2021届江西省高考理科数学总复习第36讲：等差数列及其前n项和

2021届江西省高考理科数学总复习
第36讲：等差数列及其前n 项和
[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫
做a ，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．
(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2
. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系
(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．
(2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数．
4．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．
[常用结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．
(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．
(5)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1
． (6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.
(7)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则
①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；
②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1
. (8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则
①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶
＝n ＋1n .
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )
(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )
(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、教材改编
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( )
A ．14
B ．12
C ．2
D ．－12
A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5，
又a 10＝6，∴公差d ＝a 10－a 610－6
＝6－54＝14.故选A.] 2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
B [设数列{a n }的公差为d ，
法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6，
又a 6＝2，
∴S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2
＝8（6＋2）2
＝32. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1
＋5×42d ＝30， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.
∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]
3．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.]
4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为
20（a 1＋a 20）2＝20×（22＋60）2＝820.]。