2024年广东省东莞市东莞外国语学校中考二模数学试题

2024年广东省东莞市东莞外国语学校中考二模数学试题
一、单选题
1．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A ． 科克曲 B ． 笛卡尔心形线
C ． 赵爽弦图
D ． 斐波那契螺旋线 2．中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，仅元旦3天假期，哈尔滨机场共运送旅客约20.5万人次，哈尔滨市累计接待游客约304.79
万人次，旅游总收入约59.14亿元，均达到历史峰值，其中“20.5万”用科学记数法表示为（ ）
A ．42.0510⨯
B ．52.0510⨯
C ．62.0510⨯
D ．420.510⨯ 3．若一个多边形的内角和是540︒，则该多边形的边数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 4．二次函数()224y x =+-的顶点坐标是（ ）
A ．()2,4--
B ．()2,4-
C ．()2,4-
D ．()2,4
5．如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则代数式2024a b --的值为（ ）
A ．2023-
B ．2023
C ．2024
D ．2025
6．下列运算正确的是（ ）
A ．623m m m ÷=
B ．22(21)41x x +=+
C ．326(3)9m m -=-
D ．34722a a a ⋅=
7．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE V ，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．70︒
C ．75︒
D ．80︒
8．如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x =
的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）
A ．20x -<<或2x >
B ．<2x -或02x <<
C ．<2x -或2x >
D ．20x -<<或02x <<
9．菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角α的取值范围宜为60120α︒≤≤︒（如图2），亮亮选购了如图2所示的伸缩衣架，已知图中每个菱形的边长为15cm ，则其拉伸长度AB 的适宜范围是（ ）
A ．3045A
B ≤≤
B ．45AB ≤≤
C ．45AB ≤≤
D ．30AB ≤≤
10．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，CD P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ．设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点B 运动到点A 时，
经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段AB 的长为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题
11．分解因式：228a -=．
12．函数y x 的取值范围是．
13．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是．
14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，8AB =，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交BC 于点E ，则弧DE 的长为．
15．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上一点，连接AM ，将AM 绕点A 逆时针旋转90︒得AN ，连接MN 交AD 于E 点，连接DN ．则下列结论中：①ABM ADN △≌△；②
ND BD ⊥；③MAE DNE ∠=∠；④22MN ED AD =⋅；⑤当AD MD =时，
则2AEN MED
S S =△△其中正确结论的序号是．
三、解答题
16．解不等式组()5323143x x x x ⎧-≤-⎪⎨+<⎪⎩
①②，并写出它的所有整数解． 17．先化简，再求值：2222112411x x x x x x x ⎛⎫-+--÷ ⎪-++⎝⎭
，其中3x =． 18．如图所示，在三角形ABC 中，D 是AC 上的一点．
(1)以AD 为一边，在三角形ABC 内求作∠ADE ，使∠ADE ＝∠B ，DE 交AB 于点E （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB ＝4，AD ＝1，BC ＝3，求DE 的长．
19．第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．“跳水”是学生喜欢的运动项目之一，为了解学生对“跳水”知识的了解程度，某学校从200名喜欢“跳水”运动的学生中随机抽取了50学生进行了测试，将他们的成绩（百分制）分成五组，绘制成如下频数直方图．
(1)已知90100x ≤≤这组的数据为91、95、97、94、92、98、92，92．则这组数据的中位数是______，众数是______；
(2)根据题中信息，如果这200名喜欢“跳水”运动的学生全部进行测试，估计学生成绩在7090x ≤≤的总人数；
(3)学校想要从成绩在5060x ≤≤的4名学生中随机抽取2名同学谈谈观感，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表法或树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
20．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
21．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S ，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s ．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y 轴的正方向，现要使其移动到点A （2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P （6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C 为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）
22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上的一点，D 为劣弧»BC
的中点，过点D 作⊙O 的切线与AC 的延长线交于点P ，与AB 的延长线交于点F ，AD 与BC 交于点E ．
(1)求证：BC PF ∥；
(2)若⊙O DE ＝1，求AE 的长度；
(3)在（2）的条件下，求DCP V 的面积．
23．在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W 上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x 轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W 的“美好矩形”．例
如：如图1，已知ABC V ，矩形ADEF ，AD x ∥轴，点B 在DE 上，点C 在EF 上，则矩形ADEF
为ABC V 的美好矩形．
(1)如图2，矩形ABCD 是函数()211y x x =-≤≤图象的美好矩形，求出矩形ABCD 的面积；
(2)如图3，点A 的坐标为()1,4，点B 是函数()40y x x
=>图象上一点，且横坐标为m ，若函数图象在A
B 、之间的图形的美好矩形面积为9，求m 的值；
(3)对于实数a ，当a x a ≤≤+2y bx =+图象的美好矩形恰好是面积为3，且
一边在x轴上的正方形，请求出b的值．。