初二数学—整式的乘法知识点归纳与练习
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解析《整式乘法》知识点
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作a n,读作a的n次方(幂),其中a为底数,n为指数,a n的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:a m﹒a n=a m+n。
4、此法则也可以逆用,即:a m+n = a m﹒a n。
5、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。
八、同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:a m÷a n=a m-n(a≠0)。
2、此法则也可以逆用,即:a m-n = a m÷a n(a≠0)。
十、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂,等于这个数的p次幂的倒数。注:在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
十一、整式的乘法
(一)单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。
2、系数相乘时,注意符号。
3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
(二)单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。即:m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。
(三)多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。即:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
十二、平方差公式
1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即:两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是单项式,也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用,即:a2-b2=(a+b)(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成
(a+b )•(a-b)的形式,然后看a 2与b 2
是否容易计算。
十三、完全平方公式
1、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2、公式中的a ,b 可以是单项式,也可以是多项式。 十四、整式的除法
(一)单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
练习:
一、幂的运算
经典例题
【例1】(正确处理运算中的“符号”)
【点评】由(1)、(2)可知互为相反数的同偶次幂相等;互为相反数的同奇次幂仍互为相反数.
【例3】()()1333--⋅+-m m 的值是( )
.. A 、1 B 、-1 C 、0 D 、()13+-m
【答案】C
【例4】(1)m m 8812÷+; (2)252m ÷(51)1-2m
【答案】(1)18m + ;(2)215n +
二、整式的乘法
【例1】(1)()()25434x y xy -= 。
(2)()2004200324-⨯= 。
【答案】(1)131716x y - ;(2)60102
【例2】()()22323225x y x y z xy z -⨯+= 。
【答案】74552420x y z x y z +
【例4】()72=+b a ,()42=b a —,求22b a +和ab 的值.
【答案】112,3
2
【例5】计算()()11a b a b +-++的值
【答案】2221a ab b ++-
【例6】已知:15a a +
=,则221a a
+= 。
三、因式分解
【例1】2
2424y x y xy x ++--有一个因式是y x 2-,另一个因式是( )
A .12++y x
B .12-+y x
C .12+-y x
D .12--y x
【答案】D
【例2】把代数式 322363x x y xy -+分解因式,结果正确的是
A .(3)(3)x x y x y +-
B .223(2)x x xy y -+
C .2(3)x x y -
D .23()x x y -
【答案】D
综合运用
一、 巧用乘法公式或幂的运算简化计算
【例1】 (1) 计算:1996199631()(3)103-
⋅。 (2) 已知3×9m ×27 m =321
,求m 的值。 (3) 已知x 2n =4,求(3x 3n )2-4(x 2) 2n 的值。
思路分析:(1)3131031103103
⨯=⨯=,只有逆用积的乘方的运算性质,才能使运算简便。(2)相等的两个幂,如果其底数相同,则其指数相等,据此可列方程求解。(3)此题关键在于将待求式(3x 3n )2-4(x 2) 2n 用含x 2n 的代数式表示,利用(x m )n =(x n )m 这一性质加以转化。
解:(1) 19961996199619963131()(3)(3)(1)1103103
-⋅=-⨯=-=.