一类半线性周期问题单侧全局区间分歧和定号解
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数学物理学报
２ ０ １ ７ ， ３ ７ Ａ（ ５ ） ： ９ ０ ２ ９ １ ６ ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类半线性周期 问题单侧全 局区间分歧和定号解
沈文 国
（ 兰州工业学院基础 学科部 兰州 ７ ３ ０ ０ ５ ０ ）
ｘ （ Ｏ ） ＝ （ ） ， （ ０ ） ＝Ｘ ｔ （ ） ，
其中 厂≠ ０是一个参数， ｑ ， ａ∈ （ ［ ０ ， ］ ， （ ０ ， 。 Ｏ ） ） ， ， ∈ｃ ［ ｏ ， ］ ， ｚ ＝ｍ ａ ｘ ｛ ｘ ， ０ ） ， ｚ 一＝ ｍ ｉ ｎ ｛ ｘ ， ０ ｝ ； ，∈ｃ（ ｓ ， 碾 ） ， 当ｓ ≠ ０时， ｓ ｆ （ ｓ ） ＞ ０成立 ，并且 ｆ ｏ ∈［ ０ ， 。 。 ） 且 ∈（ ０ ， 。 。 ） 或ｆ ｏ∈［ ０ ， Ｏ ０ ］ 且 ＝ ０ ， 其中 ｆ ｏ ＝． １ ｍ ｆ （ ｓ ） ／ ｓ ， ＝． ， ｌ ｆ （ ｓ ） ／ ｓ ．
摘要：首先建立 一类含不可微非线性项周期 问题 的单侧全局 区间分歧定理．应用上述定理，可 以证 明一类半线性周期问题 主半特征值的存在性． 进 而， 可研 究下列半线性周 期问题定号解 的 存在性
一
பைடு நூலகம்
＋ｑ （ 亡 ） ｚ＝ａ 十＋ 一＋ｒ ｎ （ ｔ ） ， （ ｚ ） ， ０＜亡 ＜Ｔ ，
（ ｉ ）线性 特征值 问题 ２ Ｃ ＋ｑ （ ｔ ） ｘ＝Ａ ａ （ ｔ ） ｘ ， ０＜ｔ ＜Ｔ ｘ （ ｏ ） ＝ （ ） ， Ｘ ／ （ ０ ） ＝Ｘ ／ （ ）
－
（ １ ． ２ ）
存在 一列 正特征 值
０ ＜ Ｉｏ ＜ 入１ ２ ＜ １３ ・ ・ ・ ；
Ｎｏ ． ５
沈文 国 ：一类 半 线性周 期 问题单 侧全 局 区间分 歧和 定号解
９ ０ ３
其 中 是 一个 参数 且 ａ和 ｑ满足 （ Ｈ １ ） ａ∈ （ ［ ０ ， ， （ ０ ， 。 。 ） ） ； （ Ｈ ２ ）ｑ ∈ｃ （ ［ ０ ， ， （ ０ ， 。 。 ） ） ． 同时， Ｆ＝ｆ＋ｇ ， 其中 ，和 ｇ 在 ［ ０ ， Ｔ 】 × 上连续且满足
一
１ Ｉ — ’
１ Ｉ — 一 ÷ 十
关键 词：单侧全局区间分 歧；半线性 问题；定号解 ；周期 问题．
Ｍ Ｒ（ ２ ０ １ ０ ）主题分类： ３ ４ Ｂ ０ ９ ； ３ ４ Ｃ １ ０ ； ３ ４ Ｃ ２ ３ 中图分类号：Ｏ １ ７ ５ 文献标识码： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ５ — ９ ０ ２ — １ ５
一
＋ｑ （ ） ＝ 。 （ ） ＋Ｆ（ ， ， ） ， ０＜ ＜ ，
ｘ （ Ｏ ） ＝ （ Ｔ ） ， ｘ ｔ （ ０ ） ＝Ｘ ｔ ） ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — １ ２ — ２ ４ ； 修订 日期： ２ ０ １ ７ — ０ ５ — １ ８
Ｅ— ｍ ａｉ ｌ ：ｓ ｈ ｅ ｎ ｗｇ ３ ６ ９＠ １ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
非 线性 项在原 点均 是可 微 的．
１ ９ ７ ７ 年， Ｂ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｙ ｃ ｋ ｉ ［ ｏ ］ 研 究 了一类 含不 可微 非线性 项 的二 阶问题并 且建 立 了一类 重要 的区 间分 歧 定理 ． Ｓ ｃ ｈ ｍｉ ｔ ｔ和 Ｓ ｍｉ ｔ ｈ 提 升了文 献 ｆ ２ ０ １ 中 的结 果 ．最近 ， Ｍａ和 Ｄａ ｉ ［ ］ 建 立 了一 类含 不可微 非线 性项 的二 阶边 值 问题 单 侧全 局分 歧结 果 ．随后 ， Ｄ ａ ｉ 等 ［ ２ ３ － ２ ４ ］ 考 虑 了相 似 于文献 ［ ２ ２ ］ 的 区间分歧 问题 ， Ｄａ ｉ 和 Ｍａ ［ ２ ５ Ｊ 亦考 虑 了相似 的高 维 问题 ． 受 上述 文献 启发 ，本 文将研 究 下列周 期 问题
１ 引言
近 年来 ，一些 学者 研 究 了周 期 问题 ［ １ － １ ０ ］ ．另 有一 些学 者 应用 锥上 不 动点理 论研 究了周 期 问题 ［ １ １ － １ ５ ］ ． 同时 ，应 用分 歧技 巧 ， Ｍａ等 ［ １ ６ － １ ８ ］ 研 究了二 阶周期 边值 问题 解 的存 在性 问 题．２ ０ １ ２年 ， Ｄａ ｉ 等［ １ ９ ］ 建立 了一类 周期 边值 问题 单侧全 局分 歧结 果 ．然 而，以上文 献 中，
（ １ １ ）
．
基金项 目：国家 自然科学基金 （ １ １ ５ ６ １ ０ ３ ８ ） 和 甘肃 省 自 然科学基金 （ １ ４ ５ ＲＪ Ｚ Ａ ０ ８ ７ ） Ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ（ １ １ ５ ６ １ ０ ３ ８ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｓ ｅ （ １ ４ ５ Ｒ Ｊ Ｚ Ａ ０ ８ ７ ）
（ ｉ ｉ ）假如 ０＜ ＜ ０ 则 问题 （ １ ． ２ ） 没有非 平凡解 ；
（ Ｈ ３ ）对 ∈ 【 ０ ， 】 ， ∈ ， ０ ＜
１ ， 都有 ｌ
Ｉ
成 立， 其中 是一 个正 常
数； （ Ｈ ４ ） 对 ｔ∈［ ０ ， ］ ， 在有界 集 中 ，在 ＝０附近 ，都 有 ９ （ ， Ｘ ， ） ＝ｏ （ Ｉ ｘ １ ） 一 致成立 ． 当 Ｐ：２时 ， 由文 献 ［ １ ９ ， 定理 ２ ． ３ ， 定理 ３ ． １ ］ 可得 引理 １ ． １ 假设 （ Ｈ１ ） 和 （ Ｈ２ ） 成 立．可得 如 下结果 ．
２ ０ １ ７ ， ３ ７ Ａ（ ５ ） ： ９ ０ ２ ９ １ ６ ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类半线性周期 问题单侧全 局区间分歧和定号解
沈文 国
（ 兰州工业学院基础 学科部 兰州 ７ ３ ０ ０ ５ ０ ）
ｘ （ Ｏ ） ＝ （ ） ， （ ０ ） ＝Ｘ ｔ （ ） ，
其中 厂≠ ０是一个参数， ｑ ， ａ∈ （ ［ ０ ， ］ ， （ ０ ， 。 Ｏ ） ） ， ， ∈ｃ ［ ｏ ， ］ ， ｚ ＝ｍ ａ ｘ ｛ ｘ ， ０ ） ， ｚ 一＝ ｍ ｉ ｎ ｛ ｘ ， ０ ｝ ； ，∈ｃ（ ｓ ， 碾 ） ， 当ｓ ≠ ０时， ｓ ｆ （ ｓ ） ＞ ０成立 ，并且 ｆ ｏ ∈［ ０ ， 。 。 ） 且 ∈（ ０ ， 。 。 ） 或ｆ ｏ∈［ ０ ， Ｏ ０ ］ 且 ＝ ０ ， 其中 ｆ ｏ ＝． １ ｍ ｆ （ ｓ ） ／ ｓ ， ＝． ， ｌ ｆ （ ｓ ） ／ ｓ ．
摘要：首先建立 一类含不可微非线性项周期 问题 的单侧全局 区间分歧定理．应用上述定理，可 以证 明一类半线性周期问题 主半特征值的存在性． 进 而， 可研 究下列半线性周 期问题定号解 的 存在性
一
பைடு நூலகம்
＋ｑ （ 亡 ） ｚ＝ａ 十＋ 一＋ｒ ｎ （ ｔ ） ， （ ｚ ） ， ０＜亡 ＜Ｔ ，
（ ｉ ）线性 特征值 问题 ２ Ｃ ＋ｑ （ ｔ ） ｘ＝Ａ ａ （ ｔ ） ｘ ， ０＜ｔ ＜Ｔ ｘ （ ｏ ） ＝ （ ） ， Ｘ ／ （ ０ ） ＝Ｘ ／ （ ）
－
（ １ ． ２ ）
存在 一列 正特征 值
０ ＜ Ｉｏ ＜ 入１ ２ ＜ １３ ・ ・ ・ ；
Ｎｏ ． ５
沈文 国 ：一类 半 线性周 期 问题单 侧全 局 区间分 歧和 定号解
９ ０ ３
其 中 是 一个 参数 且 ａ和 ｑ满足 （ Ｈ １ ） ａ∈ （ ［ ０ ， ， （ ０ ， 。 。 ） ） ； （ Ｈ ２ ）ｑ ∈ｃ （ ［ ０ ， ， （ ０ ， 。 。 ） ） ． 同时， Ｆ＝ｆ＋ｇ ， 其中 ，和 ｇ 在 ［ ０ ， Ｔ 】 × 上连续且满足
一
１ Ｉ — ’
１ Ｉ — 一 ÷ 十
关键 词：单侧全局区间分 歧；半线性 问题；定号解 ；周期 问题．
Ｍ Ｒ（ ２ ０ １ ０ ）主题分类： ３ ４ Ｂ ０ ９ ； ３ ４ Ｃ １ ０ ； ３ ４ Ｃ ２ ３ 中图分类号：Ｏ １ ７ ５ 文献标识码： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ５ — ９ ０ ２ — １ ５
一
＋ｑ （ ） ＝ 。 （ ） ＋Ｆ（ ， ， ） ， ０＜ ＜ ，
ｘ （ Ｏ ） ＝ （ Ｔ ） ， ｘ ｔ （ ０ ） ＝Ｘ ｔ ） ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — １ ２ — ２ ４ ； 修订 日期： ２ ０ １ ７ — ０ ５ — １ ８
Ｅ— ｍ ａｉ ｌ ：ｓ ｈ ｅ ｎ ｗｇ ３ ６ ９＠ １ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
非 线性 项在原 点均 是可 微 的．
１ ９ ７ ７ 年， Ｂ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｙ ｃ ｋ ｉ ［ ｏ ］ 研 究 了一类 含不 可微 非线性 项 的二 阶问题并 且建 立 了一类 重要 的区 间分 歧 定理 ． Ｓ ｃ ｈ ｍｉ ｔ ｔ和 Ｓ ｍｉ ｔ ｈ 提 升了文 献 ｆ ２ ０ １ 中 的结 果 ．最近 ， Ｍａ和 Ｄａ ｉ ［ ］ 建 立 了一 类含 不可微 非线 性项 的二 阶边 值 问题 单 侧全 局分 歧结 果 ．随后 ， Ｄ ａ ｉ 等 ［ ２ ３ － ２ ４ ］ 考 虑 了相 似 于文献 ［ ２ ２ ］ 的 区间分歧 问题 ， Ｄａ ｉ 和 Ｍａ ［ ２ ５ Ｊ 亦考 虑 了相似 的高 维 问题 ． 受 上述 文献 启发 ，本 文将研 究 下列周 期 问题
１ 引言
近 年来 ，一些 学者 研 究 了周 期 问题 ［ １ － １ ０ ］ ．另 有一 些学 者 应用 锥上 不 动点理 论研 究了周 期 问题 ［ １ １ － １ ５ ］ ． 同时 ，应 用分 歧技 巧 ， Ｍａ等 ［ １ ６ － １ ８ ］ 研 究了二 阶周期 边值 问题 解 的存 在性 问 题．２ ０ １ ２年 ， Ｄａ ｉ 等［ １ ９ ］ 建立 了一类 周期 边值 问题 单侧全 局分 歧结 果 ．然 而，以上文 献 中，
（ １ １ ）
．
基金项 目：国家 自然科学基金 （ １ １ ５ ６ １ ０ ３ ８ ） 和 甘肃 省 自 然科学基金 （ １ ４ ５ ＲＪ Ｚ Ａ ０ ８ ７ ） Ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ（ １ １ ５ ６ １ ０ ３ ８ ）ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｓ ｅ （ １ ４ ５ Ｒ Ｊ Ｚ Ａ ０ ８ ７ ）
（ ｉ ｉ ）假如 ０＜ ＜ ０ 则 问题 （ １ ． ２ ） 没有非 平凡解 ；
（ Ｈ ３ ）对 ∈ 【 ０ ， 】 ， ∈ ， ０ ＜
１ ， 都有 ｌ
Ｉ
成 立， 其中 是一 个正 常
数； （ Ｈ ４ ） 对 ｔ∈［ ０ ， ］ ， 在有界 集 中 ，在 ＝０附近 ，都 有 ９ （ ， Ｘ ， ） ＝ｏ （ Ｉ ｘ １ ） 一 致成立 ． 当 Ｐ：２时 ， 由文 献 ［ １ ９ ， 定理 ２ ． ３ ， 定理 ３ ． １ ］ 可得 引理 １ ． １ 假设 （ Ｈ１ ） 和 （ Ｈ２ ） 成 立．可得 如 下结果 ．