东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷

东北三省精准教学2024年12月高三联考
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数
（i 为虚数单位），则|z |＝A ．2
B
C
D ．1
2．已知，则“”是“”的A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，且，则A ．3
B
C ．
D ．4．已知函数（，
，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A ．直线是f （x ）图象的一条对称轴3i
12i
z -=
+x ∈R πsin 12x ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
sin 0x =()2,6a =- (),4b x x =+ a b P |23|a b -=
()()sin f x A x ωϕ=+x ∈R 0A >0ω>π
||2
ϕ<5π
6
x =
B ．f （x ）图象的对称中心为，
C ．f （x ）在区间上单调递增
D ．将f （x ）的图象向左平移
个单位长度后，可得到一个偶函数的图象5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，，，，则A ．2
B
C
D ．3
6．已知等比数列的前n 项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d 的等差数列，则d ＝A ．2
B ．3
C ．
D ．7．已知双曲线C ：的右焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分
别交于P ，Q 两点．点P 为线段FQ 的中点，且
，则双曲线C 的离心率为
A
B C ．2
D ．3
8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，且，，则A ．-2
B ．-3
C ．
D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知，，且，则下列不等式恒成立的有A ．
B ．
C ．
D ．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，，
E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，折叠后点A 的对应点为A′，使得，连接A′B ，A′C ，则下列说法正确的是
ππ,06k ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
k ∈Z ππ,36⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦π
12
1AA '=2AB =π
3
BAA '∠=
||AC '= {}n a n S 12n n a S +-=*
n ∈N 2a 4a 5272
22
221x y a b
-=0OP FQ ⋅=
()()()()111f x f x f x f x +-=++()12f =()2024f =1312
0a b c >>>,,a b c ∈R 2a b +=4
4
a b >1ab <20252024a c >2
11
bc c +>+60BAD ∠=︒A DE BCDE '⊥平面平面
A ．D 到平面A′BC
B ．四面体A′-CDE 的外接球表面积为8π
C
．BC 与A′D 所成角的余弦值为
D ．直线A′B 与平面A′CD
11．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当时，，且f （x ）的图象关
于点（1，1）中心对称，则下列说法正确的是A ． B ．直线
与f （x ）图象有8个交点C ．是周期为2的周期函数
D ．方程
所有根的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知等差数列，，则________．13．已知集合，，且的非空子集的个数
为3，则整数b 的一个可能取值为________．
14．已知函数，若恒成立，则a 的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的周长为18，b ，c ，a 成递增的等差数列，．点D ，E 和F 分别在BC ，AC 和AB 上，满足，，．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）求证：AD ，BE 和CF 三线交于一点K ．16．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，
，，
，，点E 是PC 的中点．3401x ≤≤()()13f x x ωω=<<3π4ω=
65
y x =()()g x f x x =-()6f x =1369{}n a 1523a a a +=+7S =(){}2
2,|25,0A x y x
y x =
+=≥(){},|0B x y x y b =-+=A B ()()()e ln 0x
f x a ax a a =-+>()f x a >1
cos 5
A =
AB BD AC CD +=+BC CE BA AE +=+CA AF CB BF +=+PA PD ==
CD =3AC =π
2
ABC ADC ∠=∠=
PAD ABCD ⊥平面平面
（1）证明：；
（2）当时，求二面角P-BC-A 的余弦值．
17．（15分）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．Q 市基于大数据测算
城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午12点的城市活力度为20，是工作日内活力度的最高值；24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．（1）分别求m ，n 的值；
（2）求该工作日内，Q 市活力度不大于10的总时长．18．（17分）已知函数，其中，是自然对数的底数，f （x ）是g （x ）的导函数．
（1）当时，求曲线在点（1，g （1））处的切线方程；（2）当f （x ）存在极值时，证明：f （x ）的极值小于或等于1．19．（17分）记数列的前n 项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）记数列的前n 项和为．（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
东北三省精准教学2024年12
月高三联考数学
PA PCD ⊥平面BE PAD 平面P ()()
()
1256,612,12e ,1224n t mt m t M t M t --+-⎧⎪=⎨⋅<⎪⎩≤≤≤()2
e 2
x
a g x x =+
a ∈R e 2.71828= 1a =()y g x ={}n a n S ()21n n S a =-{}n a πcos 3n n a ⎧
⎫
⎨⎬⎩
⎭
n T n T |1|n n T a +≤
参考答案及解析
1．【答案】C
【解析】，
故选：C ．2．【答案】A 【解析】因为，所以，即，，则．当时，，，，则．故“”是“”的充分不必要条
件．故选：A ．3．【答案】B
【解析】由可得，解得，故，故
故选：B ．4．【答案】D
【解析】由图易知，，得．因为，，所以．
因为点在曲线上，所以，所以，又，所
以，，所以函数f （x ）图象的对称轴应满足，得，，故直线不是f （x ）图象的一条对称轴，选项A 错误；由，得，，函数f （x ）图象的对称中心为，，选项B 错误；由，，得，，当时，()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-||z ==πsin 12x ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
cos 1x =2πx k =k ∈Z sin 0x =sin 0x =πx k =k ∈Z cos 1x =±πsin 12x ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭πsin 12x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭sin 0x =a b
P ()624x x =-+1x =-()()()2322,631,31,3a b -=---=- |23|a b -=
= 2A =1
πππ
43124
T =
-=πT =2π
T ω
=
0ω>2ω=π,212⎛⎫
⎪⎝⎭
()ππ22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π3k k ϕ=+∈Z π||2ϕ<π3ϕ=
()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭()ππ2π32x k k +=+∈Z ππ122k x =
+k ∈Z 5π6
x =π2π3x k +=ππ62k x =-+k ∈Z ππ,062k ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
k ∈Z πππ2π22π232k x k -
+++≤≤k ∈Z 5ππ
ππ1212
k x k -++≤≤k ∈Z 0k =
，选项C 错误；将f （x ）的图象向左平移个单位长度后得，平移后的函数是偶函数，选项D 正确．故选：D ．5．【答案】B
【解析】在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，，，，可得在侧面ABB′A′中，，故，．
故选：B ．6．【答案】B
【解析】因为，所以当时，，两式相减得，即
，所以公比为2，，又当时，，得，所以等比数列的通项
公式为，，所以，，公差为．故选：B ．7．【答案】C
【解析】方法一：，且P 为线段FQ 的中点，，，直线FQ 的
方程为，与渐近线方程联立，得Q 的坐标，，化简可得即，双曲线C 的离心
率．
方法二：因为P 为FQ
中点，，所以，又直线OP 与直线OQ 分别为双曲线C
的两条渐近线，得
，所以，故．
故选：C
．
5ππ
1212
x -
≤≤π
12ππ2sin 22cos 2123y x x ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1AA '=2AB =π
3
BAA '∠=
1A B ''=AC AA A C AA A B B C '''''''''=+=++
||||AC AA A B B C ''''''=++= =
=12n n a S +-=2n ≥12n n a S --=()110n n n n a a S S +----=12n n a a +=212a a =1n =212a a -=12a ={}n a 2n n a =*
n ∈N 24a =416a =4212
344
a a d -===0OP FQ ⋅= OP FQ ∴⊥
||||OF OQ c ==()a y x c b =--b y x a =-22222,a c abc a b
a b ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭||OQ c ∴==()
2
42222
a a
b a b +=-22
3a b =2e ==OP FQ ⊥POF POQ ∠=∠π3POF ∠=πtan 3
b a ==2e ==
8．【答案】C
【解析】因为，所以当时，，又，所以．又由，可得
，
所以，
，函数f （x ）是以4为周期的函数，所以
．
故选：C ．9．【答案】ABC
【解析】对于A ，，恒成立，选项A 正确；
对于B ，由基本不等式可得，因为，所以取不到等号，即，选项B 正确；
对于C ，由，，可得，由指数函数性质易得
，选项C 正确；
对于D ，令
，，，选项D 错误．故选：ABC ．
()()()()111f x f x f x f x +-=++0x =()()()()10110f f f f -=+()12f =()1
03
f =
()()()()111f x f x f x f x +-=++()()
()
111f x f x f x ++=
-()()()()()()
()()()
()11111121111111f x f x f x f x f x f x f x f x f
x +
+++-
+=++==
=-+-+--
()()()()()
()11
4221
2f x f
x f x f
x f x +=++=-=-=+-()()1
202403
f f ==0a b >>4
4
a b >21a b ab +=⇒≥≤0a b >>1ab <0a b c >>>2a b +=210a b c >>>>>202512024a c >>12
b =2
c =-2
11bc c +<+
10．【答案】BCD
【解析】因为菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以，即将△ADE 沿DE 折起后，，
，
又，，，所以，则EB ，ED ，EA′两两垂直，
以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA′所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Exyz ，则
A′（0，0，1），B （1，0，0），，，，，
，．
对于A ，设平面A′BC 的法向量为，取，，D 到平面A′BC 的距离为，选项A 错误；对于B ，取CE 中点F ，连接DF ，，，过F 作直线，则四面体A′-CDE 的外接球球心O 在直线l 上，设，该外接球的半径为R ，由
，得
，解得，，四面体A′-CDE 的外接球的表面积为，选项B 正确；
对于
C ，BC 与A′D
所成角的余弦值为，选项C 正确；对于D ，设平面A′CD 的法向量为，取，
，，选项D 正确．故选：BCD ．11．【答案】ACD
【解析】对于A ，f （x
）的图象关于点（1，1）中心对称，，当时，
，又，，选项A 正确；DE AB ⊥EB ED ⊥EA ED '⊥A DE BCDE '⊥平面平面A DE BCDE DE '= 平面平面BE BCDE ⊂平面BE A DE '⊥平面()C ()D ()1,0,1A B '=- ()
BC = ()
1A D '=-
()2,0,0DC = ()111,,n x y z = 11110,
0,
n A B x z n BC x ⎧'⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
1y =()
3,n = ||||A D n d n '⋅===
DE DC ⊥ 12FE FD FC CE ∴===
==
l CDE ⊥平面OF t =OD OA R '==()2
277144t t +=+-12t =R ==2
4π8πS R ==||33
cos ,224||||A D BC BC A D A D BC '⋅'===⨯'
()222,,m x y z = 2220,
20,m A D z m DC x ⎧'⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
21y =(m = ||cos ,||||m A B m A B m A B '⋅'===
'
()()112f x f x ∴++-=0x =()11f =1ω=13ω<<3
π4
ω∴=
对于B ，因为f （x ）为R 上的奇函数，且（0，0）为直线与f （x ）图象的一个交点，所以直线与f （x ）图象交点为奇数个，选项B 错误；对于C ，由f （x ）的图象关于点（1，1）中心对称，
，，，
，所以是周期为2的周期函数，选项C
正确；
对于D ，因为f （x ）为R 上的奇函数，所以当时，，由g （x ）的周期为2，可得，函数图象如图所示，当时，令
解得，当时，f （x ）有最小值，因为函数f （x ）为奇函数且图象关于（1，1） 中心对称，所以图象也关于（-1
，-1）中心对称，当，
对称，所以当时，所有根的和为，结合正弦型函数的周期性和f （x ）的图象，所有根的和为，选项D 正确．故选：ACD ．
12．【答案】21
65y x
=6
5
y x =()()112f x f x ∴++-=()()22f x f x ∴=
-+()()()()22g x f x x f x x =-=---()()()()()222g x f x x f x x g x +=+-+=-=()()g x f x x =-()1,1x ∈-()3π
4
f x x =
()()22f x f x +-=()1,1x ∈-()f x =29x =-23x =-
()2,1x ∈--()f x =43x =-()
2,0x ∈-()f x =42262399⎛⎫
-⨯+-=- ⎪⎝⎭
()6f x =261366399-+⨯=
【解析】设等差数列的公差为d ，由，可得，即
，．
故答案为：21．
13．【答案】-5/-6/-7（写出一个即可得满分）
【解析】由可知其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含（0，±5）），如图，
，
的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点，当直线经过点（0，-5）时，
，解得
（舍），故．故整数b 的可能取值为-5，
-6，-7．
故答案为：-5/-6/-7（写出一个即可得满分）．14
．【答案】（0，1）
【解析】由题意，得，恒成立即，恒成立．
，恒成立，化简可得，，
，，
令，，故g （x ）单调递增，
，，令，，当时，，当时，，时，h （x ）取最大值，
，即．
故答案为：（0，1）．
15．【答案】（1），，（6分）
（2）证明见解析（7 分）
{}n a 1523a a a +=+11143a a d a d ++=++1433a d a +==()1747
4
7277212
2
a a a S a
+⨯⨯====()2
2
250x y x +=≥A B y x b =+5b =-5=b =-b =5b -<-≤1x >-()f x a >()e ln x
a ax a a -+>0a >()e ln x
a ax a a -+> 0a >()e ln 1x
ax a a
-+>0a >()()()ln e ln ln 110x a x a x x a -∴+->+++>()
()()ln 1ln e ln e
ln 10x x a x a x a +-∴+->++>()e x
g x x =+()e 10x
g x '=+>()()ln ln 10x a x a ∴->+>()ln ln 1a x x ∴->+-()()ln 1h x x x =+-()1
x h x x '=-
+()1,0x ∈-()0h x '>()0,x ∈+∞()0h x '<0x ∴=()max 0h x =ln 0a ∴->01a <<7a =5b =6c =
【解析】（1）因为△ABC 的周长为18，所以，由于b ，c ，a 是递增的等差数列，故，所以，①，
又②，
由①②，解得，，．
（备注：推导出①得3分，否则按考点给分；推导出②得1分；联立①②得出a ，b ，c 得2分）（2）由题意可得，，，
所以，，
设BE 和CF 交于点K ，由B ，K ，E 三点共线，得，
由C ，K ，F 三点共线，得，
所以解得所以，
又，所以，
所以AD 过点K ，即AD ，BE 和CF 三线交于一点K ．
（备注：按考点给分，漏步骤相应扣分；可使用建系方法解题，过程酌情给分）16．【答案】（1）证明见解析（6分）
（2
（9分）【解析】（1）由勾股定理，，满足，所以．
因为，，，，所以，
又，所以．
18a b c ++=2a b c +=6c =()12a b a b +=>2221cos 52b c a A bc
+-==7a =5b =6c =3BD AE ==4CD AF ==2BF CE ==23AF AB = 35
AE AC =
()()11113115AK t AB t AE t AB t AC =+-=+-
()()22222113
AK t AF t AC t AB t AC =+-=+-
()12122,3311,5t t t t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩12
4,92,
3t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
4193
AK AB AC =+ 4377AD AB AC =+ 97
AD AK =
2
2
2
4AD AC CD =-=2
2
2
PA PD AD +=PA PD ⊥PAD ABCD ⊥平面平面PAD ABCD AD = 平面平面CD ABCD ⊂平面CD AD ⊥CD PAD ⊥平面PA PAD ⊂平面PA CD ⊥
因为，且，所以．
（备注：证明得2分，证明得3分，证明得1分）（2）方法一：取AD 的中点O ，作交BC 于M ，连接OP ，则，
因为，，，所以
，以O 为原点，OA ，OM ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系
Oxyz ，
所以A （1，0，0），P （0，0，1），，，设B （a ，b ，0），，，
则，，，．易知平面PAD 的一个法向量为，因为，
所以，解得．
因为，所以，解得或（舍），即．
设平面PBC 的一个法向量为，
则令，得，，可得，易知平面ABC 的一个法向量，
则，
因为二面角P-BC-A 为锐二面角，所以二面角P-BC-A 的余弦值为
．（备注：建系给1分，写出点的坐标给1分，计算出平面PBC 的法向量给4分，求出二面角的余弦值给3分，过程酌情给分）
方法二：取AD 的中点O ，连接OP 和OC ，再取OC 的中点Q ，连接QE ，在平面ABCD 内过点Q 作BC 的垂线，垂足为点N ，连接EN ，因为，且O 是AD 的中点，所以．
,PD CD PCD ⊂平面PD CD D = PA PCD ⊥平面PA PD ⊥PA CD ⊥PA PCD ⊥平面OM
CD P OP AD ⊥PAD ABCD ⊥平面平面PAD ABCD AD = 平面平面OP PAD ⊂平面OP ABCD ⊥
平面()
C
-1122E ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
0a >0b
>11,22EB a b ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1,,0AB a b =-
()1,CB a b =+
()
1,CP = ()0,1,0e =
BE PAD 平面P 0EB e ⋅=
b =AB BC ⊥0AB CB ⋅= 32a =32a =
-5,2
CB ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭ (),,m x y z =
0,0,
m CP m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
0,
50,2x z x ⎧-+=⎪
⎨-
=⎪⎩1x
=y =4z
=()
4m = ()0,0,1n =
cos ,||||
m n m n m n ⋅==⋅
PA PD =PO AD ⊥
又，，，所以．
因为EQ 是△POC 的中位线，则，
所以．
因为，所以．
因为，，且，所以．又，所以，由二面角的平面角的定义可知，∠ENQ 即为二面角P-BC-A 的平面角．连接BQ ，并延长BQ 交CD 于点T ．由，，，所以．
当时，，且，所以．由平面与平面平行的性质定理可知．
记AC 交BT 于F ，因为点Q 是OC 的中点，，所以F 是AC 的中点，
由此可知，，因为，所以，且．由，可知，由
得
，所以，
，因此
，PAD ABCD ⊥平面平面PAD ABCD AD = 平面平面
PO PAD ⊂平面PO ABCD ⊥平面EQ PO P EQ ABCD ⊥平面BC ABCD ⊂平面BC EQ ⊥BC QN ⊥,QN EQ ENQ ⊂平面QN EQ Q = BC ENQ ⊥平面EN ENQ ⊂平面BC EN ⊥EQ
PO P PO PAD ⊂平面EQ PAD ⊄平面EQ PAD 平面P EB PAD 平面P ,EQ EB EBQ ⊂平面EQ EB E = EBQ PAD 平面平面P TE
AD P TE AD P 115
222
BT FT BF AD AC =+=
+=2BQ =AD CD ⊥BT CD ⊥CT DT ==
222
CT BT BC +=BC =
BTC BNQ △∽△QN CT BQ BC =QN =11
22
EQ PO =
=tan EQ ENQ QN ∠==cos ENQ ∠=
所以二面角P-BC-A
．（备注：分析出∠ENQ 为二面角给3分，分析出给2分，计算出∠ENQ 的余弦值给3分，过程
酌情给分）
17．【答案】（1），（6分） （2）14小时（9分）【解析】（1）由正午12点的城市活力度为20，知，代入数据得，解得，24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，故，代入数据得，解得．（2）由（1）知当时，令，解得，当时，令
，，解得，故一日内只有时活力度大于10，即该工作日内有14个小时活力度不大于10．
（备注：（1）问求得m 给3分，求得n 给3分；（2）问求出给2分，求出给5分，答案给2分）
18．【答案】（1）（6分） （2）证明见解析（11分）【解析】（1）对g （x ）求导可得，当时，，故，，故曲线在点（1，g （1））处的切线方程为，
TB AD P 52m =
ln 2
6
n =()1220M =125620m m +-=5
2
m =
()()2465M M ==12520e
n
-=ln 2
6
n =
()()ln 2126
5
10,612,
220e
,1224.t t t M t t --⎧-⎪=⎨
⎪⋅<⎩≤≤≤612t ≤≤()10M t ≤[6,8]t ∈1224t <≤()10M t ≤)ln 2
112ln 6
21
e
e 2
t -
-=≤()ln 2112ln 62t --≤[18,24]t ∈818t <<[6,8]t ∈[18,24]t ∈()1
e 12
y x =+-
()e x
f x ax =+1a =()e x
f x x =+()1e 1f =+()1
1e 2
g =+
()y g x =()()()111y g f x -=-
化简得．（备注：求导给1分，求出切线方程给3分，化简给2分）（2）由第（1）问得，求导得，
当时，f （x ）单调递增，故f （x ）不存在极值，
当时，存在，使得，且，
此时在上，，f （x ）单调递减，在上，，f （x ）单调递增，此时f （x ）存在极值，
由计算得，
设，，则，当时，，，当时，，所以当时，h （a ）取得最大值，
故，即f （x ）的极值小于或等于1．
（备注：讨论极值存在情况得5分，未讨论扣2分；构造函数给1分，求最大值给3分，答案给1分）
19．【答案】（1），（7分） （2）（ⅰ），（7分）；（ⅱ）证明见解析（3分）
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，所以，即，是首项和公比均为2的等比数列，，．
（备注：求时的值得2分，求出公比得2分，写出的通项公式得3分）（2）方法一：（ⅰ）由，()1e 12
y x =+-
()e x
f x ax =+()e x
f x a '=+0a ≥0a <0x ∈R ()00f x '=()0ln x a =-()0,x -∞()0f x '<()0,x +∞()0f x '>()0f x ()()()
()
()()ln 0ln e
ln ln a f x f a a a a a a -=-=+-=-+-()()ln h a a a a =-+-0a <()()()()1ln 1ln a
h a a a a
'=-+-+-=--1a <-1a ->()()ln 0h a a '=->10a -<<()()ln 0h a a '=-<1a =-()()11ln11h a h -=-=≤()0f x 2n
n a =*
n ∈
N ()11π2sin 13
n n n T ++=
-*
n ∈N 1n =()1121S a =-12a =2n ≥()1121n n S a --=-()()112121n n n n S S a a ---=---12n n a a -={}n a 2n n a =*
n ∈N 1n =1a {}n a (
)1π1ππsin
sin 3
2
3
3
n n n +=+
得，故．
（ⅱ）因为，故．（备注：（ⅰ）三角恒等变换拆分给2分，移项构造裂项相消得到
给5分；（ⅱ）证明给3分）方法二：（ⅰ）设数列的通项公式为，则，当n 为6的倍数时，
当n 除6余1时，，当n 除6余2时，，
当n 除6余3时，，当n 除6余4时，，当n 除6余5时，，综上所述：
（ⅱ）（备注：过程酌情给分）
()1
1πππ2cos
2sin 2sin 333n
n n n n n ++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
()1
1π2sin 13
n n n T ++=
-()1πsin
3
n ⎧+⎪∈⎨
⎪⎩
()1π|3n n n n T a a ++≤n T πcos 3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
n
b π2cos 3n
n n b =()()()()612612678125463122221
n n n n n n T b b b b b b b b b ---=+++++++++++=++++=- 121n n n n T T b -=+=-11n n n T T b -=+=-121n n n n T T b -=+=--121n n n n T T b -=+=--11n n n T T b -=+=-1,6164,
21,6263,
21,66 5.n n n n n n T n n n n n n -=--⎧⎪
=--=--⎨⎪-=-⎩
或或或0,6164,
|1|2,62636 5.
n n
n n n T n n n n =--⎧+=⎨=---⎩或或或|1|n n
T a ∴+≤。