2017高考数学文新课标版考前冲刺复习课时作业：第2部

课时作业[学生用书P117(独立成册)]
1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则DA →
等于( ) A ．(2，4) B ．(3，5) C ．(1，1)
D ．(－1，－1)
C [解析] DA →＝CB →＝AB →－AC →
＝(2，4)－(1，3)＝(1，1)． 2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
C [解析] 法一：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以a 2＝2，a·b ＝－3，
从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1. 法二：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.
3．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A.OA →＝13AB →＋23BC →
B.OA →＝23AB →＋13BC →
C.OA →＝13AB →－23BC →
D.OA →
＝－23AB →－13
BC →
D [解析] 因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以O 为△ABC 的重心，所以OA →
＝－23×12(AB →＋
AC →
)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13
BC →，故选D.
4．(2016·合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2，且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
B [解析] 由a ⊥(a －2b )得，a·(a －2b )＝|a|2－2a·b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a·b ＋|b|2＝|b |＝2，选项B 正确．
5．(2016·山西质量检测)已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12
.若平面向量p 满足p·a ＝p·b
＝1
2
，则|p |＝( ) A.12 B ．1 C. 2
D ．2
B [解析] 由题意，不妨设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭
⎫－12，3
2，p ＝(x ，y )，因为p·a ＝p·b ＝12，
所以⎩⎨⎧x ＝12－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎨⎧
x ＝12
y ＝32
，
所以|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.
6．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3.若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值
为( )
A ．4
B ．－4 C.94
D ．－94
B [解析] 由n ⊥(tm ＋n )可得n ·(tm ＋n )＝0， 即tm·n ＋n 2＝0，
所以t ＝－n 2m·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉
＝－|n |2
|m |×|n |×
13
＝－3×|n ||m |＝－3×4
3
＝－4.故选B.
7．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 边上的一点，若AP →＝mAB →
＋
29
AC →
，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1
D ．3
B [解析]
如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →
，因为B ，P ，N
三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝1
3
.
8．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA
→
在BC →
方向上的投影等于( )
A ．－32
B.32
C.32
D ．3
C [解析] 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA
→
|＝|OB →|＝|OC →|，又因为|AO →|＝|AC →
|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →
|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝3
2
，故选C.
9．(2016·石家庄第一次模拟)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ∈R ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(1，2]
D ．(－1，0)
B [解析] 由题意可得OD →＝kO
C →＝kλOA →＋kμOB →
(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1
k
＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．
10．在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →
＝b ，AF →
＝xa ＋yb ，则(x ，y )为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，12
B.⎝⎛⎭⎫23，23
C.⎝⎛⎭⎫13，13
D.⎝⎛⎭
⎫23，12 C [解析] 由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点， 则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，
所以x ＝13，y ＝1
3
.
11．(2016·山东三校联考)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →
的最大值为( )
A ．3
B ．2 3
C ．6
D ．9
D [解析] 连接AC ，由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →
方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →
＝9.
12．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，tb )≥d (a ，b )，则( )
A ．a ⊥b
B ．b ⊥(a －b )
C ．a ⊥(a －b )
D ．(a ＋b )⊥(a －b )
B [解析] 由于d(a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，tb )≥d (a ，b )，即|a －tb |≥|a －b |，即(a －tb )2≥(a －b )2，t 2－2ta ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．
13．已知向量a ＝(2，5)，b ＝⎝⎛⎭⎫
14，y ，且a ⊥(a ＋2b )，则y 的值为________． [解析] 由已知a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫5
2，5＋2y ，因为a ⊥(a ＋2b )，所以5＋5(5＋2y )＝0，解得y ＝－3.
[答案] －3
14．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角的余弦值为________． [解析] 设a ，b 的夹角为θ，将等式|a|＝3|b|＝|a ＋2b|平方得：|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ，则|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|cos θ，即0＝4|b|2＋12|b|2cos θ，得cos θ＝－1
3
.
[答案] －1
3
15．已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π
3，a·c ＝2，则|c |等于________．
[解析] 因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π
3，a·c ＝2，所以|c |
＝a·c |a |cos π3＝22×
12
＝2.
[答案] 2
16．(2016·海口调研测试)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →
＝－9，则λ的值为________．
[解析] 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →
＝
⎝⎛⎭⎫12BC →－BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝⎛⎭⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝⎛⎭⎫12－1λ×62＋⎝⎛⎭⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3.
[答案] 3。