延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（
）A.x y e -= B.3
y x = C.ln y x = D.y x =2． 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
3． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）
A ．为直角三角形
B ．为锐角三角形
C ．为钝角三角形
D ．前三种形状都有可能
4． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
5． 已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）
2()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ． B ． C ． D ．
1
41
26． 设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ）
A ．（1，2）
B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
7． 函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（
）
()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<
A. B. C. D. 3
2-1-
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
8． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

A
B
C
D
9．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）
A．36种B．18种C．27种D．24种
10．（2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．C．D．
11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，1）D．（0，5）
二、填空题
13．已知，为实数，代数式的最小值是 .
x y 2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.14．已知函数f （x ）=
，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.16．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
17．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B AB
ϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
18．已知线性回归方程
=9，则b= ．
　三、解答题
19．已知集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}．
（1）求C R （A ∩B ）；
（2）若C={x|x ≤a}，且A C ，求实数a 的取值范围．
⊆
20．（本小题满分10分）
已知函数.
()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；
3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.
()|4|f x x ≤-[1,2]21．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
22．设函数f （x ）=kx 2+2x （k 为实常数）为奇函数，函数g （x ）=a f （x ）﹣1（a ＞0且a ≠1）．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求g （x ）在[﹣1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当时，g （x ）≤t 2﹣2mt+1对所有的x ∈[﹣1，1]及m ∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
23．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n
a b 的前项和n S .24．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=
，5（a 2+b 2﹣c 2）
=3ab ．
（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值；
（Ⅱ）若a ﹣c=
﹣1，求△ABC 的面积．　
延庆区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故x y e =y x =-x y e -=2'30y x =>3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B.
()0,∞考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.2． 【答案】B
【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线l ：x=﹣1．
∵|AF|=3，
∴点A 到准线l ：x=﹣1的距离为3
∴1+x A =3
∴x A =2，
∴y A =±2，
∴△AOF 的面积为
=．故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A 的坐标是解题的关键．
3． 【答案】A
【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），
将直线与抛物线方程联立得
，
消去y 得：x 2﹣mx ﹣1=0，
根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，
由
=（x 1，x 12），=（x 2，x 22），得到
=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB 为直角三角形．
故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一
元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
4． 【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f （x ）=x α，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f （x ）=
，故f （2）==，故选：A ．
5． 【答案】A
【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'
222()x x a f x x
++=2()2ln 2f x a x x x =+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2()222h x x x a =++)
,0(+∞恒成立，，故选A. 110,4a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．
6． 【答案】D
【解析】解：A={x|2x ≤4}={x|x ≤2}，
由x ﹣1＞0得x ＞1
∴B={x|y=lg （x ﹣1）}={x|x ＞1}
∴A ∩B={x|1＜x ≤2}
故选D ．
7． 【答案】D
【解析】易知周期，∴.由（），得112(
1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526
k ϕπ=-+π
（），可得，所以，则，故选D.k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(2)6f x x π=-5(0)2cos(6f π=-=8． 【答案】B 【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B 。

9． 【答案】
C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
10．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
11．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减
∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1
若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1
∴，即函数y=f（x）在R上单调递减
若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）
∴a≤1
则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件
故选A
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理
12．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
二、填空题
13．.
【解析】
14．【答案】　（0，1）　．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．　
15．【答案】2300
【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值
2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.16．【答案】 ．
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A （﹣1，2）．如图，
故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x 2）dx ﹣∫﹣11（﹣4x ﹣2）dx
=
﹣（﹣4）
=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．　
17．【答案】②③【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-
=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；(,)A B ϕ=
=
11,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111]考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.18．【答案】　4　．
【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b ，∴b=4
故答案为：4
【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}．那么：A ∩B={x|6≥x ≥3}．∴C R （A ∩B ）={x|x ＜3或x ＞6}．（2）C={x|x ≤a}，∵A C ，⊆∴a ≥6
∴故得实数a 的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　
20．【答案】（1）或；（2）.{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】
试
题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；3a =-25,2()1,
2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为
23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.
{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，
∴k=0．
（Ⅱ）∵g（x）=a f（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1
①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．
②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为．
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为，
∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立
令h（m）=﹣2mt+t2，∴
即
所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
23
26-+-=n n n S .【解析】
（2）121
2--=n n n n b a ，………………6分12212
1
223225231---+-++++=n n n n n S ，①
n
n n n n S 21
2232252321211321-+
-++++=- .②……………8分①-②得n
n n n n S 2
122222222212`1221--+++++=-- 2311222221
1222222n n n n S --=++++-，…………10分
所以1
23
26-+-
=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {
n
n
b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .24．【答案】
【解析】解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，
∴sinA=
=
，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．。