八年级数学上册全等三角形

八年级数学上册全等三角形
一、全等三角形的概念。

1. 定义。

- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果△ABC经过平移、旋转、翻折等变换后能与△DEF完全重合，那么△ABC和△DEF就是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，其中A与D、B与E、C与F是对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。

2. 全等三角形的性质。

- 全等三角形的对应边相等。

即若△ABC≌△DEF，则AB = DE，BC = EF，AC = DF。

- 全等三角形的对应角相等。

即若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B = ∠E，∠C=∠F。

- 全等三角形的周长相等，面积相等。

因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长（三边之和）相等；又因为它们可以完全重合，所以它们所覆盖的区域大小（面积）也相等。

二、全等三角形的判定。

1. SSS（边边边）判定定理。

- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 证明思路：可以通过构造辅助线，利用三角形的稳定性来证明。

比如将两个三角形的对应边重合，然后证明它们能够完全重合。

2. SAS（边角边）判定定理。

- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，那么△ABC ≌△DEF。

- 证明思路：可以通过平移、旋转等变换，将相等的角重合，然后证明两个三角形完全重合。

3. ASA（角边角）判定定理。

- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，那么△ABC ≌△DEF。

- 证明思路：利用角的相等关系，通过平移等操作，使相等的边和角重合，从而证明两个三角形全等。

4. AAS（角角边）判定定理。

- 内容：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，那么△ABC ≌△DEF。

- 证明思路：根据三角形内角和为180°，将AAS转化为ASA来证明。

因为已知两角相等，那么第三个角也相等，从而满足ASA的条件。

5. HL（斜边、直角边）判定定理（适用于直角三角形）
- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

- 例如，在Rt△ABC和Rt△DEF中，如果AC = DF（斜边），AB = DE（直角边），那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

- 证明思路：可以利用勾股定理求出另一条直角边也相等，从而转化为SSS来证明。

三、全等三角形的应用。

1. 证明线段相等。

- 当要证明两条线段相等时，如果这两条线段分别是两个全等三角形的对应边，那么可以通过证明这两个三角形全等得出线段相等的结论。

- 例如，已知在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，求证AC = BD。

- 证明：在△ABC和△DCB中，因为AB = CD，BC = CB（公共边），AD = BC，所以△ABC≌△DCB（SSS），则AC = BD（全等三角形的对应边相等）。

2. 证明角相等。

- 同理，当要证明两个角相等时，如果这两个角分别是两个全等三角形的对应角，那么可以通过证明这两个三角形全等得出角相等的结论。

- 例如，已知在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的平分线，求证∠B = ∠C。

- 证明：在△ABD和△ACD中，因为AB = AC，∠BAD = ∠CAD（AD是角平分线），AD = AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（SAS），则∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。

3. 测量距离。

- 在实际生活中，可以利用全等三角形的原理来测量一些难以直接测量的距离。

- 例如，要测量池塘两端A、B的距离。

可以在池塘外取一点C，连接AC并延长到点D，使CD = AC，连接BC并延长到点E，使CE = BC，连接DE。

- 因为在△ABC和△DEC中，AC = DC，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等），BC = EC，所以△ABC≌△DEC（SAS），则AB = DE，从而通过测量DE的长度就得到了AB的距离。