解析几何常见方法

一、基本问题
1.求曲线方程；
2.确定轨迹形状；
3.判定两图形的位置关系；
4.研究曲线的性质；
5.确定长度、角、面积、体积等相关量的值、取值范围及最值；
6.确定参数的值、取值范围或最值；
二、基本题型
判断题、证明题、计算题、开放性题（探索性题）
三、基本策略
1.第一层：定义、方程（坐标）与性质之间的选择
2.第二层：
（1）用定义：分为直接或间接用第一定义、第二定义；
（2）方程（坐标）法：分为直角坐标、向量、极坐标与参数坐标
3.第三层：数形结合、分类讨论、化归与转化、函数方程不等式是常用的数学思想，换元引参、以算代证是常用的数学方法。

四、方法研究
（一）曲线方程的求法
1.动点法（也叫直接法）
2.待定系数法（）
3.定义法
4.相关点法（也叫代入法，含交轨法）
5.参数法
【注意1】求曲线方程的参数法、曲线的参数方程是既有区别又有联系的；教材上的直线、圆及圆锥曲线的参数方程与平时的通过“换元引参”得到的参数方程是不一样的，前者的参数具有需要大家掌握的几何意义而后者显然具有情境性。

【注意2】1.相关点法是参数法的一种；2.参数法重在引参消参——引入多少个参数？怎样消去参数？引参消参是一门集观察、推演、综合等多领域的高技术活。

下面举一个例子说明：
【例1】已知抛物线y2=4px （p>0）,O 为顶点,A 、B 为抛物线上的两动点,且满足OA ⊥OB,如果OM ⊥AB 于M 点,求点M 的轨迹方程。

法1设OA ：y=kx ，则OB ：y=x k 1-.联立y=kx 与y2=4px 得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛k p k p 4,42，.联立y=x k 1-与y2=4px 得B ()
kp p k 4,42- 所以AB ：22141k kp x k k y ---=，OM ：x k
k y 2
1--=，消去k 得px y x 422=+。

【点评】设了一个参数，消参数容易，也可看做“交轨法”。

一个参数k ，两个方程，消一个参数就少一个方程，最后得到的是关于x 、y 的方程，但由于本题求的就是x 、y 的方程，恰好。

法2. 设M ()y x ,，A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y p y ，B ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛222,4y p y ，故OA 的斜率为14y p ，OB 的斜率为24y p ，因为OA ⊥OB ，故2
2116-p y y =，又直线AB ：)4(4-21211p y x y y p y y -+=，即px y y y y y 4-)(2121=+；又OM ：x p y y y 421+-=，消去21y y 和21y y +得px y x 42
2=+。

【点评】虽只设了2个参数，但死板地按逐个代入消元一般很难（从22116-p y y =，px y y yy yy 4-2121=+，x p
y y y 421+-=中逐个消元），绝对的逐个代入消元将让你困难重重。

下面给出四种是逐个消元的方法：
【1】由x p
y y y 421+-=得124-y x py y -=分别代入22116-p y y =和px y y yy yy 4-2121=+得 0164121=-+px pyy xy 和044422121=--+px py pyy xy ，消去y 1得px y x 422=+。

【2】由px y y yy yy 4-2121=+得1
124y y yy px y --=，分别代入22116-p y y =和x p y y y 421+-=得 01641621221=--+y p y px p yy ）（和044422121=--+px py pyy xy 接下来怎么办？
【3】由2
2116-p y y =得12
216y p y -=，分别代入px y y yy yy 4-2121=+和x p y y y 421+-=得 01641621221=--+y p y px p yy ）（和0164121=-+px pyy xy 接下来怎么办？
【评】逐个代入的三种形式中，第一种很好解决（是不是巧合？非常可能！而且最后的消y 1也很时尚）而后两种怎么办呢？不能用求根公式（这样会很困难），两个方程的解要相同，对应系数成比例就能解决！
【4】由px y y yy yy 4-2121=+得1
124y y yy px y --=，代入22116-p y y =得01641621221=--+y p y px p yy ）（ 得y
y x px p p p px y 2)4816(16164222221++-±-=同理y y x px p p p px y 2)4816(16164222222++-±-= （根据对称性，不难类比得到这个结论）∵21y y ≠（没有这个，则很难进行），故y
p px y y 2
21164-=+，代入x p
y y y 421+-=得px y x 422=+ 【评】这种算不算纯粹的“逐步代入消元”？
【评】两个参数y 1、y 2，，三个方程，消两个参数就少一个方程，最后得到的是关于x 、y 的方程，但由于本题求的就是x 、y 的方程，恰好。

法3设M ()y x ,，A ()11,y x ，B ()22,y x
1214px y =，2224px y =，+21x x 021=y y ，)(112121x x x x y y y y ---=-，11
212-=--∙x x y y x y 【点评】是可以消参的，但不是那么容易的（从上下各种方法的消参中可以发现：代入消元一般都做不到，往往出现21y y 和21y y +这样的整体才行。

法4设M ()y x ,，A ()11,y x ，B ()22,y x ，设直线AB 为y=kx+b.
联立y=kx+b 与y2=4px 得 0)42(2
22=+-+b x p kb x k ，故22124k kp p x x -=+，22
21k b x x = k pb b kx b kx y y 4))((2121=++=，又OA ⊥OB ，故+21x x 021=y y ，故+22k b 04=k pb ，即p b k 4-=
故AB ：b x p b y +-=4，显然AB 过(4p ，0)，故AB 的斜率为：p
x y 4-，OM 的斜率为：x y ，又AB ⊥OM ，故∙-p x y 41-=x
y ，即px y x 422=+。

【点评】1.本题开始一口气设了6个参数，如果要规规矩矩地消参就得列7个方程（y=kx+b ，y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，1214px y =，2224px y =，+21x x 021=y y ，11
212-=--∙x x y y x y ），不仅难列，更难消。

可见消参需多途径高技艺。

2.设参数控制在1到2个（最好一个），超过一个时消元采用“逐个消元”是下策，灵活技术性消元考验你！
【注意】点差法、韦达定理、交轨法不过是引参消参的特殊形式。

（二）确定轨迹的形状
法1求出轨迹方程或化简方程，再根据方程特征判；
法2根据轨迹的定义判；
法3能否弄出些曲线的性质（如哪怕几个关键的点啊）
【评】三种方法的依据充分地考虑了曲线的定义、方程和性质之间的关系！
（三）判定两图形的位置关系
1.基本类型：点与直线、点与二次曲线、直线与直线、直线与二次曲线（分直线与圆，直线与其它）、二次曲线与二次曲线（含圆与圆，其它）五大类
2.方法集成：点的坐标是否适合方程、转化成两点距（参数法）、点到直线的距离（几何的、代数的）、r-d 判定法、方程组的解、判别式法、向量法、斜率截距判定法（直线与直线）
【注意】1.上述方法除了“转化两点距（参数法）”适用范围最广外，其它方法都有自己适合的对象，而有些则具有最窄的范围，如斜率截距判定法；2.牵涉到方程或坐标时，又分为“直角坐标系”和“极坐标系”甚至“向量系”
（四）研究曲线的性质
1.题型：（1）由曲线方程（或经过变形）研究曲线的性质；（2）先求曲线方程，再根据曲线方程研究曲线的性质；
2.求得轨迹或轨迹方程----研究曲线的性质
（五）求值、取值范围或最值
1.求值
2.取值范围或最值的求法
（1）变量的取值范围与最值的求法同大于异：能求出的范围的就一定能确定最值的情况，最值也能帮助确定范围（求最值的方法略多于求范围）。

（2）求最值的方法：单调性法（含导数法）；不等式法；数形结合（两点距、点线距、斜率、圆锥曲线第二定义及构造法、利用线性规划等）；利用已知变量的最值（即复合函数法，含换元法或参数法）；配方法；判别式法；
【注意】求量的值、范围或最值都少不了常见量的计算公式或不等式，因此对相应公式的记忆是起码应当掌握的基础。

常见的公式有：斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式、两直线间的距离公式、两点间的距离公式、各种面积体积公式、各种边角的计算公式（三角函数、余弦定理、勾股定理）、弦长公式、向量里的公式、各种不等式等等。

（六）确定参数的值、取值范围或最值
1. 这没有一般的方法。

有几个常用的思路：1）分离参数（其实是函数思想）；2）对参数讨论（分类讨论思想，从一般到特殊）；3）主元法（平等元划出参数，消元思想）；4）改变参数地位（转化与化归思想，从特殊到一般思想）；5）对参数外的变量分类讨论（从特殊到一般）；6）数形结合（转化思想）；
2.分离参数后就涉及到求变量取值范围的单调性法（含导数法）、不等式法、利用已知变量的范围、配方法、判别式法等；
3.必备基础：这类问题还必须在具体的情境中进行，什么样的问题背景就需要什么样的知识。

故这类问题牵涉的知识太广，很难形成一个普适的方法的。

灵活、技巧、转换是这类问题的特点。