2021年高三第四次质量抽测数学试题(含附加题) Word版含答案

2021年高三第四次质量抽测数学试题（含附加题） Word 版含答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1. 若集合，，则 ________.
2.在复平面内，复数i
1－i
对应的点位于第二________象限．
3.如果执行右图的流程图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于360________．
第4题图
第8题图
第3题图
4.右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为
80
7
________． 5.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．
6.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0
(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，
则k ＝—6________.
7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差是
2________．
8.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，
则该圆锥的体积为
22π
3
________．
9. 过原点O 作圆x 2+y 2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的
长为4________．
10.已知函数f (x )＝2
x ＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x+y-3=0________．
11.在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD
→＝________. 12.椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B
两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．
13.已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．
14.已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是4________．
二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（14分）已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．
(1)求a ，b 的值；
(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上总有实数解，求实数k 的取
值范围．
解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x . 由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＝2，得a ＋3b ＝8.
①
∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π
12
对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝
32a ＋1
2
b ，即b ＝3a . ②
由①②得，a ＝2，b ＝2 3.
(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6＋1.
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，
∴－12≤sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6≤1，
∴0≤2sin ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]．
又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上有解，
∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
18，1.
16. （14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和
PC 的中点．求证：
(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .
证明 (1)因为平面PAD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AD . 所以PA ⊥底面ABCD .
(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .
所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD . 又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .
(3)因为AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .
由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD .
所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD . 又E ，F 分别是CD 和CP 的中点， 所以EF ∥PD ，故CD ⊥EF .
由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD 所以平面BEF ⊥平面PCD .
17.如图，现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于. （1）求的取值范围；（运算中取）
（2）若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
17．解：（1）由题意得， …………4分
解得即. …………7分
（2）记“环岛”的整体造价为元，则由题意得
222422214121
()(10())533115
a y a x ax x x x ππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-
， …………10分 令，则32241
()4244(6)2525
f x x x x x x x '=-
+-=--+， 由，解得或， …………12分
9 (9,10)
10 (10,15) 15
－ 0 ＋ 0 ↘
极小值
↗
答：当m 时，可使“环岛”的整体造价最低. …………14分
18．（16分）已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；
(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ
→的最小值； (3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．
解
(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －2
2＋2＝0，
b ＋2
a ＋2＝1.
解得⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，
将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.
(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·
(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.
所以PQ →·MQ
→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧
y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，
得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －1
1＋k 2.
同理，x B ＝k 2＋2k －1
1＋k 2
.
所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)
x B －x A
＝
2k －k (x B ＋x A )
x B －x A
＝1＝k OP .
所以直线AB 和OP 一定平行．
19．（16分）(xx·盐城调研)已知数列{a n }满足a 1＝2，前n 项和为S n ，a n ＋1＝⎩⎨⎧
pa n ＋n －1，n 为奇数，－a n
－2n ，n 为偶数. (1)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1(n ≥1)，试求数列{b n }前n 项和T n ； (2)若数列{c n }满足c n ＝a 2n ，试判断{c n }是否为等比数列，并说明理由； (3)当p ＝1
2时，问是否存在n ∈N *，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1？若存在，求出所有
的n 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)根据题意得b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1＝－4n ， ∴{b n }成等差数列，故T n ＝－2n 2－2n .
(2)当p ＝12时，数列{c n }成等比数列；当p ≠1
2时，数列{c n }不为等比数列．
理由如下：∵c n ＋1＝a 2n ＋2＝pa 2n ＋1＋2n ＝p (－a 2n －4n )＋2n ＝－pc n －4pn ＋2n ，
∴c n ＋1c n ＝－p ＋2n (1－2p )c n ，故当p ＝12时，数列{c n }是首项为1，公比为－1
2等比数列；
当p ≠1
2时，数列{c n }不成等比数列．
(3)当p ＝12时，由(2)知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12n －1，
∴c 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122n －1.
又S 2n ＋1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2n 2－2n ＋2.
则由(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1，得4n 2＋4n ＋16＝4n ， 记f (x )＝4x －4x 2－4x －16(x ≥2)， 则g (x )＝f ′(x )＝4x ln 4－8x －4，
∴g′(x)＝(ln 4)24x－8>0(x≥2)，
∴g(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(2)＝f′(2)>0，即f′(x)>0，且f(1)≠0，
－10)c2n＝1成立．
∴仅存在唯一的n＝3，使得(S2n
＋1
20.已知函数且x≠1)．
（1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若，使f(x1)≤成立，求实数a的取值范围．
20.解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． 2分
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．…………6分
（2）命题“若使成立”等价于
“当时，有”．………7分
由（1），当时，，．
问题等价于：“当时，有”．……………8分
当时，由（1），在上为减函数，
则=，故．…………10分
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，=，不合．……………12分
(ii)若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．
所以，，与矛盾，不合．……15分
综上，得．………………………16分
数学Ⅱ附加题部分
注意事项：
本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题
．．．．．．．，并在
．．．．．．．．．．．若
．．相应的答题区域内作答
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
C
A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，已知，是圆的两条弦，且是线段的
垂直平分线，若，求线段的长度．
B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M＝的一个特征值是3，求直线在M作用下的新直线方程．
因为矩阵M＝的一个特征值是3，
设，
则，解得，所以，…………………………5分
设直线上任一点在M作用下对应点为，
则有，整理得，
即，代人，整理得,
故所求直线方程为：．………………………………………………10分
C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．
由消去，得，
曲线是以为圆心，半径等于1的圆．………………………………………5分
所以在极坐标系下，曲线是以为圆心，半径等于1的圆．
所以曲线的极坐标方程是．………………………………………10分
D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
如图，在正四棱锥中，已知，点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
A
P
C D
M
O
(第21—A题图)
23．(本小题满分10分)
某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与
奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现
．．．．．．．．．．．．．．，且不重复兑奖
．．．．．．．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．
(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；
(2)求X的概率分布列和数学期望．
（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，
连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．
Y20975 51EF 凯aZ•20251 4F1B 伛)40259 9D43 鵃27311 6AAF 檯H25887 651F 攟37411 9223 鈣^29905 74D1 瓑e。