山西省忻州高三上学期期末考试数学试卷(理)

山西省忻州市第一高三上学期期末考试数学试卷（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合M={y ∈R ∣y=x 2}，N={x ∈R ∣x 2+ y 2=2}，则M ∩N = ( )
A ．{(-1,1),(1,1)}
B ．{1}
C ．[0,1]
D ．[0,2]
2．复数2+ i 的实部与复数1-2i 的虚部的和为 （ ）
A ．0
B ．2-2i
C ．3-i
D ．1+3i
3．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n 的最小值，则
输出框中应填 （ ）
A ．i
B ．i+1
C ．i -1
D ．n
4．已知x 与y 之间的一组数据：
已求得关于y 与x 的线性回归方程为y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.5
5．已知对于正项数列{a n }满足a m+n =a m a n (m,n ∈N *)，若a 2=9，则log 3a 1+log 3a 2+……+ log 3a 12 = （ ）
A ．40
B ．66
C ．78
D ．156
6．函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移π
8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值
为 （ ）
A ．3π4
B ．π4
C ．0
D ．-π4
7．设a>0，b>1，若a+b=2，则2a +1
b-1
的最小值为 （ ）
A ．3+2 2
B ．6 C. 4 2 D. 2 2
8．函数f(x)＝sinxcosx
x 2+1
的图象大致为 （ ）
9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →+AB →+AC →=0→，则向量CA → 在CB →
方向上的投影为 （ ）
A ． 3
B ．3
C ． - 3
D ． -3
10．已知点P(x ，y)在直线x+2y=3上移动，当2x +4y 取最小值时，过点P(x ，y)引圆C ：(x-12)2+(y+5
4)2=1的
切线，则此切线长等于 （ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
11．已知2F 、1F 是双曲线()22
2210,0y x a b a b -=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以
1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )
A ．3 B. 3 C ．2 D. 2
12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2x+a x>0
2x +a x ≤0
，若函数y=f(x)+x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A. (-∞,-1]
B. (-∞,-1)
C. (-1,+∞)
D. [-1,+∞)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．(x
+
12展开式中有理项共有 项．
14．已知tanα=13，tanβ=﹣17，且0＜α＜π2，π
2＜β＜π，则2α﹣β的值 ．
15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.
16．已知函数f(x)＝x 3＋sinx ，对任意的m ∈[－2,2]，
________．
三、解答题（共70分）
17．（本小题满分12分）已知A,B 分别在射线2
3
π，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a （1）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2 （2）若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC 2 2
2
2 正视图 侧视图 俯视图
并求周长的最大值．
18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）
（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；
②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：
参考公式：2
()()()()
K a b c d a c b d =++++
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC
上动点， F 是AB 中点，1AC =，2BC =，14AA =。

（1）若E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；
（2）若二面角1A EB B --，求CE 的长.
20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F （1，0），且
点（﹣1，
2
2
）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →·QB →
= - 7
16
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数)1,0(1
ln )1()(≠>-+=x x x x
x x f 且
（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）证明：2)(>x f .
22．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分)
如图AB 是⊙O 的弦，C 、F 是⊙O 上的点，OC 垂直于弦AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ，连结CF 交AB 于E 点． （I ）求证：DE 2=DB ⋅DA ；
（II ）若BE=1，DE=2AE ，求DF 的长．
23．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分)
(I)求证：∣OB ∣+∣OC ∣=2∣OA ∣； (II)当φ= π
12
时，B , C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值.
24．选修45-：不等式选讲（本小题满分10分）
设f(x)=∣x-a ∣,a ∈R
（I ）当-1≤x ≤3时，f(x) ≤3,求a 的取值范围；
（II ）若对任意x ∈R ，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a 恒成立，求实数a 的最小值．
山西省忻州市第一高三上学期期末考试数学试卷（理）
答案
一、选择题
DACDC BAAAD CB
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．3 14. ﹣
15．6π 16．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
三、解答题（共70分）
17解：（1）∵a 、b 、c 成等差，且公差为2，
∴4a c =-、2b c =-. 又∵23MCN ∠=
π，∴1
cos 2
C =-， ∴
2221
22
a b c ab +-=-， ∴()()()()2
2
24212422c c c c c -+--=---， ……（4分） 恒等变形得 2
9140c c -+=，解得7c =或2c =.又∵4c >，∴7c =. ……（6分）
（2）在ABC ∆中，
sin sin sin AC BC AB
ABC BAC ACB
==
∠∠∠，
∴
22sin sin
sin 33AC
BC ===ππθ
⎛⎫
-θ ⎪⎝⎭
，
2sin AC =θ，
2sin 3BC π⎛⎫
=-θ ⎪⎝⎭. ……（8分）
∴ABC ∆的周长()f θAB BC AC ++
=2sin 2sin 3π⎛⎫
=θ+-θ+ ⎪⎝⎭
12sin cos 22⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣
⎦
2sin 3π⎛
⎫=θ+ ⎪⎝⎭ ……（10分）
又∵0,
3π⎛⎫
θ∈ ⎪⎝
⎭
，∴2333πππθ<+<, ∴当3
2
π
π
θ+
=
即6
π
θ=
时，()f θ
取得最大值2． ……（12分） 18. 【 解析】
（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值
k =42×(16×12－8×6)2
24×18×20×22=
25255
≈4.582>3.841. ……2分 所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则
P(A∩B)=33
318C C ，P(A)=2
17318
C C .
所以P(B|A)=P(A∩B )P(A)=33217C C =
217×16 =1
136. ……7分 方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C)=2
2217C C =217×16=1136.
②由题知X 的可能值为0，1，2.
依题意P(X =0)=316318C C =3551；P(X =1)=21162318C C C =517；P(X =2)=12
162
318
C C C =151. 从而X 的分布列为
分 于是E(X)=0×3551＋1×517＋2×151=1751=1
3. ……12分
19.解：（1）证明：取1AB 的中点G ，联结FG EG , G F ,分别是棱1,AB AB 中点
∴EC FG CC EC EC FG ==,2
1
,//1
∴四边形FGEC 是平行四边形
∴EG CF // 4分 ⊄CF
平面1AEB ,⊂EG 平面1AEB
∴//CF 平面AEB 6分
（2）解：以C 为坐标原点，射线1,,CC CB CA 为z y x ,,轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系
xyz C -. 则()()()
4,2,0,0,0,1,0,0,01B A C 7分 设()(),40,,0,0≤≤m m E 平
面1
AEB 的法向量()z y x n ,,1
=
则111,AB n AE n ⊥⊥， 得⎩⎨
⎧=+-=++-0
42mz x z y x
()2,4,21-=m m n 8分
CA ⊥平面11CBB C
∴是平面1EBB 的法向量，则平面1EBB 的法向量()0,0,12
==n 10分
B EB A --1
二面角的平面角的余弦值为17
17
2， 则
()4
442,cos 1717222
212121+-+=⋅==m m m
n n n n n n 解得()
401≤≤=m m
1=∴CE 12分 20. 【 解析】（1）由题意，c=1 ∵点（﹣1，
）在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：2a=
，∴a=
∴b 2=a 2﹣c 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为
；
（2）假设x 轴上存在点Q （m ，0），使得恒成立
当直线l 的斜率为0时，A （，0），B （﹣
，0），则
=﹣
，
∴
，∴m=
①
当直线l 的斜率不存在时，，
，则•=
﹣
，∴
∴m=或m=② 由①②可得m=． 下面证明m=时，
恒成立
当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 直线方程代入椭圆方程，整理可得（t 2+2）y 2+2ty ﹣1=0，∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣
∴
=（x 1﹣，y 1）•（x 2﹣，y 2）=（ty 1﹣）（ty 2﹣）+y 1y 2=（t 2+1）y 1y 2﹣t （y 1+y 2）
+
=+=﹣
综上，x 轴上存在点Q （，0），使得QA →·QB →= - 716
恒成立.
21.解：（1）
()
2
11ln 2)(--
+-=
'x x
x x x f ，设
(),
1
ln 2x
x x x g -+-=则()10g =，且
()()()∞+≥-=
'，在0,01)(2
2
x g x
x x g 上单调递增。

当()1,0∈x 时，(),0<x g 从而)(,0)(x f x f <'单调递减； 当(),0)(,1>+∞∈x g x 时，从而)(,0)(x f x f >'单调递增。

因此，
()1,0)(在x f 上单调递减，在()+∞,1上单调递增。

6分
（2）原不等式就是021
ln )1(>--+x x
x
即
()0112ln 11>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+---+x x x x x ， 令()(),1
12ln +--=x x x x h 则()()()011)(,0122
≥+-='=x x x x h h
)(x h 在()+∞,0上单调递增。

当()1,0∈x 时，()0<x h 当()+∞∈,1x 时
()0>x h ，所以当0>x 且1≠x 时，2)(>x f 12 分
22．解：（I ）连结OF ，∵OC=OF ，∴∠OCF=∠OFC ，
∵DF 是⊙O 的切线，
OC DF OF 又,⊥∴垂直于弦AB ，
∴∠AEC+∠OCF ＝∠OFC+∠DFE ．
,,DFE DEF DFE AEC ∠=∠∴∠=∠∴……4分
∴DE=DF ，∵DF 是⊙O 的切线，
DA DB DE DA DB DF ⋅=∴⋅=∴22,
……6分
（II ）设AE=x ，则DE=2x ，DF=2x ，
),12(3)2(,22-=∴⋅=x x x DA DB DF
解得2x=3，∴DF 的长为3． …10分
23解：（1）依题意，
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==4cos 4,4cos 4,cos 4πϕπϕϕOC OB OA 2分
则()()OA
OC OB 2cos 24sin cos 22sin cos 22
4cos 44cos 4==++-=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ϕϕϕϕϕπϕπϕ
5分 （2）当12
π
ϕ
=
时，C B ,两点的极坐标分别为.6,32,3,
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ
化为直角坐标为(
)()
.3,3,3,1-C B 7分
2C 是经过点
(),0,m 倾斜角为α的直线，
又经过C B ,的直线方程为(),23--=x y 9分
所以3
2,2π
α
=
=m 10分
24解：（1）
,3)(≤-=a x x f 即.33+≤≤-a x a
依题意，⎩⎨⎧≥+-≤-3
313a a
由此得a 的取值范围是[]2,0 . 4分
（2）
()()a x a x x a x a x f a x f 222)(=--≥+-=++- 6分
当且仅当
()02≤-x a x 时取等号
解不等式,212a a -≥得4
1
≥a
1
故a的最小值为
4。