青海大学 工程制图 2-6.例题(点线面)概述

例6:使AB、CD在新投影面内的投影互相平行
S'
d'
空间分析
S
R
a'
c'
b' c b
a d H P1 X1 b1 c1 a1
P
作图
d1
包含AB作 平面 S//CD 将 S 投影面垂直面
S
例7: ABC与ABD夹角为60°,求a'd',b'd'
a'
由几何定理知：两面角为两平面同时 与第三平面垂直相交时所得两交线之间的 夹角。
k' a' b' b 1
1'
b'
b
a 1
k
a
c
k
c
可见: 在平面内取点取线二者互为条件
例
①求属于△的点K的水平投影； ②求属于△的距V面10,距H面15的点L。
10
b' k' l' 1' 2' c'
15
① ②
a'
1'
X
a
1 3 b k l 4 c
15 O
10
•面内取线 •线上找点
b' d' d" c' c c"
O
b"
X
O
Y1 X
d
c"
Y1
a
H Y1
b
Y1
已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线使 aaz=aax
a●
解法二:
a● az
●
a
用圆规直接量 取aaz=aax
ax
a●
直线的投影
c● a k d
b
a c k
●
d b
a1b1
● ●
解法相同！ 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。
H P 1 X1
P2 c1 P1 X 2
b1
a1
P2
P1 P1 V b'
c1 c' a' c
b
a
例3：求两异面直线的距离。
a' n' c' V X H d' m ' b'
空间分析： 只需将其中的一条直线变 换为投影面垂直线即可。
C
O b
a c H X1 P1 n m n1 c1
A
N
M B D c2m2d2
d
a2
b1 d
1
P2
n2
b2
m
1
Y1
c' b'
O
a" c" b"
Y1
a (c)
Y1
a (XA,YA)
b
Y1
A(XA，YA，ZA)
B点在A点的右方、前方、下方 C点在A点的正下方 点A和点C被称作是对H面的重影点
例 求 a"
a' (x,z)
用坐标表示点的空间位置
Z a"(y,z)
X
x
O y
Y
a (x,y)
Y
A(x, y, z)
例 比较两点的相对位置
2 1
例 在平面ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为10mm。
a m 10 b b n c c 有多少解？
唯一解！
m
a
n
例
①试完成四边形ABCD的投影。
②在ABCD内作一任意正平线MN。
•面内取线
a' b' m ' 1' c' c 1 m a n n' d'
•线上找点
X
O
b
d
例
先作正面投 影
例：过C点作水平线CD与AB相交。
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a
.
d b
c
c a
●
AB为正平线, 正面投影反映 直角
●
d
b
例 已知AB//H、ABCD，求cd
abcd
c'
a' d' c b
b'
a
d
平面的投影
c' 1' a' k'
例 点K在平面内，已知k'，求k
c'
Z
Δ z=5 Δx=0
X
a'
az
O
a”
b”
YW
Z V 上 上 W 前 下 YW
ax
b'
左 X
左 H 前
右
下 O 后 右
后
aYW aYH
YH
Δ y=0
a (b)
YH
无轴投影图
根据点的投影图
确定点的空间位置及两点的相对位置
Z Z
a' (XA,ZA)
ZA X YA XA O
YA
a' a"(YA,ZA)
X
AD C B abd P c X
作图: d
b
V H
a
c a
H X1 P 1
.
b d a1

距离
d 1 .

b2d2 b1 . a2
P1 P2 X2
c 2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
例2 :点A到直线BC的距离为20,求点A的H投影a。
a2
b2
c2
已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
b k
解法一
a
解法二
c a
b
c
d d a k b c a
d d c b
换面法应用举例
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
点线面的投影
习题课
点的投影规律的应用
1.坐标与投影的关系
如果将投影轴 当作坐标轴，将投 影面当作坐标面。
X
ax
Z
a' az a”
O
aYW aYH
YW
a
其关系为： 点的X坐标值=点与 W面的距离 点的Y坐标值=点与V面的距离 点的Z坐标值=点与H面的距离
YH
2．两点的相对位置 及无轴投影图
Z V 左
c' a' b' c" ( a")
点B在点A的 b" 右方、下方、 前方 点C在点A的 正左方
c
a b
称点A、点C为对 W 面的重影点
3.由点的二投影确定第三投影
已知点的两个投影，可利用点的三面投 影特性求其第三个投影。 Z
a'
a” a”
X
O
YW
a
YH
已知点的两个投影，求第三投影。
Z Z
a'
a" W
●
N
n●
c● a XV H
●
m
b
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N
M
B a1m1b1 D
a cLeabharlann ●m ●nd b
d1
.
●
a1≡b1≡m1
● ●
P1
.
c1
n1
d1
n1
请注意各点的投 H P 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
例8: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 ● 作 图： c 几个解？ 两个解！ a2 ● a d b
X
V H
a c
●
d●
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
XV H
X1 H P1 c1 a1 a
c' c b'
d'
θ
空间分析 投影分析
d b
b1
d1
当两平面的交线 将AB c2 AB 垂直于新投影 投影面平行线 面时它们在该投 新投影轴 X1//ab 影面上的投影反 60° d2 将AB 映其夹角实际大 a2 b2 投影面垂直线 小 新投影轴X2a1b1 将AB P1 P2 X2 投影面垂直线
上
右 下 后 O 右 前 YH
上 后
下
W
前 YW
方位关系
例：已知点 A（12，8， 10），点 B在点 A 的 下方 5 mm、左 0 mm、 前 0 mm，试完成B 的 投影。
X 左 H
Z
a'
b'
X
az
O
a”
b” YW
ax
aYW aYH
YH
a (b)
例：已知点 A（12，8，10），点 B在点 A 的下方 5 mm、 左 0 mm、前 0 mm，试完成B 的投影。
c1
●
圆半径=MN
例5：求三角形ABC平面对H面的夹角。
a'
b' V X H
b
m' c' c m a c1 b1
作 图 过 程： •在平面内取一条水平 线BM。 •将BM变换成新投影 面的垂直线。
X1方向如何确定 X1 bm a1
思考
H V1 X1
若求平面对V面的夹角，应在面内取什么线？ 正平线
m1 的位置？ a1 MN为 为何种位置线？ P2的平行线！ m1n1 // X2轴。 继续，返回到原投影！
c2d2 m2
. n2
a2
b2
需要几次变换？
两次变换
P2 P2 X2
m2n2 为距离实长。
例4：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 M 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。 d 空间及投影分析： 作图：