陕西师范大学练习1
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陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（一）
一、单项选择题
1. 如果B A B A ⋃= ， 则 ( C )。
A.B A ⊂
B. B A ⊃
C. B A =
D. B A ≠
2.设}2,1,0{=S ，则S 上的等价关系有（ D ）个。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 指出下列运算（ C ）是对应集合的二元运算
A ．在有理数集Q 上，b
a b a = B. 在非零有理数集*Q 上，b a b a -= C. 在有理数集Q 上，b a b a -= D. 在非零有理数集*Q 上，22b a b a -=
4. 下列集合（A ）对运算b a =2-+b a 作成交换群。
A ．整数集Z B. 非零实数集*R C. 非零有理数集*Q D. 非零整数集*Z
5. 模6加群6Z 的生成元有（ A ）个。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.设),(*∙=R G ，下列（ B ）规则是群G 的自同态映射。
A.x x 2
B. 2x x
C. x x -
D. x
x 1- 7. 下面（ A ）环是非交换环。
A. ),),((∙+F M n
B. ),,(∙+Z
C. ),,(∙+m Z
D. 高斯整环
8. 设F 是域，且16||=F ，则F 的特征为（ A ）。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
9. 模12的剩余类环12Z 中，子环（ B ）无零因子。
A. }6,0{
B. }8,4,0{
C. }9,6,3,0{
D. }10,8,6,4,2,0{
10. 设R ，-R 是两个环，且-
R R ~，则下列命题中的错误的是（C ）。
A. 若R 是可换环，则-R 可换
B. 若R 有单位元，则-R 有单位元
C. 若R 无零因子，则-R 无零因子
D. 若a 是R 的逆元，则a 象是-R 逆元。
二、计算题
设5,S ∈τσ，其中)45)(123(=σ，
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2314554321τ。
1.求σ的周期; 2.求1-τστ及其周期;
3.将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。
提示：1．因为2))45((,3))123((==οο,且)123)(45()45)(123(=,1)3,2(= 故6))45)(123((=ο．
2. 1-τστ=((1)(2)(3))((4)(5))τττττ=(541)(32)=)23)(154(，1()τστ-=6;
3．)12)(13)(12)(15)(14()23)(154(1==-τστ.
三、计算与证明题
设3S 是三次对称群。
1. 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。
2. 证明3S 是阶数最小的不可换群。
提示：1.)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ;
2、利用拉格朗日定理及每个元素的平方是单位元是可换群，素数阶群一定是循环群。
四、证明题
假定～是一个群G 的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元y x a ,,来说，有ax ～x ay ⇒～y 。
证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。
提示：设H=[e],由于～是等价关系，故e ～e,即H e ∈----4分; H b a ∈∀,,则a ～e, b ～e 因而ae ～1-a , be ～b 1-b ,由题设可得e ～1-a , e ～1-b ,---10分; 由对称性及传递性得1-b ～1-a ,a a 1-1-b ～1-a e,再由题设得a 1-b ～e 即a 1-b H ∈,那么与G 的单位元e 等价的元所作成的集合G 的一个子群
五、证明题
设群G =)(a 且a 的周期是n .
证明:对n 的每一个正因子k ,有且只有一个k 阶子群。
六、证明题
设G 是一个阶大于1的群,证明：G 只有平凡子群当且仅当G 为素数阶循环群。
提示：充分性，由Lagrange 定理知，显然成立。
必要性，因为1||>G ，所以存在e a G a ≠∈,。
设)(a H =，则}{e H ≠，但是G H ⊆，由假设，G H =；若∞=||a ，则)(2a 是G 的非平凡子群，与假设矛盾；
若n a =||是合数，即21n n n =，1,121>>n n ，则2||1n a n =，从而)(1n a 是G 的非平凡子群与假设矛盾。
因此G 为素数阶循环群。
七、证明题(20分)
假定][x R 是整数环R 上的一元多项式。
1. 写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.
2. 证明: ),2(x 不是][x R 主理想.
3. 证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是][x R 的一个主理想.
4. )(x 是不是][x R 的最大理想?若R 是有理数域时,情形如何?
提示：1、),2(x 刚好包含所有多项式:)0,(,210≥∈+++n R a x a x a a i n n .
2、假定),2(x 是主理想,即))((),2(x p x =那么)),((2x p ∈))((x p x ∈,
因而 )()(),()(2x p x h x x p x q ==但由)()(2x p x q =,可得R a x p ∈=)(,即 1±=a , a x h x )(=这样),2()(1x x p ∈=±是矛盾的.
),2(x 含有单位元1,因此),2(x 等于主理想(1).
4. )(x 不是][x R 的最大理想,若R 是有理数域时, )(x 是][x R 的最大理想
八、写出20Z 的所有理想和最大理想。
答案：20Z 的理想：]]0{[1=H ，202Z H =，]}16[],12[],8[],4[],0{[3=H
]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H ，]}15[],10[],5[],0{[5=H ，]}10[],0{[6=H ； 20Z 的最大理想：]}15[],10[],5[],0{[5=H ，
]}18[],16[],14[],12[],10[],8[],6[],4[],2[],0{[4=H
九、证明：在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
提示：如果R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是无限大，那么结论成立；假定*R 中的某个元a 的阶是有限整数，而b 是环R 里任意不等于零的元，那么由0)()(==nb a b na 及R 是无零因子的环知0=nb ，所以b 的阶≤a 的阶，同理a 的阶≤b 的阶，即有a 的阶=b 的阶，从而结论得证。
十、证明：有理数域Q 是所有复数bi a +，其中b a ,是有理数，作成的域)(i R 的唯一的真子域。
答案：设F 是域)(i R 的一个真子域，由于有理数域Q 是最小数域，则F Q ⊆；若F Q ≠，则存在0,≠∈+b F bi a 。
于是F a bi a b i ∈-+=-))((1，所以)(i R F =矛盾，从而有理数域Q 是)(i R 的唯一的真子域。
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二、判断题
1、Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21到集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2、集合A 的一个等价关系决定A 的一个分类。
3、在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
4、任何一个子群都同一个变换群同构。
5、设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
提示：1、×， 2、√， 3、× 4、√ 5、 √
三、证明题
1、设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。
提示：证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，
且1±=⋅=B A AB ，故G AB ∈，即G 对乘法封闭。
结合律显然成立，且E 是G 单位元。
又设G A ∈，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵*A 也是整数方阵； 又,1±=A 故**-±==A A A
A 11，即1-A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作成一个群。
2、证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。
提示：：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设,G a ∈且a a =2，则有a a a a 121--= 即a=e, 即只有e 满足方程x x =2。
3、设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
提示：设∞=a ，则当n m ≠时，n m a a ≠，于是映射Φ：m a m →就是G=（a ）到整数
加群Z 的一个一一映射。
又n m a
a a n m n m +→=⋅+，故Φ是G 到Z 的同构映射。
即
G=（a ）与整数加群Z 同构。
4、设R 是一个有单位元1的环，R b a ∈,,证明：如果ab +1在R 中有逆元，则ba +1在R 中也有逆元。
提示：令c 是1+ab 的逆元，则有：c （1+ab ）=(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于是有： （1-bca ）(1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-b[c-1+cab]=1 同理有：（1+ba ）(1-bca)=1.即1-bca 是1+ba 的逆元。
5、证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。
提示：i ±±,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi 是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di ][i Z ∈使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a a b d c a =-2
又ad= –bc 代入前式有：（a c b a =+)(22，即)(22b a +|a
若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=1±,即i x ±=。
若0≠a ，则由)(22b a +|a 得b=0, a=1±,即x=1±,因此证得：Z[i] 的单位元只有i ±±,1。
四、解答题
1、{
}1003,2,1 =A ，找一个A A ⨯的一个满射。
解：A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{
),(:，就是一个A A ⨯到A 的一个满射。
2、设2R 为所有实数对),(y x 作成的集合，对运算),(),(),(d b c a d c b a -+= ，2R 能否构成 群，说明理由。
解：2R 不能作成群，因为所给运算不满足结合律，例：取)1,0(),0,0(),0,0(===c b a 则)1,0()1,0()0,0()(=-= c b a )1,0()1,0()0,0()(-== c b a
c b a c b a )()(≠ 即结合律不成立，不能作成群。
3、设H 是G 的一个非空子集，且H H =2
1）H 是否为G 的一个子群？
2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。
提示：解1）H 不一定是群G 的子群，例： G=Z Z m m ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101为整数域。
对矩阵普通乘法作成一个群，而 H=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 101,1021,1011,1001n 为G 的一个非空子集，易知有H H =2，但 H 不是G 的子群，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1011在H 中没有逆元。
2）当H 有限时，则H 是G 的子群。
任取H b a ∈,，由于H H
=2，而H H ab =∈2 即H ab ∈即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。
4、设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域？ 提示：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵
02122≠⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A ，属于R 但0=A ，故A 在R 中没有逆元，从而R 不能作成域，但是当F 为有理数域时，R 可以作成域。
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二、判断题
1、Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21到集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。
2、集合A 的一个等价关系决定A 的一个分类。
3、在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
4、任何一个子群都同一个变换群同构。
5、设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。
提示：1、×， 2、√， 3、× 4、√ 5、 √
三、证明题
1、设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。
提示：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且
1±=⋅=B A AB ，故G AB ∈，即G 对乘法封闭。
结合律显然成立，且E 是G 单位元。
又设G A ∈，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵*A 也是整数方阵； 又,1±=A 故**-±==A A A
A 11，即1-A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作成一个群。
2、证明：在群G 中只有单位元满足方程x x =2。
提示：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设,G a ∈且a a =2，则有a a a a 121--= 即a=e, 即只有e 满足方程x x =2。
3、设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
提示：设∞=a ，则当n m ≠时，n m a a ≠，于是映射Φ：m a m →就是G=（a ）到整数
加群Z 的一个一一映射。
又n m a
a a n m n m +→=⋅+，故Φ是G 到Z 的同构映射。
即
G=（a ）与整数加群Z 同构。
4、设R 是一个有单位元1的环，R b a ∈,,证明：如果ab +1在R 中有逆元，则ba +1在R 中也有逆元。
提示：令c 是1+ab 的逆元，则有：c （1+ab ）=(1+ab) c=1 或：c-1+cab=c-1+abc=0,于是有： （1-bca ）(1+ba)=1-bca+ba-bcaba=1-b[c-1+cab]=1 同理有：（1+ba ）(1-bca)=1.即1-bca 是1+ba 的逆元。
5、证明：高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ，i ±。
提示：i ±±,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi 是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di ][i Z ∈使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1) 从而 a a b d c a =-2 又ad= –bc 代入前式有：
（a c b a =+)(22，即)(22b a +|a 若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=1±,即i x ±=。
若0≠a ，则由)(22b a +|a 得b=0, a=1±,即x=1±,因此证得：Z[i] 的单位元只有i ±±,1。
四、解答题
1、{}100
3,2,1 =A ，找一个A A ⨯的一个满射。
提示：A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{),(:，就是一个A A ⨯到A 的一个满射。
2、设2R 为所有实数对),(y x 作成的集合，对运算),(),(),(d b c a d c b a -+= ，2R 能否构成 群，说明理由。
提示：2R 不能作成群，因为所给运算不满足结合律，例：取)1,0(),0,0(),0,0(===c b a 则)1,0()1,0()0,0()(=-= c b a )1,0()1,0()0,0()(-== c b a
c b a c b a )()(≠ 即结合律不成立，不能作成群。
3、设H 是G 的一个非空子集，且H H
=2 1）H 是否为G 的一个子群？
2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。
提示：1）H 不一定是群G 的子群，例： G=Z Z m m ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101为整数域。
对矩阵普通乘法作成一个群，而 H=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 101,1021,1011,1001n 为G 的一个非空子集，易知有H H =2，但 H 不是G 的子群，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1011在H 中没有逆元。
2）当H 有限时，则H 是G 的子群。
任取H b a ∈,，由于H H
=2，而H H ab =∈2
即H ab ∈即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。
4、设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加
法和乘法是否作成环或域？
提示：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵
02122≠⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A ，属于R 但0=A ，故A 在R 中没有逆元，从而R 不能作成域，但是当F 为有理数域时，R 可以作成域。
陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（四）
一、判断题
1. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
（ √ ）
2. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ × ）
3. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ √ ）
4. 环R 的中心一定是环R 的理想。
（ × ）
5. 除环的子环也是除环。
（× ）
二、计算题
设6S ∈σ，其中⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=261453654321σ。
1. 将σ分解成不相交轮换的乘积；2. σ求的周期； 3. 求1-σ。
提示：1、σ)25)(26)(13)(14()256)(134(==；
2、3)(=σ ；
3、1-σ
)265)(143(=。
三、证明题
若G 群的每一个元都适合方程e x =2。
证明:G 是交换群。
提示：G a ∈∀,因e a =2,而e aa =-1,故12-=aa a ,由消去律知a a =-1；
任取G b a ∈,则有11,--==b b a a ,又ba a b ab ==---111)(,但G ab ∈,
故ab ab =-1)(进而, ba a b ab ab ===---111)(，即G 是交换群.
四、证明题
假定群G 的元a 的周期是n .证明:
r a 的周期是d
n ,这里),(n r d =是r 和n 的最大公 因子。
其次,若有自然数m ,使得e a m r =)(,则e a m
r =,故rm n |,----6分
又d r n =),(,故有整数t s 、,使得td r sd n ==,,且1),(=t s ,那么tdm sd |,即tm s |,但
五、证明题 证明：阶是素数的群一定是循环群。
提示：因1>p ,故存在G a ∈,a 的周期为1>m ；又p m |,而p 是素数,则p m =,即)(a G =.
六、证明题
假定G 和-G 是两个群,并且ϕ是G 到-
G 的同态满射。
1. 证明ϕker 是群G 的正规子群；
2. 证明ϕ是同构映射当且仅当ϕker =}{e 。
提示：先证ϕker 非空， 其次证ϕker 是子群；
最后证ϕker 的不变性。
2、只证ϕ是单射即可。
七、证明题
一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。
提示：由于R 中乘法消去律成立，则),(*⋅R 是有限半群，--5分；进而*R 关于乘法仍满足消去律，故*R 关于乘法是一个群，从而R 是除环。
八．设有理数域F 上的全部22⨯矩阵环为22F .证明: 22F 只有零理想同单位理想,但不是一个除环.
提示：设N 是22F 的一个理想并且}0{≠N ,那么N 含有2阶矩阵0≠A .-2分 若A 的秩是2,那么A 有逆1-A ,而N E A A ∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-10011
,此时22F N =；-5分 若A 的秩是1,则存在可逆矩阵Q P 和,使得N PAQ ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0001,又 N ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000011000010110，因此E =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000001,
因而也有22F N =,这就是说22F 只有零理想同单位理想,；但
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010000001,
所以22F 又零因子,因而22F 不是一个除环.
九、环R 叫Boole 环是指R a a a ∈∀=,2。
证明：每个Boole 环都是交换环并且R a a a ∈∀=+,0。
答案：a a a a R a -=-==∈∀22)(,，所以R a a a ∈∀=+,0；
由于b a ba ab b a b a R b a +=+++=+∈∀222)(,,，即有ba ab ba ab ==+,0。
十、3Z 是模3的剩余类所作成的集合。
找出加群3Z 的所有自同构映射，再找出域3Z 的所
有自同构映射。
答案：对加群3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元，所以有2个自同构映
射,;2,1,0,:1=→i i i φ 12,21,00:2→→→φ.
对域3Z 的自同构映射，自同构映射必保持零元和单位元，所以有1个自同构映射,;2,1,0,:1=→i i i φ
陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（五）
1． 2。
D 3。
D 4。
A 5。
C 6。
B
1. 如果C A B A C A B A ==,， 则（C ）。
A.C B ⊂
B. C B ⊃
C. C B =
D. C B ≠
2. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射个数有（D ）。
A. 9
B. 6
C. 12
D. 27
3. 指出下列那些运算是二元运算（D ）。
A ．在整数集Z 上，ab b a b a += B. 在有理数集Q 上，ab b a =
C.在正实数集+R 上，b a b a ln =
D.在集合{}
0≥∈n Z n 上，b a b a -= 4. 下面是交换半群，但不是群的是（ A ）。
A. ),(+N
B. ),(+Q
C. ),(*+Z , 其中是非零整数集合
D. ),(+C
5. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ C ）。
A. 111)(---=b a ab
B. 222)(---=b a ab
C. 若e a =2，则1-=a a
D.ba ab =
6.精确到同构, 4阶群有( B )个。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 以下命题中，正确的是( B )。
A. 任意一个环R ，必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同
8.6Z 的所有子环是（ D ）。
A. }4,2,0{},3,0{},0{
B. 6},0{Z
C. 6},3,0{},0{Z
D. 6},4,2,0{},3,0{},0{Z
9.在高斯整环][i Z 的下面理想中是素理想的是（D ）。
A. )5(
B. (2)
C. )9(
D. )3(
10.数环Z 中,n 的相伴元是（C ）。
A. 只有n
B. 只有n -
C. 只有n 与n -
D. 无数多个
二、填空题
1．设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A ∅。
2．设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为|m n 。
3．凯莱定理说：任一个子群都同一个变换群同构。
4．设F 是一个有四个元的除环，则F 的特征是 2 。
5．设R 是有单位元的环，a R ∈，I 是由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为
1
,,,n i i i i
i x ay x y R =∈∈∑+
其中n Z 。
三、计算题
1．设9次置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ， （1）将σ表成互不相交的轮换乘积；
(2) 将σ表示成形式为对换的乘积；
(3)求出σ的逆与的阶。
提示：（1）(15)(2379)(468),σ=
（2）)46)(48)(23)(27)(29)(15(=σ（3）1(15)(9732)(864),||12σσ-==。
2．设3S 是三次对称群，)}12(),1{(=H 是3S 的子群。
（1）求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集；
（2） 写出3S 的所有子群与正规子群。
提示：左陪集：)}12(),1{(=H ；)}132(),13{()13(=H ；)}123(),23{()23(=H ---3分 右陪集：)}12(),1{(=H ；)}123(),13{()13(=H ；)}132(),23{()23(=H ---6分 子群：)}12(),1{()},1{(21==H H
36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；---12分 )},1{(1=H 365)},132(),123(),1{(S H H ==三个正规子群。
四、证明题
1．证明：6阶群至少有一个3阶子群。
提示：设G 是一个6阶群,e 是的单位元，由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3,或6.若G 中非单位元的阶皆为2,则G 是交换群。
设b a ,是两个2阶元，则},,,{ab b a e 是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾，所以G 中必有3阶元或6阶元。
---8分；若b 是6阶元,则2b 是三阶元,因此G 必有一个3阶子群；若c 是三阶元，则G 必有一个3阶子群。
2．设ϕ是群G 到群-G 的一个同态满射，ϕKer K =,G H ≤,则HK H =-))((1ϕϕ。
提示：HK hk ∈∀，)()()()()(H h k h hk ϕϕϕϕϕ∈==，因此∈hk ))((1H ϕϕ-，即))((1H HK ϕϕ-⊆；-4分∈∀x ))((1H ϕϕ-，有)()(H x ϕϕ∈，存在H h ∈，使得)()(x h ϕϕ=，因此K e x h x h ∈==-
--)()()(11ϕϕϕ，存在K k ∈，使得HK hk x k x h ∈==-,1，即HK H ⊆-))((1ϕϕ，因此HK H =-))((1ϕϕ。
3.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,
(1)环)1/(i R +有多少元? (2) 证明: )1/(i R +是一个域.
提示：R 是有单位元的可换环,那么理想)1(i +的元素形式为 i b a b a i bi a )()()1)((++-=++,注意到b a b a +-,同奇偶性；而且对任意的
则)1(i yi x +∈+,因此)1(i +由一切yi x +组成,其中y x ，同奇偶性；-6分
由此可见对任意的R yi x ∈+,只要y x ，同奇偶性,恒有)1()1(i i yi x +=+++；若R yi x ∈+,且y x ，奇偶性不相同,恒有
即2)1/(Z i R ≅+.
4.假定R 是偶数环。
(1). 证明：所有整数)(4R r r ∈是的一个理想N ；
(2). 证明:)4(是R 的最大理想,但)4/(R 不是一个域。
提示：(1). 显然N 非空； 令214,4r r 是N 的任意两个元,由于偶数减偶数还是偶数，所以N r r r r ∈-=-)(4442121,； 令R r 是的任意元,由于偶数乘偶数还是偶数,所以N rr r r ∈=)(4)4(11,因此N 是R 的一个理想；
(2).(4)刚好含有一切n 4,这里n 是整数 .设M 是R 的一个理想,并且
M ⊂)4(, M ≠)4(,那么有)4(2,2∉∈m M m ,由此有242+=q m ,N q m ∈=-242,则R N ==)2(,这就是说(4)是R 的最大理想；在R /(4)中[2]\[0],而]0[]4[]2][2[==,因此R /(4)有零因子,因而R /(4)不是一个域.
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二、判断题
1、假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次
序可以交换。
2、如果无零因子环的特征是有限正整数n, 则n 一定是素数。
3、在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
4、4S 的置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。
5、环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：
1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。
提示：1、×， 2、√， 3 √， 4、×， 5、√
三、证明题
1、设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
提示：由题设可列乘法表：
a b c d
a a
b
c d
b b a d c
c c
d a b
d d c b a
由此表可知：方阵普通乘法是G 的代表运算，a 是G 的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G 中都有逆元，结合率显然成立。
故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
2、证明：在任意群G 中，a 与1-a 有相同的阶 （)G a ∈
提示：设,G a ∈且a 的阶为n 即e a n = （e 是G 的单位元）
则：e e a a a n n n ====----111)()( 即1-a 的阶也为n,反之亦然，即证得：a 与1-a 有相同的阶。
3、设G=（a ）是循环群，证明：当n a =时，G （a ）与n 次单位根群同构。
提示：设()a G a ∈=的阶为n ,则易看出映射m m e a →Φ:是G=（a ）到n 次单位根群 （e ）={}12,,,1-n e e e (e 为n 次原根)的一个同构映射，故G=（a ）)(e ≅。
4、设R 是阶大于1的可交换环，证明：当R 不含零因子时，R[x]也不含零因子。
提示：、证：因为环R 的阶大于1，故R[x]有非零多项式，假如R[x]有零因子，即存在非零多项式][)(),(x R x g x f ∈，使0)()(=⋅x g x f ，令0,0≠≠b a 分别为)(x f ，)(x g 的最高次项系数，则)()(x g x f ⋅的最高次项系数为ab ，应有ab =0，（因0)()(=⋅x g x f ），即a 是R 的零因子，这与R 元零因子矛盾，即若R 不含零因子时，R[x] 也不含零因子。
5、证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。
提示：因为5212=±i 为素数，则i 21±（以及i i i ±-±±-2,2,21）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：)21)(21(5i i -+= 若设i n a a a a (521 =不可约） 则
2222125n a a a ⋅=且25,122≠≠i i
a a ，这只有2=n ，且52=i a 不妨设 5=a
b 且522==b a 则只能b a =，即5=a a ，即5有唯一分解。
四、解答题 1、设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：
A A →Φ: （A 为A 的行列式）是否是X 到F 的一个一一映射？说明理由。
提示：Φ是X 到F 的一个映射，但不是一一映射，因为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011,0001B A ，A ，B ,X ∈且A B ≠，但在Φ下，0)()(=Φ=ΦB A ，不是一一映射。
2、非零实数集R 对运算ab b a = 能否作成群，说明理由。
提示：非零实数集R 对运算ab b a = 不能作成群。
因为R ∈-1,1，但方程11-=x ， 即1-=x 在R 中无解，由群的定义知R 对所给代数运算，不能作成群。
3、试举出满足以下条件的群：
1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G 是无限群，G 中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。
提示：1）如整数加群G 除单位元O 外，每个元的阶都无限。
2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。
4、举例说明：环R 的中心不一定是R 的理想。
提示：例：有理数域Q 上n>1阶方阵环n n Q ⨯的中心为C={},|Q a aE ∈E 是n 阶单位阵，它不是n n Q ⨯ 的理想，因易知存在n n Q A ⨯∈，而C aA A aE ∉=⋅，其中0≠a ,由理想定义知：C 不是n n Q ⨯的理想。
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一、设},,{c b a A =，A 的代数运算 由下表给定：
1. 集合A 上的变换有几个？集合A 上的单变换有几个？
2. 定义在A 上的自同态映射有几个？
3. 定义在A 上的自同构有几个？并具体写出来？ 答案：1. 27;6 2. 9 3. 2；c c b b a a ,,:σ；
c c a b b a ,,:τ
二、求模12加群12Z 的所有子群及12Z 的生成元。
答案：子群：]]0{[1=H ，122Z H =，]}10[],8[],6[],4[],2[],0{[3=H ，]}8[],4[],0{[4=H ， ]}9[],6[],3[],0{[5=H ，]}6[],0{[6=H ；12Z 的生成元:]11[],7[],5[],1[
三、给出环R 与它的子环S 的例子,使它们分别具有以下性质:
1. R 具有单位元素,S 无单位元素;
2. R 无单位元素,S 具有单位元素;
3. R 、S 都有单位元素,但不相同;
4. R 无单位元素,S 无单位元素;
5. R 不交换,S 交换；
6. R 有零因子,S 无零因子.
答案：1。
),,2(),,,(⋅+=⋅+=Z S Z R ，R 的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法； 2。
},|00{Q b a b a R ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，},|000{Q b a a S ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，S 的单位元是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；
3。
},,,|{Q d c b a d c b a R ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，},|000{Q b a a S ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，R 的单位元是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1001，S 的单位元是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0001，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。
Z S Z R 4,2==，关于数的普通加法和普通乘法；5． },,,|{Q d c b a d c b a R ∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=，}|00{Q a a a S ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，关于矩阵的普通加法和普通乘法；
6。
},,,|{Q d c b a d c b a R ∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=，}|00{Q a a a S ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，关于矩阵的普通加法和普通乘法。
四、证明：阶是m p 的群G 一定包含一个阶是p 的子群，其中+∈Z m ，p 是素数.
答案：取G a ∈而e a ≠，则由Lagrange 定理知，n p a =||，其中m n ≤≤1，则1-n p a 的
阶是p ，所以)(1-=n p a H 是G 的一个p 阶子群。
五、证明：一个除环R 的中心是一个域.
答案：显然)(1,0R C ∈，从而∅≠)(R C ；又)(,21R C c c ∈∀，R x ∈∀，有2211,xc x c xc x c ==，于是)()(21212121c c x xc xc x c x c x c c -=-=-=-，
)()()()()()(212121212121c c x c xc c x c xc c x c c x c c =====；*)(R C c ∈∀，R x ∈∀，即xc cx =，所以，x xcc cxc ==--11，x c xc 11--=，
所以21c c -，21c c ，1-c )(R C ∈，显然)(R C 是交换子群，因此)(R C 是域。
六、设G 是群，,a b G ∈，并且||3,||2a b ==，ba ab =，求由,a b 生成的子群(,)a b 。
解：按定义1212(,){|,}s n n n s i i a b x x x x a b n Z ==∈或。
由于ba ab =，并且
||3,||2a b ==，从而(,)a b 的任一元素可表为：,0,1,2,0,1,i j h a b i j ===
所以(,)a b 的阶最多是6。
又因(||,||)1,a b ba ab ==，所以||||||6ab a b ==，
因此得知(,)a b 是由ab 生成的循环群，其元素为0()e ab =，ab ，22()ab a =，3()ab b =，4()ab a =，52()ab a b =
七、找出3S 的所有子群，并说明3S 为什么不存在4阶子群。
答案：子群：)}12(),1{()},1{(21==H H
36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群； 由于6|4/，则由Lagrange 定理知，3S 不存在4阶子群。
四、找出环8Z 的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。
答案：8Z 的可逆元为：]7[],5[],3[],1[；8Z 的零因子：]6[],4[],2[；子环：]]0{[1=H ，82Z H =，]}6[],4[],2[],0{[3=H ，]}4[],0{[4=H ； 8Z 的最大理想：]}6[],4[],2[],0{[3=H 。
八、设f 是群G 到群-G 的同态满射，--G N ，)(1-
-=N f N ，证明：--
≅N G N G 。
并且}))((|{)ker(-=∈=N x f G x f ππ=}))((|{-=∈N x f G x π})(|{--=∈=N N x f G x
九、设A 是集合。
1． 集合A 上的二元关系满足什么条件时就是A 上的等价关系？ 2． 设}3,2,1{=A ，A 上的二元关系有几个？A 上的等价关系有几个？A 可分几类？ 答案1。
反身性；对称性；传递性； 2。
92；A 可分五类：}}3{},2{},1{{1=π；}}3{},2,1{{2=π；}}2{},3,1{{3=π；}}1{},3,2{{4=π；}}3,2,1{{5=π；由集合的分类决定等价关系知，A 上的等价关系有5个。
十、设3S 是3次对称群。
1．找出3S 的所有子群； 2．找出3S 的所有的不和)123(交换的元；
3．取3S 的子集)}123(),12{(=S ，则S 生成的子群包含哪些元素？群3S 的两个不同的子集
合会不会生成相同的子群？
答案：1。
子群：)}12(),1{()},1{(21==H H
36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(S H H H H ====六个子群；
2．)23(),13(),12(；3。
3)(S S =；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群: 如)}132{()},123{(==B A ，)}132(),123(),1{()()(==B A 。
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二、判断题
1、若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。
2、若有单位元)0(≠的交换环R ，除零理想和单位理想外，没有其他理想，则R 一定是一个域。
3、整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。
4、群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。
5、设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
提示：
1、√， 2，√ 3、× 4、×， 5、√
三、证明题
1、设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算b au b a 1-= 作成一个群。
提示：
显然所给运算是G 的一个代数运算，又任取,,,G c b a ∈则
c u b au c b au c b a 111)()()(---== )()()(111c bu au c bu a c b a ---== 而G 是群。
)()(1111c bu au c u b au ----= 即)()(c b a c b a = 即G 对新代数运算结合律
成立。
又任取G a ∈， a a u u u a ==-1 ，即u 是右单位元。
又u u ua au u ua a ==---)()(111 ，即u ua 1-是a 的右逆元。
由群的定义知，G 对新运算也作成一个群。
2、证明：在任意群Ｇ中，a 与),(1G c a cac ∈-同阶。
提示：设e a n =，e c ca cac n n ==--11)(，
反之若e cac n =-)(1，有e c ca n =-1 e a n = 即a 与1-cac 有相同的阶。
3、设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，)(R M n 是R 上n 阶方阵环，)(,R M B A n ∈，证明：E BA E AB =⇔=，其中E 是n 阶单位矩阵。
提示：由于R 可交换，得：1===A B B A AB ，从而A 可逆，设*A 是A 的伴随矩
阵，则由R 有单位元1可知：
E A AA A A ==** 于是*--=A A A 11 故若：E AB =，则：
A ABA = E A A A
B A A ==--11 ，即E BA = 同理可由E AB E BA =⇒=
4、证明：有理数域Q 是域Q （i ）=},|{Q b a bi a ∈+的唯一真子域。
提示：Q 显然是域Q （i ）的一个真子域。
又设F 是Q （i ）的一个子域，且Q F ≠,则由于任何数域都包含Q ，即F Q ⊂，从而有,a bi F +∈ a +b i Q ∉, (b 0,≠ a Q ∈) 于是
F i b a bi a ∈=-+-1)(，从而F=Q （i ）
，因此Q 是域Q （i ）的唯一真子域。
5、设A 和 B 是环R 的理想，证明：当A 和B 至少有一个含有单位元时，},|{B b A a ab B A ∈∈= 是R 的理想。
提示：不妨设A 含有单位元e ，任取A a a ∈21,，R r B b b ∈∈,,21，由题设A ，B 都是R 的理想，得:
B b a b a ∈-2211
B
A b a b a e b a e b a e b ea b ea b a b a ∈-=-=-=-)()()()()(2211221122112211 由理想的定义可知：
B A 是R 的理想。
四、解答题
1、试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
提示：设Z 为整数集，2Z 为偶数集，x x 2:1→Φ， )1(2:2+→Φx x ，其中Z x ∈，则1Φ，2Φ就是Z 到2Z 的两个不同的映射。
2、非零实数集R ，对运算ab b a 2= 能否作成群，并说明理由。
提示：能作成群，因为数的普通乘法显然是R 的代数运算，结合律当然成立，又1是R 的单位元，1与-1的逆元均为自身，任意R 的元a 都有逆元a
1，故R 作成群。
3、设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 提示：G 的单位元为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01112a ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=01103a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10014a 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01112b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10013b ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011ab 对任意的整数n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011011011)(n ab n
n 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限。
4、设R 是环，且N 是R 的理想，H 又是N 的理想，问：H 是否一定是R 的理想，举例说明。
提示：不一定
例如：令F 为任意数域，又H ，N, R 分别由以下三种方阵作成的集合： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001a
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000021a a ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛654321000a a a a a a 其中F a i ∈
很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环，且N 是R 的理想，H 是N 的理想，但是：
H ∉⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000100000100000000000010 故H 不是R 的理想。
二、判断题
1、若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
( )
2、一个除环只有一个理想。
( )
3、若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。
( )
4、若环R 与环R 同态，那么当R 无零因子时，R 也无零因子。
( )
5、设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τ
σ是A 到C 的映射。
( )
提示：1、√， 2、×， 3，√， 4、× ， 5、√
三、证明题
1、令G={}b a e ,,，且G 有如下乘法：
e a b
e e a b
a a
b e
b b e a
证明：G 对此乘法作成一个群。
提示：由乘法表可知，G 对所给乘法封闭，e 是单位元，又e e =-1，b a =-1，a b =-1，即每个元素在G 中都有逆元，因此要证G 是一个群，只要再证结合律成立即可。
任取G y x ∈,，则显然有：)()()(ye x xy ey x xy e === )()(xx x x xx =
其次令},{,b a y x ∈，且y x ≠，则由乘法表知：e yx xy x yy y xx ====,,，可知结合律成立。
2、证明：如果群G 中每个元素都满足方程
e x =2 （e 是G 的单位元）则G 必是交
换群。
提示：任取G b a ∈,，由于e b a ab ===222)(，
故ba bab a b ab ab a b ab a ab ====222))(()( )(22e b a == ，即G 对乘法满足交换律。
ba ab =，即G 是交换群。
3、设R 是一个环，证明：
1）若R 中左右单位元同时存在，则必相等。
2）若R 中至少有两个左（或右）单位元，则R 中任一非零元都是右（或左）零因子。
提示：1）设21,e e 分别是环R 的左右单位元，则由此有：1e 22e e = ，1e 2e =1e ， 从而1e =2e ，即它是R 的单位元。
2）设1e ，2e 是R 的两个互异的左单位元，则对任意的0,≠∈a R a ，有 a e a a e 21== 或（1e -2e ）a =0，但1e -2e ≠0，故a 是R 的一个右零因子。
同理，若R 有至少两个右单位元，则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。
4、设R 是环，n 是任意一个固定的整数，证明：{}R a na nR ∈=|是R 的一个理想。
提示：显然nR 非空,又任取nR nb na ∈,，（n R b a ,,∈为固定整数）
则nR b a n nb na ∈-=-)( 又对任意R r ∈，有：
R ra a na r ∈=)()(， （R ar n r na ∈=)()(，所以nR 是R 的一个理想。
5、设M （R ）是实数域R 上的二阶方阵环，又 F=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R b a b b b a ,，证明：F 是M （R ）的一个子域。
提示：任取A ，B ∈F ，且令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a b b a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=c d d c B ，显然F B A ∈-，又当 0≠B 时，实数c,d 不全为零，于是022≠+=d c B ，
且F bd ac bc ad ad bc bd ac AB ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+=-1，故F 是M （R ）的一个子域。
四、解答题
1、试给出集合X={1，2，3，4，5}到Y={0，2，4，6，8}的两个单射。
提示：105,84,63;42;21:1→→→→→Φ
105,84,63,42,01:2→→→→→Φ
则1Φ，2Φ是X 到Y 的两个单射。
2、实数集R ，对运算)(2b a b a += 能否作成群，并说明理由。