2020-2021学年浙江省杭州市第十三高中高三数学文期末试卷含解析

2020-2021学年浙江省杭州市第十三高中高三数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则“”是“”的
充分不必要条件必要不充分条件
充分必要条件既不充分也不必要条件
参考答案：
由得或，故由“”能推出“”，但反之则不能，故选.
2. 函数在区间上可找到个不同数，，……，，使得
，则的最大值等于（）
8 9 10 11
参考答案：
C
3. 若的最小值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
因为函数的最小值为，选A.
4. 在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A 【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】首先由余弦定理求出BC的长度，然后由数量积公式求值．
【解答】解：由已知等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，得到BC2=AB2+AC2﹣
2AB×AC×cos150°=2+；且B=15°，
所以=1××cos（180﹣15）°=﹣=﹣=﹣
=﹣﹣1；
故选A．
【点评】本题考查了平面向量的运算；化简二次根式是本题的易错点．
5. 函数f（x）=log2x+﹣3 的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．）（1，2 ）C．（2，3 ）D．（3，4 ）
参考答案：
D
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由题意知函数f（x）=log2x+﹣3在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）=log2x+﹣3在（0，+∞）上连续，
f（3）=log23+1﹣3＜0；
f（4）=log24+﹣3＞0；
故函数f（x）=log2x+﹣3的零点所在的区间是（3，4）．
故选：D．
6. 设函数f(x)=x2-(a+3)x+2a，对一切实数a∈[-1,3]时f(x)>1恒成立，实数x的取值范围是（）
A、[-1,3]
B、(-5,+∞)
C、(-∞,-1)∪(5,+∞)
D、(-∞,1)∪(5,+∞)参考答案：
C
7. （5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）
A． 15 B． 16 C． 17 D． 18
参考答案：
A
【考点】：由三视图求面积、体积．
【专题】：空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】：如图，可跟据题意得到该几何体的直观图，然后利用切割的方法求其体积．
解：由题意，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，由题意可得到所求几何体的几何直观图．
由题意可知：多面体ADD′﹣EFC即为所求的几何体．由题意作EM⊥DC于M，则由已知得MC=1，EM=3．FM=3，DM=3．
则V=V三棱柱ADD′﹣FME+V三棱锥E﹣FMC=S△EMF×DM
=．
故选A．
【点评】：本题考查了三视图的识图问题，体积以及表面积的计算问题，属于中档题．
8. 已知是三次函数的两个极值点，且,则的取值范围是（）A．B．C．D．
参考答案：
A
略
9. 直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是( )
A．AB1∥平面BDC1
B．A1C⊥平面BDC1
C．直三棱柱的体积V＝4
D．直三棱柱的外接球的表面积为4π
参考答案：
D
10. 设是定义在Ｒ上的偶函数，且满足，当时，
，又,若方程恰有两解,则的范围是( )
Ａ.Ｂ. Ｃ.Ｄ.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列中，，则
.
参考答案：
【知识点】数列的递推式
解析：，故答案为。

【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。

12. 如图所示，长方形ABCD 中，AB =8，AD =6，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD
的中点，图
中5个圆分别为△AEH ，△BEF，△DHG，△FCG以及四边形EFGH的内切圆，若往长方形ABCD中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为．
参考答案：13. 在中，如果，，，则的面积为．
参考答案：
14. 若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在点
附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是
__ ____(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
参考答案：
16 ①③
15. .观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第n个不等式应该为__________．
参考答案：
【分析】
根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为：
．
【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．
16. 在中，依次成等比数列，则B 的取值范围是
参考答案：
因为依次成等比数列，所以，即，所以
，所以，所以
，即B 的取值范围是。

17. 如图，某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则此几何体最长的棱长为 ．
参考答案：
考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．
分析：根据三视图得出某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，可判断三棱锥为P=ABC ，Rt△ABC，PC=AB=BC=1，AB⊥BC，PC⊥面ABC ，
根据几何体的性质得出PA 最长，运用直角三角形判断即可．
解答： 解：某几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形，可判断三棱锥为P=ABC ，Rt△ABC，PC=AB=BC=1，AB⊥BC，PC⊥面ABC ， ∴根据几何体的性质得出PA 最长，
∴AC=，PC=
=，
故答案：
，
点评：本题考查了由三视图运用，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，考查了空间想象能力．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某企业招聘工作人员，设置、、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人
参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立参加组测试．已知甲、乙
两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加组测试，组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功.
（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；
（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；
（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.
参考答案：
（Ⅰ）设戊竞聘成功为A事件，则
....................2分
（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件
...............2分
（Ⅲ）可取0，1，2，3，4.........................1分
01234
... ..................................5分
期望.......................................2分
19. 已知与两平行直线都相切，且圆心在
直线上，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）斜率为2的直线与相交于两点，为坐标原点且满足，求直线的方程。

参考答案：
解：（1）由题意知的直径为两平行线之间的距离∴解得，
由圆心到的距离得，检验得
∴的方程为
（2）由（1）知过原点，若，则经过圆心，
易得方程：
略
20. （本题满分8分）
某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测
算，服装的年销量万件与年促销万元之间满足关系式（为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件.已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润(万元)关于促销费 (万元)的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?
(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
参考答案：
,所以，生产成本为，每件售价，
所以，；
（2）因为当且仅当即时取等号，所以，
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大.
21. P、Q是抛物线C：y=x2上两动点，直线，分别是C在点P、点Q处的切线，
∩=M，⊥．
（1）求证：直线PQ经过一定点；
（2）求△PQM面积的最小值。

参考答案：
22. 已知函数．(1）求函数的最大值并求出此时的值；
(2）若，求的值．参考答案：
（1）
当，即时，取得最大值为. (2）令时，得.。