2023-2024学年湖北省A9高中联盟高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省A9高中联盟高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x＞1，log2x＞0”的否定是（）
A．∃x＞1，log2x＞0B．∃x＞1，log2x＜0
C．∃x≤1，log2x≤0D．∃x＞1，log2x≤0
2．若α是第四象限角，则点P（sinα，cosα）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设集合M＝{x|﹣2＜x＜6}，集合N＝{0，2，4，6}（）
A．3B．4C．7D．8
4．已知函数，则f（f（﹣1））＝（）
A．2B．3C．﹣3D．5
5．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f（1﹣x）（）
A．B．（﹣1，）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）
6．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定（）
A．第一种B．第二种C．都一样D．不确定
7．已知函数f（x）＝2﹣|x|，g（x）＝x2，设函数，则下列说法错误的是（）
A．L（x）是偶函数B．函数L（x）有两个零点
C．L（x）在区间（﹣1，0）上单调递减D．L（x）有最大值，没有最小值
8．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，Q的角速度大小为5rad/s，起点为角，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A．（cos，sin）B．（cos，sin）
C．（﹣cos，﹣sin）D．（﹣cos，sin）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要
求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．下列四个命题为真命题的是（）
A．p：所有平面四边形的内角和都是360°
B．q：∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
10．图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，则下列说法正确的是（）
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
11．若函数f（x）的图象是连续的，且函数f（x）（0，4），（0，2），（1，），（，）内，则与f（0）符号不同的是（）
A．B．f（2）C．f（1）D．
12．对于函数，则下列判断正确的是（）
A．f（x）在定义域内是奇函数
B．∀x1，x2∈（0，2），x1≠x2，有
C．函数f（x）的值域为[4，+∞）
D．对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数y＝ln（x2﹣2+a）的图象恒过（0，0），则a＝．
14．已知，则＝．
15．已知x＞，则x+的最小值为．
16．定义域为R的函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x）1＜x2＜2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒
成立，设，则a，b，c的大小关系为．（从大到小排列）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）化简或计算下列各式．
（1）；
（2）．
18．（12分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），求：
（1）cosα﹣sinα的值；
（2）求的值．
19．（12分）已知幂函数（m∈N*）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减．（1）求m和k的值；
（2）求满足（2a+1）﹣m＜（3﹣2a）﹣m的实数a的取值范围．
20．（12分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC后构成的）．已知OA＝10米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧，圆心角为θ弧度．
（1）求θ关于x的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a．
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥0；
（2）已知g（x）＝mx+7﹣3m，当a＝3时1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求正实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln|a+|+b是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
2023-2024学年湖北省A9高中联盟高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x＞1，log2x＞0”的否定是（）
A．∃x＞1，log2x＞0B．∃x＞1，log2x＜0
C．∃x≤1，log2x≤0D．∃x＞1，log2x≤0
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“∀x＞1，log2x＞4”的否定是∃x＞1，log2x≤2．
故选：D．
2．若α是第四象限角，则点P（sinα，cosα）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：若α是第四象限角，则sinα＜0，所以点P（sinα，cosα）在第二象限．
故选：B．
3．设集合M＝{x|﹣2＜x＜6}，集合N＝{0，2，4，6}（）
A．3B．4C．7D．8
解：依题意M∩N＝{0，2，2}，所以子集个数为23＝8．
故选：D．
4．已知函数，则f（f（﹣1））＝（）
A．2B．3C．﹣3D．5
解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝1+4＝2，则f（f（﹣1））＝．
故选：A．
5．已知函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f（1﹣x）（）
A．B．（﹣1，）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）
解：函数f（2x﹣1）的定义域为（﹣8，2），则﹣3＜2x﹣1＜3，
故函数f（x）的定义域为（﹣3，3），
令﹣3＜4﹣x＜3，解得﹣2＜x＜8．
故选：C．
6．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定（）
A．第一种B．第二种C．都一样D．不确定
解：设此种商品的价格分别为p1，p2（都大于4），第一种方案每次购买这种物品数量为x＞0．
可得：第一种方案的平均价格为：＝；第二种方案的平均价格为＝＝
7＝p2时取等号．
∴第二种购物方式比较经济．
故选：B．
7．已知函数f（x）＝2﹣|x|，g（x）＝x2，设函数，则下列说法错误的是（）
A．L（x）是偶函数B．函数L（x）有两个零点
C．L（x）在区间（﹣1，0）上单调递减D．L（x）有最大值，没有最小值
解：在同一直角坐标系中，画出函数f（x）＝2﹣|x|2的图象，
从而得函数图象
对于A，∵函数L（x）图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，根据零点的定义结合函数L（x）的图象知，分别为±8，0；
对于C，从函数L（x）图象观察得L（x）在区间（﹣1，故C正确；
对于D，从函数L（x）图象观察得L（x）有最大值，故D正确．
故选：B．
8．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速
度大小为2rad/s，Q的角速度大小为5rad/s，起点为角，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A．（cos，sin）B．（cos，sin）
C．（﹣cos，﹣sin）D．（﹣cos，sin）
解：点Q的初始位置Q1，锐角，
设t时刻两点重合，则，即，
此时点，
即，（k∈N），
当k＝5时，，故A正确；
当k＝1时，，即，故C正确；
当k＝7时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，
故选：ACD．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．下列四个命题为真命题的是（）
A．p：所有平面四边形的内角和都是360°
B．q：∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
解：所有平面四边形的内角和都是360°，故A正确；
x2+2x+6＝（x+1）2+5≥1，故B错误；
令x＝，满足x为无理数，但x2还是无理数，故C正确；
当a＝0时，|a|＝7．
故选：AC．
10．图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，则下列说法正确的是（）
A．图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
解：图①中点A的实际意义表示门票收入为0时，收支差额为1万元，选项A正确；
图①中点B的实际意义表示当游客人数为8.5万人时，收支差额为0，选项B正确；
图②中虚线的斜率更大，即与原来相比，收入更大，选项C错误；
图③中虚线与y轴的交点纵坐标比原来的大，即减少了投入的成本费用．
故选：ABD．
11．若函数f（x）的图象是连续的，且函数f（x）（0，4），（0，2），（1，），（，）内，则与f（0）符号不同的是（）
A．B．f（2）C．f（1）D．
解：根据题意，因为函数f（x）有唯一零点，）上，
又因为零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号，
即f（0）与f（2）、f（；
故选：BD．
12．对于函数，则下列判断正确的是（）
A．f（x）在定义域内是奇函数
B．∀x1，x2∈（0，2），x1≠x2，有
C．函数f（x）的值域为[4，+∞）
D．对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有
解：对于A，f（﹣x）＝﹣f（x），
故f（x）为奇函数，故A正确；
对于B，在（0，故B正确；
对于C，当x＞4时，
当且仅当时取得等号，
当x＜0时，
当且仅当时取得等号，
所以f（x）的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，故C错误；
对于D，对任意x1，x3∈（0，+∞）且x1≠x8，
＝，∴
，
而，
故，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数y＝ln（x2﹣2+a）的图象恒过（0，0），则a＝3．
解：根据题意，函数y＝ln（x2﹣2+a）的图象恒过（7，0），
则有ln（a﹣2）＝8，即a﹣2＝1．
故答案为：3．
14．已知，则＝．
解：＝＝．
故答案为：．
15．已知x＞，则x+的最小值为+．
解：∵x＞，
∴4x﹣1＞0
∴x+＝++≥2+＝+，
当且仅当＝，即x＝，故则x+的最小值为+．
故答案为：+．
16．定义域为R的函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x）1＜x2＜2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设，则a，b，c的大小关系为b＞a＞c．（从大到小排列）
解：因为函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝6成轴对称，因为当x1＜x2＜5时，x2﹣x1＞4，由[f（x2）﹣f（x1）]（x7﹣x1）＞0，则f（x8）﹣f（x1）＞0，即f（x4）＞f（x1），
所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，+∞）上单调递减，
由a＝f（1）＝f（4﹣1）＝f（3），
由e2＜10＜3.53＜e7，根据函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增；
由，根据函数y＝3x在R上单调递增，则．
由函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则．
故答案为：b＞a＞c．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）化简或计算下列各式．
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝．
（2）原式＝．
18．（12分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），求：
（1）cosα﹣sinα的值；
（2）求的值．
解：（1）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），
则，，
则cosα﹣sinα＝＝；
（2）＝＝＝．
19．（12分）已知幂函数（m∈N*）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减．（1）求m和k的值；
（2）求满足（2a+1）﹣m＜（3﹣2a）﹣m的实数a的取值范围．
解：（1）（m∈N*）为幂函数，
则2k﹣1＝1，解得k＝7，
（m∈N*）在（7，+∞）上单调递减，
则m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜7，
又m∈N*，
则m＝1或2，
当m＝3时，f（x）＝x﹣4为偶函数，符合题意，
当m＝2时，f（x）＝x﹣6为奇函数，不符合题意，
综上所述，m＝1；
（2）由（1）可知，（2a+2）﹣m＜（3﹣2a）﹣m，即（2a+1）﹣1＜（8﹣2a）﹣1，
则4a+1＞3﹣7a＞0或3﹣6a＜2a+1＜4或2a+1＜5＜3﹣2a，解得，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（）．
20．（12分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC后构成的）．已知OA＝10米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧，圆心角为
θ弧度．
（1）求θ关于x的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
解：（1）根据题意，可算得弧BC＝x•θ（m）．
∴2（10﹣x）+x•θ+10θ＝30，
∴．
（2）依据题意，可知，
化简得：y＝﹣x2+5x+50＝．
∴当，（m2）．
答：当米时铭牌的面积最大平方米．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a．
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥0；
（2）已知g（x）＝mx+7﹣3m，当a＝3时1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求正实数m的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2﹣5x+2＝（x﹣2）（x﹣2），
不等式f（x）≥0为（x﹣2）（x﹣7）≥0，
所以x≤1或x≥4，
所以不等式的解集为（﹣∞，1]∪[2．
（2）当a＝5时，f（x）＝x2﹣4x+7，对称轴为x＝2，f（4）＝3，
所以对任意x7∈[1，4]3）∈[﹣1，3]，6]，
g（x）＝mx+7﹣3m，g（1）＝5﹣2m，
若m＞0，则x7∈[1，4]6）∈[7﹣2m，4+m]，7+m]，
对任意x1∈[5，4]2∈[3，4]1）＝g（x8）成立，即A是B的子集，
则7﹣2m≤﹣7且7+m≥3且m＞7，
解得m≥4，
所以正实数m的取值范围为[4，+∞）．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln|a+|+b是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f（x）≥0．
解：（1）因为函数满足1﹣x≠0且a+，
即x≠2且x，
又函数为奇函数，定义域关于原点对称，
故8+＝﹣1，即，
又因为f（0）＝0，所以b＝ln3，
故，
经检验符合题意；
证明：（2）任取﹣1＜x7＜x2＜1，则f（x）＝ln|，
则f（x2）﹣f（x1）＝ln﹣ln＝ln（5+）因为x2﹣x6＞0，1+x7＞0，1﹣x6＞0，
故，故f（x2）﹣f（x6）＞0，即f（x2）＞f（x7），
故函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
解：（3）由上知．，得，所以或，
解得x＞7或0≤x＜1，
考虑到x≠±6，
所以x的取值集合为{x|x≥0且x≠1}．。