线性方程.第二章一阶微分方程的解法1 掌握变量分离方程的解法.2 掌握恰当方程的判定以及求解方法. 对于非恰当方程, 重点掌握如何求只与x或y有关的积分因子, 并由此求解方程.3 了解一些常见的能够化为变量分离方程的类型以及所用的变换. 例如齐次方程ddy ygx x⎛⎫= ⎪⎝⎭, 111222dda xb y cyx a x b y c++=++, ()ddyf ax by cx=++等类型.重点掌握形如111222d da xb y cyx a x b y c++=++的方程的求解方法.第三章一阶微分方程的解的存在定理1 简要理解解的存在性定理.2 了解利普希兹（Lipschitz）条件与偏导连续的关系.第四章高阶微分方程1 熟悉齐次与非齐次线性方程的解的结构以及性质定理2 掌握Wronsky行列式与线性相关或无关的关系.3 掌握基本解组相关概念.4 重点掌握常系数高阶非齐次线性微分方程的求法.特征根法和比较系数法.5 了解常见的可以降阶的高阶方程的类型, 重点掌握不显含未知函数的高阶方程的降阶求解法.第五章方程组1 熟悉基解矩阵的概念.2 掌握Atexp与基解矩阵的关系.3 重点掌握利用特征值求基解矩阵以及标准基解矩阵Atexp的方法.(只考虑有n个特征值的情形即可)。
第5章_常微分方程
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例 解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程 齐次方程 如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx
常系数线性常微分方程
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
常微分方程期末总复习
《常微分方程》期末复习第一章绪论1、以模型引出常微分方程的基本概念，准确了解与解方程相关各个概念如：方程的阶数；通解中独立的任意常数的个数问题等2、会建立微分方程模型。
习题：(1)二阶微分方程的通解中应含的独立常数的个数（ 2 ）(2)P261.(3)P288(6)(7)（4）函数y=sinx是下列哪个微分方程的解（ A ）A.d 2ydx2+y=0 B.dydx+2y=0 C.d2ydx2+y=sinx D.dydx+y=0第二章一阶微分方程的初等解法1、变量分离方程的解法dydx=f(x)g(y)一般步骤：变量分离，两边积分，整理得通解。
2、可化为变量分离的方程 (1)dydx =f(yx) (2)dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2(1)dydx =f(yx)解法：令u=yx ,则y=ux, dydx=x dudx+u代入原方程整理，成可分离变量。
(2)dydx =a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2分三种情况讨论。
3、一阶线性微分方程dydx=P(x)y+Q(x) (2.28)(2.28)对应的齐次线性微分方程dydx=P(x)y（2.3），可用变量分离法求解。
dydx=P(x)y（2.3）的通解为y=ce∫P(x)dx；采用常数变易法，(2.28)有形如y=c(x)e∫P(x)dx (2.29)的解，将其代入原方程解出c(x)，将c(x)带回(2.29)即得(2.28)的通解。
(2.28)的通解公式：y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dx dx+c).4、伯努利微分方程dydx=P(x)y+Q(x)y n (n≠0,1) (2.37)作变量变换令z=y1−n, 则dzdx =(1−n)y−n dydx代入原方程整理成(2.28)的形式再求解。
5、恰当微分方程与积分因子M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)恰当微分方程⇔ðMðy =ðNðx. 此时M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)原方程通解为u(x,y)=c .(2)非恰当微分方程，但μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0是恰当微分方程。
常微分方程第5章答案
又因为=-A (t) (t)，所以=- (t) A(t)
[ (t) (t)] =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,
所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有(t) (t)=常数
b)“”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则
又v(0)= =
v (t)= = = v(t)
因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.
b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =
w (t)= u (t)+ v (t)
= +
=
=
= w(t)
因此w(t)是给定方程初值问题的解.
2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2
习题5.1
1.给定方程组
x = x x=（*）
a)试验证u(t)= ,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)=的解.
b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数.
解：a) u(0)= =
u (t)= = u(t)
6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：
的解，则是方程组
的解。
证明：（1）（2）
分别将代入（1）和（2）
则
则
令
即证
7．考虑方程组，其中
a)试验证是的基解矩阵；
b)试求的满足初始条件的解。
证明：a)首先验证它是基解矩阵
常微分方程第15讲
W (x0 )
0
10
0
1
0
0 0 0 1
因而，由推论知 Y1(x),Y2 (x),,Yn (x) 是（LH）在区 间上的基本解组.
关于方程组(LH)的解的结构
满足初始条件(5.3.3)的基本解组称为齐次线性 方程组(LH)的标准基本解组.下面我们就可以给出齐 次线性方程组(LH)的基本定理了.
一阶微分方程组的一般形式
这样，则(1)可记成向量形式：dY F(x,Y )
dx
y10
初始条件可记为：
Y0
y20
yn0
初值问题可记为：
dY
dx
F(x,Y )
Y (x0 ) Y0
补充：向量Y和矩阵A的范数或模
对于向量Y和矩阵A：
y1
Y
y
2
,
yn
a11 a12 a1n
一阶微分方程组的一般形式
y1 1 (x, c1, c2 ,, cn )
y2
2 (x, c1, c2 ,, cn )
yn n (x, c1, c2 ,, cn )
称为(1)的通解. 如果通解满足如下方程组:
一阶微分方程组的一般形式
1 (x, y1, y2 , yn , c1, c2 ,, cn ) 0 2(x,y1, y2 ,yn, c1, c2 ,, cn) 0 n (x, y1, y2 , yn , c1, c2 ,, cn ) 0
a22 (x) y2
a2n (x)yn
f2 (x)
(2)
dyn dx
an1(x) y1
an2 (x)y2
ann (x) yn
fn (x)
则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数
5.3常微分方程
例1 如果A是一个对角矩阵 a1 a2 A= ⋱ an
试 出 = Ax的 解 阵 求 x 基 矩 .
'
解 由(5.34)得 2 a1 a1 a2 t + exp At = E + 1! ⋱ an
e vj ,
λj t
j =1,2,⋯, n
都是(5.33)的解,因此矩阵
Φ(t) = [eλ1t v1, eλ2t v2 ,⋯, eλnt vn ]
是(5.33)的解矩阵,
由于v1, v2 ,⋯, vn线性无关 ,
det Φ(t) = det(e v1, e v2 ,⋯, e vn ) ≠ 0
λ1t λ2t λnt
常系数线性方程组
对特征根λ1 = 3+ 5i的特征向量u = (u1, u2 )T 满足 5i −5 u1 (λE − A)u = u = 0 5 5i 2
1 u = α ,α ≠ 0. 解得 i 对特征根λ2 = 3 − 5i的特征向量v = (v1, v2 )T 满足
在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于
k
∞
At ≤ k!
∞
k k
A ck k!
k
,
t ≤ c,
而数项级数 ∑
k =1
A ck 收敛 . k!
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB = BA,则e
−1
A+B
=e e .
A B
(2) 对任何矩阵A,(exp A)−1存在,且 (exp A) =exp(-A). (3) 若 是 奇 的则 T 非 异 , -1 -1 exp(T AT) = T (exp A)T.
常微分方程教案(王高雄)第五章
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦
常微分方程课件
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距 地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系. 解 如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体 的位置坐标.于是物体下落的速度为 加速度为
质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外 力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气 阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F = ma (力= 质量×加速度) 可以列出方程
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程. 通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直 定义 到n阶的导数.如果把 代入方程(1.11)，得到在 区间I上关于x的恒等式， 为方程(1.11)在区间I上的一个解. 这样，从定义1.1可以直接验证： 1. 函数y = x^2+C是方程(1.4)在区间(-∞，+∞) 上的解，其中C是任意的常数. 2. 函数是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其 中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中. 则称
本节要点： 1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ ．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程. 所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以 写为 (1.27)
第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
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推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下
列联系. 定理5.7 如果
是齐次方程组(5.2)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式 与方程组(5.2)的系数有如下关系式
实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题. 推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题.
推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式 W(x)在I上任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线 性无关解称为它的基本解组.
例4 易于验证向量函数
是方程组
的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
的一阶微分方程组。
含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
含有n个任意常数 的解
称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.
在代数学中， 的迹，记作
称为矩阵 ，因此刘维尔公式可表为
从刘维尔公式可以看出，齐次方程组（5.2）的几个解 所构成的朗斯基行列式W(x) 或者恒为零，或者恒不为零．
5．4 一阶线性非齐次方程组的一般理论 本节研究一阶线性非齐次方程组
的通解结构与常数变易法.
从而，上式变为
(5.18)
由于
是非奇异矩阵，故
存在，于是 积分得
中任一点
代入(5.17)得到
于是得到非齐次方程组(5.1)的通解公式
(5.19）
例1 求解方程组 解 向量函数组
是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如 的特解，此时(5.18)的纯量形式为
解之得
从而 最后可得该方程组的通解为
定理5.3 如果向量组(5.10)在区间I上线性相关，则它们的
朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.
证明 依假设，存在不全为零的常数
,使得
把上式写成纯量形式，有
这是关于
的线性齐次代数方程组，且它对任一
都有非零解
根据线性代数知识，它的系数行列式
W (x)对任一
都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕.
对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数
对任意常数
有
对任意常数
有
称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质
有了以上准备，完全类似于第三章定理3.1， 我们有如下的关于初值问题(1)的解的存在与唯一性定理. 定理5.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域
上满足： 1) 连续； 2) 关于Y满足李普希兹条件，即存在N>0,使对于R上任意两点
是非齐次方程组(5.1)的一个特解，
是对应齐次方程组(5.2)的一个基本解组，则方程组(5.1) 的通解为
这里
是任意常数.
5.4.2 拉格朗日常数变易法
在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程， 可用常数变易法求其通解.现在，对于线性非齐次 方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解 呢?事实上，定理5.10告诉我们，为了求解非齐次 方程组(5.1)，只需求出它的一个特解和对应齐次方 程组(5.2)的一个基本解组.而当(5.2)的基本解组已 知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可 以求得(5.1)的一个特解.
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数
并定义
则(1)可记成向量形式
初始条件可记为 其中
这样，从形式上看，一阶方程组 与一阶方程式完全一样了。 进一步，对n维向量Y和矩阵
,
定义
易于证明以下性质：
当且仅当Y = 0(0表示零向量，下同);
5.4.1 通解结构
定理3.8 如果
是线性非齐次方程组(5.1)的解，而
是其对应齐次方程组(5.2)的解，则
是非齐次方程组(5.1)的解.
定理5.9 线性非齐次方程组(5.1)的任意两个解之差 是其对应齐次方程组(5.2)的解.
定理5.10 线性非齐次方程组(5.1)的通解等于其对应的 齐次方程组(5.2)的通解与方程组(5.1)的一个特解之和.即若
上连续，则对于
上任一点x 以及任意给定的
方程组(5.1)的满足初始条件(5.3)的解在
上存在且唯一.
它的结论与定理3.1的不同之处是：
定理3.1的解的存在区间是局部的，
而定理5.1则指出解在整个区间
上存在.
5.2 一阶线性齐次方程组的一般理论 1．一阶线性齐次微分方程组解的性质 本节主要研究一阶线性齐次方程组(5.2)的通解
例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函 数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它 们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价. 下面介绍n个n维向量函数组
(5.10) 在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则.
我们考察由这些列向量所组成的行列式
通常把它称为向量组(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式.
为了计算简洁，我们定义(5.2)的基本解矩阵如 下：
其中每一列均为(5.2)的解
，且 是(5.2)的一个基本解组.因此
.
由定理5.6知，齐次方程组(5.2)的通解可表为
,
其中C为列向量
现在求(5.1)的形如 的解，其中
(5.17)
为待定向量函数. 将(5.17)代入(5.1)有
其中
因为
是(5.2)的基本解矩阵，所以有
有 则初值问题(1)的解在
上存在且唯一，其中
5.2 一阶线性微分方程组的一般概念 方程组（1）
关于
是线性的。
如果在一阶微分方程组(1)中，函数
为线性的。
则称(1)为一阶线性微分方程组。我们总假设(1)的系数 及
在某个区间
上连续。
向量形式： 记：
向量形式
（5.1)
如果在I上， ,方程组变成
（5.2)
间的性质，进而得到方程组(5.2)的解的结构，我们
引入如下概念.
定义5.1 若有函数组
，使得
在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关； 否则称它们在区间I上线性无关.
显然，两个向量函数 的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件. 另外，如果在向量组中有一零向量， 则它们在区间I上线性相关.
第五章 线性微分方程组
云南师范大学数学学院 黄炯
例如，已知在空间运动的质点
的速度
与时间及点的坐标的关系为
且质点在时刻t经过点 求该质点的运动轨迹。
因为 ,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组
满足初始条件
的解
（1.12）
。
另外，在n阶微分方程
中令
就可以把它化成等价的一阶微分方程组
注意，这是一个含n个未知函数
我们把(5.2)称为一阶线性齐次方程组。 如果(5.2与(5.1)中A(x)相同，则称(5.2)为(5.1)的对应的
齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似， 我们可以证明如下的关于(5.1)的满足初始条件(5.3)的解的存 在与唯一性定理.
（5.3)
定理5.1′ 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在区间I =
的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的. 然而，当所讨论的向量函数组是方程组(5.8)的解时， 我们有下面的结论.
定理5.4 如果 是方程组(5.8)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x) 在I上恒不为零.
由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推论.
推论5.1 如果向量组(5.10)的朗斯基行列式W(x) 在区间I上的某一点处不等于零，即 ,则向量组(5.10)在I上线性无关.
结构.为此我们首先从(5.2)的解的性质入手.
（5.2)
若
是方程组(5.2)的m个解，则
(5.4)
也是(5.2)的解，其中
是任意常数. 换句话说，线性齐次方程组(5.2)的任何有限个解的线性组合 仍为(5.2)的解.
定理5.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(5.2)的
解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空
是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组
的通解. 解 它的系数矩阵是
特征方程是
即 所以矩阵A的特征根为 ．先求 对应的特征向量
a, b, c满足方程
即
可得
取一组非零解，例如令 ，就有 , , .同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
故方程组的通解是