重庆城南中学高二数学理上学期期末试卷含解析

重庆城南中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题：，命题：若为假命题，则实数的取值范围为( )
A． B．或 C． D．
参考答案：
D
略
2. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积
为 ____________cm3．
参考答案：
略
3. 已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）
A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．
【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），
∴[（x+1）?f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）?f（x）在（0，+∞）上是增函数，
由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：
（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），
即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），
∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，
故选：A．
4. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（ mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）
A．20 B．21 C．22 D．23
参考答案：
C
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：
①被3除余2，
②被5除余2，
最小两位数，
故输出的n为22，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
5. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为（）
A． B.
C. D.
参考答案：
B
6. 用数学归纳法证明1+时，由n=k到
n=k+1左边需要添加的项是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
7. 下列选项中与点位于直线的同一侧的是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=
（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．
参考答案：
B
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；
方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．
【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：
3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．
解法二：（正弦定理）由=，得： =，
∴sinB=，
∵b＜a，∴B=，从而C=，
∴c2=a2+b2=4，∴c=2．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．
9. 已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（）
A．（，5）B．（，5）C．（，25）D．（5，25）
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3x2+2bx+c，
∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，
∴f′（x）=3x2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即，
在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，
（b+）2+（c﹣3）2表示点A（﹣，3）与可行域内的点连线的距离的平方，
点A（﹣，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，
由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（﹣4.5，6），与点A（﹣，3）的距离为5，
∴（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25），
故选：D．
10. 已知函数若存在，则实数的取值范围为（）
A．B． C．
D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，，则=___________．
参考答案：
12. 已知函数f（x）=ax2+bx﹣1图象上在点P（﹣1，3）处的切线与直线y=﹣3x平行，则函数f（x）的解析式是．
参考答案：
f（x）=﹣x2﹣5x﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用函数的导数求出切线的斜率，然后利用函数经过的点，代入求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx﹣1，可得f′（x）=2ax+b，函数f（x）=ax2+bx﹣1图象上在点P（﹣1，3）处的切线与直线y=﹣3x平行，
可得：，解得a=﹣1，b=﹣5．
所求的函数的解析式为：f（x）=﹣x2﹣5x﹣1．
故答案为：f（x）=﹣x2﹣5x﹣1；
13. 焦点在轴上，＝3，＝5的双曲线的标准方程为____________。

参考答案：
略
14. （5分）（2014秋?郑州期末）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．
参考答案：
9
【考点】：基本不等式．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．
解：∵x，y均为正数，且+=，
∴=，整理可得xy=x+y+3，
由基本不等式可得xy≥2+3，
整理可得（）2﹣2﹣3≥0，
解得≥3，或≤﹣1（舍去）
∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，
故答案为：9
【点评】：本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．
15. 4男3女站成一排照相，要求男女各不相邻，则共有种不同的站法。

参考答案：
144
16. 椭圆＋=1的离心率 e =, 则k的值是
参考答案：
4或－
17. 若，，且，则的最小值是 .
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线与圆相交于点和点。

（1）求圆心所在的直线方程；
（2）若圆的半径为1，求圆的方程。

参考答案：
略
19. （14分）如图所示的多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.
(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；
(2)求多面体ABC－A1B1C1的体积。

(3)（此问理科学生做）求二面角A—A1C1—B1的余弦值。

参考答案：
(1)设线段A1B1的中点为E，连接OE，C1E.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB，
又BB1∥AA1且AA1＝BB1，
所以AA1B1B是矩形．
又点O是线段AB的中点，
所以OE∥AA1，所以OE⊥A1B1…….2分
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，A1A⊥BC.
又BB1∥AA1∥CC1，
所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC，
且AC＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，CC1＝2，
所以A1C1＝B1C1，所以C1E⊥A1B1. …..4分
又C1E∩OE＝E，
所以A1B1⊥平面OC1E，因为OC1?平面OC1E，所以OC1⊥A1B1….6分
（2）将此图补全为一个正三棱柱，则V ABC－A1B1C1=16—= (10)
分
（3）设AB1的中点为M，连接C1 M
可证C1M⊥平面ABB1A1，连接A1M，可证AB1⊥平面A1C1M
过A作AH⊥A1C1，连接B1H，可证∆AHB1为二面角A—A1C1—B1的
平面角。

………12分
求得AH=B1H=，AB1=4
由余弦定理知cos∆AHB1=-……14分
20. 已知，求数列的前n项和
参考答案：
略
21. 设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
参考答案：
略
22. （14分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）已知，问：曲线C上是否存在点P满足？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
【专题】计算题；探究型；函数思想；转化思想；平面向量及应用；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率k AC，k BC，通过．求出动点C的轨迹方程．
（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程联立，求出交点坐标即可．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）（x≠﹣3），（x≠3）
又，∴
化简整理得（x≠±3）
（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足
∴
联立方程组，解得
∴存在四个点满足条件，它们是：，，
，（14分）
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力．。