a的秩和a的转置的秩的关系

a的秩和a的转置的秩的关系
原因如下：
设A是m×n的矩阵，可以通过证明Ax=0和A'Ax=0两个n元齐次方
程同解证得r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0肯定是A'Ax=0的解，好理解。

2、A'Ax=0→x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0。

故两个方程是同解的。

同理可得r(AA')=r(A')。

另外有r(A)=r(A')。

所以综上r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩阵的秩不等式
(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。

证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。

又因为矩阵的标准型是唯一的，所以
矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。

(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。

证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0
同解。

因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过
来也成立。

两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。