高考数学总复习第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

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＋
－
三角函数线
有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
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[小题体验] 1．若 θ 是第二象限角，且满足 sinθ2＜0，则θ2的终边在第
________象限．
答案：三 2．若角 α 的终边过点 P sin56π，cos56π，则 tan α＝________.
答案：－ 3
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐 标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α ＝y，cos α＝x，tan α＝xy，但若不是单位圆时，如圆的半 径为 r，则 sin α＝yr，cos α ＝xr，tan α＝xy.
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[小题纠偏]
1．－1 000°是第________象限角， α＝3 是第________象限
3．α 为第一象限角，则 sin α＋cos α________1.(填“＞” “＜”“＝”)
答案：＞
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必过易错关
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1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念 不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式 子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
象限角．
答案：二
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[通法在握] 定义法求三角函数的3种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数 值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐 标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据 三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
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角度二：三角函数值的符号判定
3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，
则点P(tan θ，sin θ)在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝
2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点
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2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，弧度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式
|α|＝rl(l 表示弧长)
角度与弧度的换算 弧长公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80° l＝_|_α_|r__
扇形面积公式
S＝
1 2lr
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[谨记通法] 1．终边在某直线上角的求法4步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．
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2．确定kα，αk(k∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围； (3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．
第四 章 三角函数、解三角形
第一 节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1. 下列命题中，真命题是
()
A．第一象限角是锐角
B．直角不是任何象限角
C．第二象限角比第一象限角大
D．三角形的内角一定是第一或第二象限角
解析：390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象
限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．
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考点三 三角函数的定义
题点多变型考点——多角探明
[锁定考向] 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解 内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现． 常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定．
[题点全练]
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角度一：三角函数定义的应用
1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－153，
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3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的 圆心角的弧度数为________．
2r＋l＝8， 解析：联立12lr＝4.
解得rl＝＝42，， 所以扇形的圆心角
的弧度数为|α|＝rl＝42＝2.
答案：2
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4．若扇形的圆心角α＝60°，半径R＝10 cm，求扇形的弧长l
及扇形的弧所在的弧形的面积．

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2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l
等于
()
43 A. 3 π cm C. 4 3 cm
83 B. 3 π cm D．8 3 cm
解析：设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝6r，
得r＝4 3 cm，
∴l＝|α|·r＝23π×4
3＝8
3 3π
cm.
答案：B
答案：－23
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2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝________.
解析：设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝ 5t|t|.
当t＞0时，cos θ＝ 55；
当t＜0时，cos
θ＝－
5 5.
因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35. 答案：－35
答案：C
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3．设集合 M＝xx＝k2
·180°＋45°，k∈Z ，N＝
xx＝k4
·180°＋45°，k∈Z ，那么 M________N．
(填“＝”“⊆”“⊇”)
解析：法一：由于 M＝xx＝k2
·180°＋45°，k∈Z
＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝xx＝k4
·180°＋45°，k∈Z
＝
12|α|r2
3.任意角的三角函数
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三角函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
定义
P(x，y)，那么
y 叫做 α 的正
x 叫做 α 的余
y x 叫做
α
的正
弦，记作 sin α 弦，记作 co二 三
＋ ＋ －
＋ － －
＋ － ＋
四
角，72°＝________rad.
答案：一
二
2π 5
2．如图所示，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于
点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的坐标是____________．
答案：(cos θ，sin θ)
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 角的集合表示及象限角的判定
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1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋
转到另一个位置所成的图形．
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为
正角 、 象限角
负角 、 零角 和轴线角.
.
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，
可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z }．
解：∵α＝60°＝π3，R＝10 cm，
∴l＝Rα＝10×π3＝103π cm.
设弧形的面积为S，则S＝12R2α－12R2sinπ3＝12×102×π3－
12×102× 23＝503π－25
3cm2.
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[谨记通法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长 三个量中的任意两个量．
边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，
则cos α的值为
()
A．45
B．－45
C．35
D．－35
解析：因为点A的纵坐标yA＝
4 5
，且点A在第二象限，又因
为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的
定义可得cos α＝－35.
答案：D
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“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二十)” (单击进入电子文档)
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4．终边在直线y＝ 3x上的角的集合为________________．
解析：在坐标系中画出直线y＝ 3x，可以发现 它与x轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y＝ 3x
上的角的集合为αα＝kπ＋π3，k∈Z
.
答案：αα＝kπ＋π3，k∈Z
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5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足sinα2
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考点二 扇形的弧长及面积公式
[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面
积为
()
A．40π cm2
B．80π cm2
C．40 cm2
D．80 cm2
解析：∵72°＝25π，
∴S扇形＝12|α|r2＝12×25π×202＝80π(cm2)．
答案：B
[演练冲关]
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋co1s α＝(
A.－15
37
37
B.15
C.20
13 D.15
解析：∵角α的终边经过点(3，－4)，
∴sin α＝－45，cos α＝35，
∴sin α＋co1s α＝－45＋53＝1135.
答案：D
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)
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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终
＝－sinα2，则α2是第________象限角．
解析：因为角α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋
3π 2
(k∈Z
)，所以kπ＋
π 2
＜
α 2
＜kπ＋
3π 4
(k∈Z
)，所以
α 2
是第二或
第四象限角．又因为 sinα2 ＝－sin α2 ，所以sinα2 ＜0，所以 α2 是第四象限角．
答案：四
P(tan θ，sin θ)在第二象限．
答案：B
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4．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第 ________象限角．
解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以
sin
θ·cos
θ＜0,2cos
θ＜0，即scions
θ＞0， θ＜0，
所以θ为第二
则sin1 α＋tan1 α＝________. 解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－153， ∴cos α＝ x－2＋x36＝－153，即x＝52或x＝－52(舍去)，
∴P －52，－6，∴sin α＝－1123，∴tan α＝csions αα＝152， 则sin1 α＋tan1 α＝－1132＋152＝－23.
＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，
显然有 M⊆N.
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法二：由于 M 中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°， 2k＋1 是奇数； 而 N 中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整 数，因此必有 M⊆N. 答案：⊆
答案：B
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2．若 α＝kπ－π4(k∈Z )，则 α 在
()
A．第一象限或第三象限 C．第二象限或第四象限
B．第一象限或第二象限 D．第三象限或第四象限
解析：当 k＝2m＋1(m∈Z )时，α＝2mπ＋34π，所以 α 在第
二象限；当 k＝2m(m∈Z )时，α＝2mπ－π4，所以 α 在第四
象限．故选 C.