(赣豫陕)2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.

4．1 空间图形基本关系的认识
4．2 空间图形的公理(一)
学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．
知识点一空间图形的基本位置关系
对于长方体有12条棱和6个面．
思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
答案相交，平行，既不平行也不相交．
思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？
答案棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
思考3 六个面之间有哪几种位置关系．
答案平行和相交．
梳理
aα
知识点二空间图形的公理
思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？
答案不在同一直线上的三点确定一个平面．
思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
答案直尺在桌面上．
思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
答案这些公共点在同一直线上．
梳理(1)空间图形的公理
A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α⇒
lα
(2)公理2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．
1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( ×)
2．空间不同三点确定一个平面．( ×)
3．一条直线和一个点确定一个平面．( ×)
类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
解(1)点P∈直线AB.
(2)点C∉直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1∉平面AC.
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形．
(1)直线l经过平面α内两点A，B；
(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；
(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．
(2)l⊈α，P∈l，P∈α.如图
(3)lα，lβ.如图．
(4)α∩β＝l，mα，m∥l.如图．
类型二平面的基本性质的应用
命题角度1 点线共面问题
例2 如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQα.
考点平面的基本性质
题点线共面问题
证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，P∉α，所以α与β重合，所以PQα.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．
解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴lα.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．
反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练2 如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
考点平面的基本性质
题点线共面问题
证明方法一(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2α，∴A∈α.
∵A ∈l 2，l 2β，∴A ∈β.
同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.
∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内． 命题角度2 点共线、线共点问题
例3 如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点．
求证：FE ，HG ，DC 三线共点．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题 证明 如图所示，连接C 1B ，GF ，HE ，由题意知
HC 1∥EB ，且HC 1＝EB ，
∴四边形HC 1BE 是平行四边形， ∴HE ∥C 1B .
又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， ∴GF ∥C 1B ，且GF ＝1
2C 1B .
∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ， ∴HG 与EF 相交．设交点为K ， ∴K ∈HG ，HG 平面D 1C 1CD ， ∴K ∈平面D 1C 1CD .
∵K ∈EF ，EF 平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD ， ∴K ∈(平面D 1C 1CD ∩平面ABCD )＝DC ， ∴EF ，HG ，DC 三线共点．
反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
证明方法一∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC
平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊈α
C．A l，l∉αD．A l，l⊈α
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 B
解析∵点A在直线l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l⊈α.故选B.
2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形
是( )
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 D
3．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊈α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 C
解析当l⊈α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．
4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，所以γ与β的交线必通过点C和点M.
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案P∈直线DE
解析因为P∈AB，AB平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.
一、选择题
1．下列有关平面的说法正确的是( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
考点平面的概念、画法及表示
题点平面概念的应用
答案 D
解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．
2.如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，nα，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，nα，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 A
解析α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A. 3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
4．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个B．3个
C．4个D．1个或4个或无数个
考点平面的基本性质
题点确定平面问题
答案 D
解析当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．
5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条B．2条或3条
C．1条或3条D．1条或2条或3条
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
6．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线B．可能有三点共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确．
7．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析由题意知GH平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是( )
A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确．
二、填空题
9．已知点A，直线a，平面α.
①A∈a，a∈α⇒A∈α；②A∉a，aα⇒A∉α；③A∈a，aα⇒Aα.
其中说法正确的个数是________．
考点平面的概念、画法及表示
题点自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案0
解析①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可在α外，故不正确；③中“Aα”符号错．
10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内
考点平面的基本性质
题点线共面问题
答案③
11．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．
考点平面的基本性质
题点确定平面问题
答案1或3
解析若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面．
12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
答案三点共线
解析∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，
记作平面β，则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α，
又∵O∈AB，ABβ，
∴O∈β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
三、解答题
13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．
考点平面的基本性质
题点线共面问题
证明(1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，
∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，
∴NQα，即bα，同理cα，∴a，b，c，d共面．
(2)有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K∉a，
∵K∉a，∴K和a确定一个平面，
设为β.
∵N∈a，aβ，∴N∈β，∴NKβ，
即bβ，同理cβ，dβ，∴a，b，c，d共面，
由(1)(2)可知a，b，c，d共面．
四、探究与拓展
14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个
正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
考点平面的基本性质
题点平面基本性质的其他简单应用
答案36
解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
15．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．
考点平面的基本性质
题点点共线、线共点、点在线上问题
证明如图．
(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，
在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，
设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β，
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，
故R∈PQ.所以P，Q，R三点共线．
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