2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的开口方向是()
A.向右
B.向上
C.向左
D.向下
2.在中，，，，则BC的长为()
A. B. C. D.
3.下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是()
A. B. C. D.
4.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为()
A. B.
C. D.
5.如图，C是线段AB的黄金分割点，，则下列结论中正确的是()
A. B.
C. D.BC：：AB
6.若点、和分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是()
A. B. C. D.
7.若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为()
A. B.
C. D.
8.已知中，AD是高，，，，则为()
A. B. C.或 D.或
9.如图，在平面直角坐标系中，，将OA沿y轴向上平移3个单位长度至CB，连接AB，若反比例函数的图象恰好经过点A及BC的中点D，则k值等于()
A.6
B.
C.3
D.
10.的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若，
，，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF
与的面积比为何？()
A.1：3
B.1：4
C.2：5
D.3：8
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

11.如果a：：3，那么：______.
12.如图，直线若，，，则DE的长为______.
13.如图，中，，E为AC上一点，且AE：：1，，
F为垂足，连接FC，则的值等于______.
14.在二次函数中，t为大于0的常数.
若此二次函数的图象过点，则t等于______；
如果，，都在此二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共64分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题6分
计算：
16.本小题6分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到其中与A，与B，与C 是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧
17.本小题8分
已知抛物线
用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
取何值时，？
18.本小题10分
如图，在中，，，点P从点A开始沿AB边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，与相似．
19.本小题10分
学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示.测得，，，，，求AB边的长参考数据：，，
，，，
20.本小题12分
如图1放置的木板余料，下方边缘AB为12dm，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为如图2，建立平面直角坐标系，AB在x轴上，y轴正好是此木板的对称轴.
求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；
如图3，若从此木板中切割出矩形HGNM，且边GN在x轴上，求此矩形的最大周长；
若从此木板中横向切割出短边为2dm的矩形木板若干块矩形的长边与x轴共线或平行，然后拼接成一个短边为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，
并直接写出拼接后矩形长边的最长长度结果保留根号
21.本小题12分
如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过A作交PD于点
证明：；
已知，，，求
BF的长；
当点F为BC的中点时，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：抛物线中，，
抛物线开口向上，
故选：
根据，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于0，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在中，，
，
故选：
根据余弦的定义列出算式，计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角
A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦是解题的关键．3.【答案】B
【解析】解：A、，y随x的增大而增大，故本选项错误，
B、，y随x的增大而减小，故本选项正确，
C、，y随x的增大而增大，故本选项错误，
D、，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故本选项错误，
故选：
利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．
本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质，解题的关键是熟记一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质．
4.【答案】A
【解析】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物
线的函数表达式为：，即
故选：
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】D
【解析】解：是线段
AB的黄金分割点，，
，
，，，
故选：
根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，，
点、在第二象限，在第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，最小，
，
，，
故选：
判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可．
考查反比例函数图象上点的坐标的特点；用到的知识点为：第二象限点的纵坐标总大于第四象限点的纵坐标；在同一象限内，比例系数小于0，y随x的增大而增大．
7.【答案】D
【解析】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
抛物线开口向上，
二次函数的对称方程为直线，
抛物线的顶点在y轴左侧，
选项符合题意．
故选：
先根据反比例函数的图象位于第一、三象限判断出a的符号，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质和图象，二次函数的性质和图象，熟知以上知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①当AD在三角形内部时，
，，
，，
②当AD在外部时，
，
，，
，，
故选
分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是分类讨论，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
9.【答案】B
【解析】解：设，则，
点D是BC的中点，，
，
反比例函数的图象恰好过点A与BC的中点D，
，
解得，
，
，
，
负数舍去，
，
，
故选：
设，则由题意，进而求得，根据反比例函数系数，得到
，解得，利用勾股定理求得m的值，得到，代入解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，能够根据题意表示出A、D的坐标是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：16，
同法可证∽，
，
，
：：16，
：：：8，
故选：
证明∽，推出，推出，可得，推出：：16，同法：：16，由此可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】5：3
【解析】解：：：
3，
：
故答案为：
5：
根据比例式的性质求解即可求得答案．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
12.【答案】
【解析】解：，
，
即：
，
故答案为：
由，得到，代入数据即可得到结果．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
，
在中，
，
即
令，则，
：：
1，
，
在中，
，
则
，
则
在中，
故答案为：
过点C作AB的垂线，利用特殊角的三角函数值即可解决问题．
本题考查解直角三角形，过点C作AB的垂线构造出直角三角形及巧用特殊角的三角函数值是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：将代入得：
，
解得：，
故答案为：
，都在二次函数图象上，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
解得，
，
点在对称轴左侧，C点对称轴右侧，
在二次函数中，令，，
抛物线与y轴的交点坐标为，
点关于对称轴对称点的坐标为，
，
，解得，
①当点，都在对称轴左侧时，
随x的增大而减小，且，
，解得，
此时m满足的条件为：；
②当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，
，
点到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，
，
解得：，
此时，m满足的条件是：，
综上分析，或
故答案为：或
将代入计算得出t值即可；
先根据点AC的纵坐标相等，可得对称轴，再分两种情况讨论得出结果即可．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
15.【答案】解：
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：如图，点E的位置即为所求，；
如图，即为所求．
【解析】对应点的连线的交点O即为位似中心；
利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
17.【答案】解：，
顶点坐标，
对称轴是直线；
令，即，
解得或，
抛物线开口向下，
当或时，
【解析】用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；
令，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．
本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大小值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值，，
18.【答案】解：设经过t秒后，与相似，则有，，，
当∽时，有BP：：BC，
即：：
20，
解得
当∽时，有BQ：：BC，即4t：：20，
解得
所以，经过或
1s时，与相似．
解法二：设
ts后，与相似，则有，，，
分两种情况：
当BP与AB对应时，有，即，解得
当BP与BC对应时，有，即，解得
所以经过
1s或时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与相似．
【解析】设经过
t秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
19.【答案】解：作，，如图：
在中，，，
，，
，
，
，
四边形CDFE是矩形，
，
在中，，，
，
，
【解析】作，，在中，求出DF，AF，证四边形CDFE是矩形得；在中求出BE即可求解
本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
20.【答案】解：由题意得：，抛物线的顶点为，
，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式为；
设，
四边形HGNM为矩形，
，
N关于y轴对称，
，
，，
矩形HGNM的周长
，
，
当时，矩形
HGNM的周长的最大值为
此矩形的最大周长为26；
如图，切割方案如下：
设抛物线的顶点为C，在OC上依次截取，分别过点D，E，F，G作AB的平行线，交抛物线与点H，I，J，K，L，M，N，P，则HI，JK，LM，NP为分割线，拼接后矩形长边的最
长长度为
令，则，
，
令，则，
，
令，则，
，
令，则，
，
拼接后矩形长边的最长长度为
【解析】利用线段的长度得到A，B和顶点坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用二次函数的解析式设，利用矩形的性质和轴对称的性质求得点N的坐标，进而求得线段MH，MN的长度，利用矩形的周长的性质求得矩形的周长，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
设抛物线的顶点为C，在OC上依次截取，分别过点D，E，F，G作AB 的平行线，交抛物线与点H，I，J，K，L，M，N，P，则HI，JK，LM，NP为分割线，拼接后矩形长边的最长长度为分别令，4，6，8，依次求得分割线的长度，相加即可得出结论．本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，矩形的性质，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
由题意知，，，
，
∽，
，
；
，
即，
，
∽，
，
，
，
，
在矩形ABCD中，，
∽，
，即，
；
如图，延长DE交CB的延长线于点G，
点E是AB的中点，
，
，
，
，
≌，
，
又，
，
又点F为BC的中点，
，
，，
，
，
由题意知，，
∽，
【解析】判断出，进而得出∽，即可得出结论；
先判断出∽，得出，进而判断出，再判断出
∽，即可得出结论；
先判得出≌，得出，进而判断出，再判断出
，，进而判断出，判断出∽，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．。