慢走与快跑,淋湿的程度相同吗

下雨天，在雨中行走时，通过同样长的距离，慢 慢行走和快速奔跑相比，人被雨水淋湿的程度一样 吗？
为讨论问题的方便，将人看作在雨中直立并向 前平移的长方体．由于风向的不同，雨滴下落的方向 也不相同，我们先看最简单的情况———无风天气雨 滴匀速竖直下落的情形．
图１
设雨滴下落的速度为 ｖ雨，单位体积空气中的雨 量为整体 １，表示人的长方体模型高 ｈ，长和宽分别 为 ｃ 和 ｂ，如图 １ 所示（图 １ 乙是表示人的长方体模型 的侧面图，向画面内部延伸的长方体的长 ｃ 图中没 有标注），设人以 ｖ人 的速度匀速向左行走，则以人为 参照物，本来相对于地面竖直下落的雨滴，相对于人
接受的雨水总量为：
（ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα）ｃｖ合·ｔ
＝
éëêê（ ｖ雨
ｓｉｎβ ＋ ｖ合
ｖ人 ） ｈ
＋
ｖ雨（
ｃｏｓβ ｖ合
）
ｂ
ùûúú
ｃｖ合
·ｓ ｖ人
＝
（ ｖ雨
ｈｓｉｎβ
＋
ｖ人
ｈ
＋
ｖ雨
ｂｃｏｓβ）ｃ· ｓ ｖ人
＝
éëêê
ｖ ｖ
雨 人
（
ｈｓｉｎβ
＋
ｂｃｏｓβ）
＋
ｈ ùûúú
ｃｓ．
图２
６１
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 ５ 期
﹥
ｖ雨
ｓｉｎβ）
式子［ｈ ＋ ｖ雨（ｂｃｏｓβ － ｈｓｉｎβ）］ｃｓ 中，除人行走的 ｖ人
速度 ｖ人 为变量外，其余各量均为常量，该解析式的
值随 ｖ人 作怎样的变化，取决于（ｂｃｏｓβ － ｈｓｉｎβ） 的正
负情 况， 易 知， 当 （ｂｃｏｓβ － ｈｓｉｎβ） ﹥ ０， 即 β ﹥
ａｒｃｔａｎ
的行走速度越大，身体接受的雨水总量就会越少． 当
然，如果不考虑人的“ 厚度”， 不是把人看作长方体
模型，而是将人看作没有厚度的长方形模型（ 很多资
料都是建立这样的模型），则上式中的 ｂ ＝ ０，人在雨
中以不同 速 度 走 完 全 程 身 体 接 受 的 雨 水 总 量 变 为
ｈｃｓ，是常量，这就是说，不论人慢慢行走还是快速奔
角度时，问题将会变得更为复杂，我们不再探讨．
作者简介 王伟民，男，１９６４ 年生，安徽省太和县人，中 学高级教师．曾荣获太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称 号．发表论文 ５０ 余篇．
＝ ［ｖ雨（ｂｃｏｓβ ｖ人
＋
ｈｓｉｎβ）
－
ｈ］ ｃｓ． （ ｖ人
﹤ ｖ雨
ｓｉｎβ）
由 上 式 可 知， 人 走 得 越 快，ｖ人 越 大，
éëêê
ｖ雨 ｖ人
（
ｂｃｏｓβ
＋
ｈｓｉｎβ）
－
ｈ ùûúú
ｃｓ
的值越小， 人所 接 收 的
雨水总量越少．
需要说明 的 是， 为 了 方 便 讨 论， 以 上 诸 多情 况，
则沿斜向后（左） 的方向匀速下落，如图 １ 甲所示，设
雨滴相对人的下落方向与铅直线的夹角为 α，大小
为 ｖ合 ，有 ｖ合 ＝ ｖ２人 ＋ ｖ２雨 ，设人在雨中需要走的路程
为
ｓ，则人走完路程
ｓ
所用时间为 ｓ ｖ人
，由图
１
知，雨中
行走的人在单位时间内接收的雨水量为 ｖ合（ｈｓｉｎα ＋
ｂｃｏｓα ） ｃ，所以，人走完全程身体接收的雨水总量为：
对于行人的速度 ｖ合 与铅直线的夹角为 α，则有
ｓｉｎα＝Biblioteka ｖ雨ｓｉｎβ ｖ合
－
ｖ人 ，
ｃｏｓα
＝
ｖ雨
ｃｏｓβ ．
ｖ合
所以，人在雨中走完路程 ｓ，身体接受的雨水总
量为
（ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα）ｃｖ合·ｔ
＝
［ （ ｖ雨
ｓｉｎβ － ｖ合
ｖ人 ） ｈ
＋
ｖ雨（
ｃｏｓβ ｖ合
）
ｂ ］
ｃｖ
合
·ｓ ｖ人
＝ （ ｖ雨 ｈｓｉｎβ － ｖ人 ｈ ＋ ｖ雨 ｂｃｏｓβ） ｃ·ｖｓ人
ｂ ｈ
时，雨中 的 行 人， 走 得 越 快， 同 样 的 路 程 内
接收的雨水总量会越少；而 β ﹤ ａｒｃｔａｎ
ｂ ｈ
时，（ ｂｃｏｓβ
－ ｈｓｉｎβ） ﹤ ０，人走得越快，走完同样的路程，接收的
雨水 总 量 会 越 多； 当 β
＝ ａｒｃｔａｎ
ｂ ｈ
时， （ｂｃｏｓβ
－
ｈｓｉｎβ） ＝ ０，所以， éëêêｈ
跑，雨中走完确定长度的路程，身体被雨水淋湿的程
度是一样的．
再看有风的情形． 有风天气， 雨滴下落方向不
同，人被淋湿的情况也不尽相同，我们分析两种特殊
情形 ——— 风向与人行走方向相同和相反的情形（ 侧
向刮风，雨滴下落角度会随风向的变化而改变，人被
淋湿的情况较为复杂，我们不再探究） ．
１ 人逆风而行
ｂ ＝ ０ 时，情况同样如此）．
２ 人顺风而行
图３
１．若人的行走速度大于风速， 则仍感到风是迎
面吹来，雨滴从人的前上方落向人体，如图 ３，ｖ合 是 雨滴相对于顺风行走人的下落速度，由图 ３ 甲可知，
ｖ合 方向与铅直线的夹角 α 满足
ｓｉｎα
＝
ｖ人
－
ｖ雨
ｓｉｎβ ，ｃｏｓα
＝
ｖ雨
ｃｏｓβ ．
ｖ合
ｖ合
我们都是将人看作长方体模型，实际上，人属于不规
则的“ 几何体” ，而且， 人的行走并非是在雨中平移，
双腿和两臂在不停的前后摆动， 身 体 上 下 晃 动 的 同
时，还在不断地扭动，因此，实际问题中的雨中行人，
走完同样的路程，人被雨水淋湿的程度远比我们上
面的讨论复杂得多， 当 风 向 与 人 的 前 进 方 向 成 任 意
＋
ｖ雨 ｖ人
（
ｂｃｏｓβ
－
ｈｓｉｎβ） ùûúú
ｃｓ
＝ ｈｃｓ，
６２
为常量，此时， 不论是慢 走 还 是 快 跑， 在 确 定 长 度 的 路程内，人被雨水淋湿的程度一样．
图４
２．若人的行走速度小于风速， 则雨滴从人的后
背落向人体，如图 ４ 所示，风向和人的运动方向均向
左，设雨滴的下落方向与铅直线的夹角为 β，雨滴相
所以，人走完确定的路程 ｓ 身体接收的雨水总量
为（ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα）ｃｖ合·ｔ
＝ ［（ｖ人
－
ｖ雨 ｓｉｎβ）ｈ ｖ合
＋
ｖ雨（
ｃｏｓβ ｖ合
）
ｂ
］
ｃｖ
合
·ｓ ｖ人
＝ （ｖ人
ｈ
－
ｖ雨
ｈｓｉｎβ
＋
ｖ雨
ｂｃｏｓβ）ｃ· ｓ ｖ人
＝
［ｈ
＋
ｖ雨 （ ｂｃｏｓβ ｖ人
－
ｈｓｉｎβ ） ］ ｃｓ． （ ｖ人
如图 ２，设风向向右，人以 ｖ人 的速度在雨中匀速
向左逆风行走，若雨滴相对地面的下落速度为 ｖ雨，
下落轨迹与铅直线夹角为 β，ｖ合 是雨滴相对于人的
速度，α 为 ｖ合 与铅直线的夹角，由图 ２ 可知
ｓｉｎα
＝
ｖ雨
ｓｉｎβ ｖ合
＋
ｖ人 ，ｃｏｓα
＝
ｖ
雨
ｃｏｓβ ｖ合
．
所以，人在雨中逆风而行，走完确定的路程 ｓ 所
上式中，除人行走的速度 ｖ人 为变量外，其余各
量均 为 常 量， 由 该 式 可 以 看 出，ｖ人 越 大， 式 子
éëêê
ｖ雨 ｖ人
（
ｈｓｉｎβ
＋
ｂｃｏｓβ）
＋
ｈùûúú ｃｓ
的值越小， 所以， 下雨
天逆风而行时， 人走得越快， 通过 同样的路程， 身体
接受的雨水总量会越少（ 不计人的前后厚度，上式中
中学数学杂志 ２０１４ 年第 ５ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
慢走与快跑，淋湿的程度相同吗
安徽省太和县宫集镇中心学校 ２３６６５２ 王伟民 王家栋 江苏省扬州市邗江区蒋王中学 ２２５１２６ 孟庆庭
ｖ２人 ＋ ｖ２雨 （ ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα） ｃ·ｖｓ人 ＝ １ ＋ ｃｏｔ２α （ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα）ｃｓ ＝ （ｈｓｉｎα ＋ ｂｃｏｓα）ｃｓ
ｓｉｎα ＝ （ｈ ＋ ｂｃｏｔα）ｃｓ． 因为 ｈ，ｂ，ｃ，ｓ 均为常量，人在雨中走得越快，角 α 就越大，ｃｏｔα 就越小，所以，走完同样长的路程，人