初一下学期实数学业水平测试数学试题解析

一、选择题
1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019M x x x x x x =++
++++，
()()122019232018N x x x x x x =++
++++，则M ，N 的大小关系是( )
A ．M N <
B ．M N >
C ．M N
D ．M N ≥
2．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2
a b
a b +=
，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（ ）．
①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+； ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④()()**22
a
a b c b c +=+． A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④
3．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：
()()1,,P x y x y x y =+-，且规定()()()11,,n n P
x y P P x y -=（n 为大于1的整数）， 如，()()11
,23,1P =-，()()()()()21111,21,23,12,4P P P P ==-=，()()()()()31211,21,22,46,2P P P P ===-，
则()20171
,1P -=（ ）． A ．()1008
0,2
B ．()1008
0,2
- C ．()1009
0,2
- D ．()1009
0,2
4．已知边长为a 的正方形面积为8，则下列关于a 的说法中，错误的是（ ） A ．a 是无理数
B ．a 是8的算术平方根
C ．a 满足不等式组2030a a ->⎧⎨-<⎩
D ．a 的值不能在数轴表示
5．定义一种新运算“*”，即()*23m n m n =+⨯-，例如()2*322339=+⨯-=．则()6*3-的值为（ ） A ．12 B ．24
C ．27
D ．30
6．数轴上表示1，2的对应点分別为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示
的数是（ ）
A ．21-
B ．12-
C ．22-
D ．22-
7．如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）
A 2
B 38
C 10
D 5
8．按照下图所示的操作步骤，若输出y的值为22，则输入的值x为（）
A．3 B．-3 C．±3 D．±9
9．观察下列各等式：
231
-+=
-5-6+7+8=4
-10-l1-12+13+14+15=9
-17-18-19-20+21+22+23+24=16
……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（）
A．-130 B．-131 C．-132 D．-133
10．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）
A．11
m n
==
，B．10
m n
==
，C．12
m n
==
，D．21
m n
==
，
二、填空题
11．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)
m n表示第m排从左向右第n个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
12．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．
13．现定义一种新运算：对任意有理数a、b，都有a⊗b=a2﹣b，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
14．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．
例如：(-3)☆2=
3232
2
-++--
= 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b(a≠b)的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是_____．
15．若我们规定[)x 表示不小于x 的最小整数，例如[)33=，[)1.21-=-，则以下结论：①[)0.21-=-；②[)001-=；③[)x x -的最小值是0；④存在实数x 使[)0.5x x -=成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
16．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A 、B ，则点A 表示的数为______.
17．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1， 所以S=
．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1+m +m 2+m 3+m 4+…+m 2016的值？如能求出，其正确答案是 ______ ．
18．如图，半径为1的圆与数轴的一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远时，该点所表示的数是_______．
19．若[)x 表示大于x 的最小整数，如[)56=，[)1.81-=-，则下列结论中正确的有______（填写所有正确结论的序号）．
①[)01=；②33
055
⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭；③[)0x x -<；④[)1x x x <≤+；⑤存在有理数x 使
[)0.2x x -=成立．
20．定义运算“@”的运算法则为：xy 4+2@6 =____．
三、解答题
21．观察下列各式： (x －1)(x+1)=x 2－1 (x －1)(x 2+x+1)=x 3－1 (x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1 ……
（1）根据以上规律，则(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________． （2）你能否由此归纳出一般性规律(x －1)(x n +x n －1+x n －2+…+x+1)=____________． （3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
22．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题． 111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545
=-⨯，…… （1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n 个等式是：______． （2）①计算：
111
1
122334
4950
⨯⨯⨯⨯++++
．
②若a 0=，求： ()()()()()()
()()11111
1122339797ab a b a b a b a b +++++
++++++++．
23．三个自然数x 、y 、z 组成一个有序数组(),,x y z ，如果满足x y y z -=-，那么我们称数组(),,x y z 为“蹦蹦数组”．例如：数组()2,5,8中2558-=-，故()2,5,8是“蹦蹦数组”；数组
()4,6,12中46612-≠-，故()4,6,12不是“蹦蹦数组”．
（1）分别判断数组()437,307,177和()601,473,346是否为“蹦蹦数组”；
（2）s 和t 均是三位数的自然数，其中s 的十位数字是3，个位数字是2，t 的百位数字是2，十位数字是5，且274s t -=．是否存在一个整数b ，使得数组(),,s b t 为“蹦蹦数组”．若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；
（3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p ，个位数字是q ，若数组
()1,,p q 为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数．
24．阅读材料：求2320192020122222++++++的值．
解：设2320192020122222S =++++++①，将等式①的两边同乘以2， 得234202020212222222S =++++++②，
用②－①得，2021221S S -=-
即202121S =-． 即2320192020202112222221++++++=-．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写231222+++的值为______； （2）求231015555++++
+值；
（3）请直接写出2021
2
3
4
5
2019
2020
101101010101010
10
11
-+-+-+-+-的值． 25．[阅读材料] ∵
23<，∴112<<，∴1的整数部分为1，∴
1的小
2 [解决问题]
（1__________；
（2）已知a b (1
b a -的平方根为
______． 26．阅读理解：
一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a 代表这个整数分出来的左边数，b 代表的这个整数分出来的中间数，c 代表这个整数分出来的右边数，其中a ，b ，c 数位相同，若b ﹣a ＝c ﹣b ，我们称这个多位数为等差数． 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32； 所以：357和413223都是等差数．
（1）判断：148 等差数，514335 等差数；（用“是”或“不是”填空） （2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； （3）若一个三位数T 是等差数，且T 是24的倍数，求该等差数T ．
27．数学中有很多的可逆的推理．如果10b n =，那么利用可逆推理，已知n 可求b 的运算，记为()b f n =，如210100=， 则42(100);1010000f ==，则4(10000)f =．
①根据定义，填空：(10)f =_________，()310f =__________．
②若有如下运算性质：()()(),()()n f mn f m f n f f n f m m
⎛⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
． 根据运算性质填空，填空：若(2)0.3010f =，则(4)f =__________；(5)f =___________； ③下表中与数x 对应的()f x 有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．
28．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1
1.414≈14.14141.4，……
0.1732 1.732≈17.32，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2 3.873 1.225≈≈_____≈______．
（31=10=100=，…… 小数点的变化规律是_______________________．
（4 2.154≈0.2154≈-，则y =______． 29．下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，111
3434
=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：
1111111113
111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）观察发现：
1n(1)n =+__________111
1
122334
n(1)
n +++
+
=⨯⨯⨯+ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把
1
12
拆成两个分子为1的正的真分
数之差，即
112= ；②把1
12
拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112= ； （ 3 ）定义“⊗”是一种新的运算，若1112126⊗=+，1111
3261220
⊗=++，
111114*********
⊗=+++，求1
93⊗的值．
30．小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：
11323211
23232323236--=-===⨯⨯⨯⨯，反之，这个式子仍然成立，即：1132321162323232323-===-=-⨯⨯⨯⨯. （1）问题发现 观察下列等式： ①1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯， ②1323211
2323232323
-==-=-⨯⨯⨯⨯， ③
14343113434342334
-==-=-⨯⨯⨯⨯，…， 猜想并写出第n 个式子的结果：1
(1)
n n =+ ．（直接写出结果，不说明理由） （2）类比探究
将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得： 1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯， 类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果： ①111
1
122334
20192020
++++
=⨯⨯⨯⨯ ；
②
1111
122334
(1)
n n ++++
=⨯⨯⨯+ ； （3）拓展延伸 计算：
1111
133557
99101
++++
⨯⨯⨯⨯．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B
设122018p x x x =+++，23
2018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可.
【详解】
解：根据题意，设122018p x x x =+++，23
2018q x x x =++，
∴1p q x -=， ∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++
++++=•+=+•；
()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++
++++=+•=+•；
∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+• =2019()x p q •-
=201910x x •>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】
本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.
2．B
解析：B 【详解】 ①中(*)2b c a b c a ++=+，()*()22
a b a c b c
a b a c a ++++++==+，所以①成立；
②中*()2a b c a b c +++=
，()*2
a b c a b c +++=，所以②成立； ③中()()*(*)*222
a b a c b c
a b a c a a b c ++++=+=+=+，所以③不成立； ④中(*)2a b a b c c ++=+，22(*2)22222
a a
b
c a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立． 故选B.
3．D
解析：D 【详解】
因为()()11
,10,2P -=，()()()()()21111,11,10,2=2,2P P P P -=-=-,()()()()()31211,11,22,20,4P P P P -=-=-=,
()()41,14,4P -=-,()()51
,10,8P -= ()()61
,18,8P -=-,所以()()211,10,2n n P --=,()()21,12,2n n n P -=-,所以 ()()
100920171,10,2P -=,故选D.
4．D
解析：D
根据题意求得a ，根据无理数的定义，算术平方根的定义，无理数的估算，实数与数轴一一对应逐项分析判断即可 【详解】
解：根据题意，2
8a =，则a =A.a 是无理数，故该选项正确，不符合题意； B. a 是8的算术平方根，故该选项正确，不符合题意；
C.
48<23<，则a 满足不等式组20
30a a ->⎧⎨
-<⎩
， 故该选项正确，不符合题意；
D. a 的值能在数轴表示，故该选项不正确，符合题意； 故选D 【点睛】
本题考查了无理数的定义，算术平方根的定义，无理数的估算，实数与数轴一一对应，是解题的关键．无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”， 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
5．C
解析：C 【分析】
根据新定义的公式代入计算即可． 【详解】
∵()*23m n m n =+⨯-, ∴()6*3-=()623(3)27+⨯--=, 故选C ． 【点睛】
本题考查了新定义下的实数计算，准确理解新定义公式是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决． 【详解】
根据对称的性质得：AC =AB
设点C 表示的数为a ，则11a -
解得：2a =故选：C ． 【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC =AB ．
7．D
【分析】
先对四个选项中的无理数进行估算，再根据P点的位置即可得出结果．
【详解】
解：∵12，3＜4，23，
∴根据点P在数轴上的位置可知：点P
故选D．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，能够正确估算出无理数的范围是解决本题的关键．8．C
解析：C
【分析】
根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.
【详解】
由题意得：2
x-=，
3522
∴29
x=，
∵2
±=，
)
(39
x=±，
∴3
故选：C.
【点睛】
此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：211
=；
第二行：224
=；
第三行：239
=；
第四行：2416
=；
……
第n行：2n；
∴第11行：211121
=．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
10．D
解析：D 【分析】
逐项代入，寻找正确答案即可. 【详解】
解：A 选项满足m≤n ，则y=2m+1=3； B 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=-1； C 选项满足m≤n ，则y=2m-1=3； D 选项不满足m≤n ，则y=2n-1=1； 故答案为D ； 【点睛】
本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.
二、填空题
11．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算． 【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数， ∵1994493÷=……，即1
∴
故答案为 【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
12．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；
③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，
∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；
综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
13．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b= =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b==b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b
++- =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b
++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．③④
【分析】
根据的定义逐个判断即可得．
【详解】
①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x 的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实
解析：③④
【分析】
根据[)x 的定义逐个判断即可得．
【详解】
①[)0.2-表示不小于0.2-的最小整数，则[)0.20-=，结论错误
②[)00=，则[)000-=，结论错误
③[)x 表示不小于x 的最小整数，则[)0x x -≥，因此[)x x -的最小值是0，结论正确 ④若 1.5x =，则[)1.52=
此时，[)1.5 1.52 1.50.5-=-=
因此，存在实数x 使[)0.5x x -=成立，结论正确
综上，正确的是③④
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
16．.
【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A 的距离（即点A 的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A 表示的数.
【详解】
∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为
解析：1
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A的距离（即点A的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A表示的数.
【详解】
∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为3，
∴A点距离0的距离为31-
∴点A表示的数为13
-.
【点睛】
本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解.
17．.
【解析】
试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋
m2017…………………②
②一①得：
解析：.
【解析】
试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②
②一①得：mS―S＝m2017－1.
∴S＝.
考点：阅读理解题；规律探究题.
18．﹣8π．
【分析】
根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．
【详解】
解：半径为1圆的周长为2π，
滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），
滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4
解析：﹣8π．
【分析】
根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．
解：半径为1圆的周长为2π，
滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），
滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4（周），
滚动第3次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2＝﹣2（周），
滚动第4次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＝﹣3（周），
滚动第5次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＝0（周），
滚动第6次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＋2＝2（周），
所以圆与数轴的公共点到原点的距离最远是﹣4周，即该点所表示的数是﹣8π， 故答案为：﹣8π．
【点睛】
题目主要考察数轴上的点及圆的滚动周长问题，确定相应滚动周数是解题关键． 19．①④⑤
【分析】
根据题意表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：①，根据表示大于x 的最小整数，故正确；
②，应该等于，故错误；
③，当x=0.5时，，故错误；
④，根据
解析：①④⑤
【分析】
根据题意[)x 表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：①[)01=，根据[)x 表示大于x 的最小整数，故正确； ②33055
⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭，应该等于333215555⎡⎫-=-=⎪⎢⎣⎭，故错误； ③[)0x x -<，当x=0.5时，[)10.5=0.50x x -=-＞，故错误；
④[)1x x x <≤+，根据定义可知[)x x <，但[)x 不会超过x+1，所以[)1x x x <≤+成立，故正确；
⑤当x=0.8时，[)1-0.8=0.2x x -=，故正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键．
20．4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子． 解析：4
【分析】
把x=2，y=6代入
【详解】
解：∵
∴，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
三、解答题
21．（1）x 7－1；（2）x n+1
－1；（3）51312-． 【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1-1）=51312
- 故答案为：（1）x 7－1；（2）x
n+1－1；（3）51312
-． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
22．（1）1115656=-⨯，()11111n n n n =-⨯++；（2）①4950；②1465119800
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n 个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是1115656
=-⨯，第n 个等式是()11111n n n n =-⨯++； （2）①11111223344950⨯⨯⨯⨯++++， 111111111223344950
=-+-+-++-， 1150=-
， 4950
=；
②a 0=，
1a ，3b =，
原式111111324354698100=+++++⨯⨯⨯⨯⨯， 11111111111111(1)()()+()()23224235246
298100=⨯-+⨯-+⨯-⨯-++⨯-， 1111111111(1)23243546
98100
=⨯-+-+-+-++-， 1111(1)2299100
=⨯+--， 1465119800=． 【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
23．（1）(437，307，177)是“蹦蹦数组”， (601，473，346)不是“蹦蹦数组”；（2）存在，数组为(532，395，258)；（3）这个三位数是147．
【分析】
（1）由“蹦蹦数组”的定义进行验证即可；
（2）设s 为32m ，t 为25n ，则3225274m n -=，先后求得n 、s 的值，根据“蹦蹦数组”的定义即可求解；
（3）设这个数为1pq ，则21q p =-，由p 和q 都是0到9的正整数，列举法即可得出这个三位数．
【详解】
解：（1）数组(437，307，177)中，437-307=130，307-177=130，
∴437-307=307-177，故(437，307，177)是“蹦蹦数组”；
数组(601，473，346)中，601-473=128，473-346=127，
∴601-473≠473-346，故(601，473，346)不是“蹦蹦数组”；
（2）设s 为32m ，t 为25n ，则3225274m n -=，
∵m 、n 为整数，
∴8n =，则t 为258，
∴s 为532，
而2742137÷=，则b 为532-137=395，
验算：532-395=395-258=137，
故数组为(532，395，258)；
（3）根据题意，设这个数为1pq ，则1p p q -=-，
∴21q p =-，
而p 和q 都是0到9的正整数，
讨论：
且1-4=4-7=-3，数组(1，4，7)为“蹦蹦数组”，
故这个三位数是147．
【点睛】
本题是一道新定义题目，解决的关键是能够根据定义，通过列举法找到合适的数，进而求解．
24．（1）15；（2）11514
-；（3）111． 【分析】
（1）先计算乘方，即可求出答案；
（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
【详解】
解：（1）231248125122=++++=++；
故答案为：15；
（2）设231015555T =++++
+①，把等式①两边同时乘以5，得 112310555555T =+++++②，
由②-①，得：11451T =-，
∴11514
T -=， ∴311210
15551455++=+++-； （3）设234520192020110101010101010M =-+-+-+
-+①， 把等式①乘以10，得：
3456222019020202110101010101010101010M =-+-+-+-++②，
把①+②，得：202111110M =+， ∴202110111
M +=， ∴23245201920002211101010101011001011
1-+-+-+-++=， ∴2021
2345201920201011010101010101011
-+-+-+-+- 20212021
101101111
+=- 111
=． 【点睛】
本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．
25．（1
2；（2）±3．
【分析】
（1）由于4＜7＜9的小数部分；
（2
【详解】
解：（1）∵4＜7＜9， ∴
23<，∴
021<，∴2，
∴
2；
（2）∵a b 9＜10＜16， ∴
<34<，
∴031<，
∴3，3，
即有3a =，3b =， ∴()()3112
b 339a --==-⎡⎣= 9的平方根为±3． ∴(1
b a -的平方根为±3． 【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 26．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888
【分析】
（1）根据等差数的定义判定即可；
（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，根据等差数的定义可知2
a c
b +=
，进而得出()3352M a c =+即可．
（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值，再根据是8的倍数可确定c 的值，又因为2
a c
b +=，所以可确定a 、
c 为偶数时b 才可取整数有意义，排除不符合条件的a 、c 值，再将符合条件的a 、c 代入2a c b +=
求出b 的值，即可求解． 【详解】
解：（1）∵4184-≠- ，
∴148不是等差数，
∵435135438-=-=- ，
∴514335是等差数；
（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，
∵b a c b -=- ， ∴2
a c
b += ， ∵()10010105633522
a c M a c a c a c +=+⨯+=+=+ ， ∴这个等差数是3的倍数；
（3）由（2）知()3352,2a c T a c b +=+=
， ∵T 是24的倍数，
∴352a c + 是8的倍数，
∵2c 是偶数，
∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数，
∴2a =或4或6或8，
当2a =时，3570a = ，此时若1c =，则35272a c += ，若5c = ，则35+280a c = ，若9c = ，则35+288a c =，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；
当4a =时，35140a =，此时若2c =，则352144a c +=，若6c =，则352152a c +=，（144、152是8的倍数），
当6a =时，35210a =，此时若3c =，则352216a c +=，若7c =，则352224a c +=， （216、244是8的倍数），
当8a =时，35280a =，此时若0c ，则352280a c +=，若4c =，则352288a c +=， 若8c =，则352296a c +=，（280,288,296是8的倍数）， ∵2
a c
b +=， ∴若a 是偶数，则
c 也是偶数时b 才有意义，
∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意，
当4,2a c ==时，423,4322b T +=
== ， 当4,6a c ==时，465,4562
b T +===，
当8,0a c ==时，804,8402b T +=
==， 当8,4a c ==时，846,8642b T +=
==， 当8,8a c ==时，888,8882
b T +===， 综上，T 为432或456或840或864或888．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．
27．①1，3；②0.6020；0.6990；③f （1.5），f （12）；f （1.5）=3a -b +c -1，f （12）=2-b -2c ．
【分析】
①根据定义可得：f （10b ）=b ，即可求得结论；
②根据运算性质：f （mn ）=f （m ）+f （n ），f （n m
）=f （n ）-f （m ）进行计算； ③通过9=32，27=33，可以判断f （3）是否正确，同样依据5=
102
，假设f （5）正确，可以求得f （2）的值，即可通过f （8），f （12）作出判断．
【详解】
解：①根据定义知：f （10b ）=b ，
∴f （10）=1，
f （103）=3．
故答案为：1，3． ②根据运算性质，得：f （4）=f （2×2）=f （2）+f （2）=2f （2）=0.3010×2=0.6020， f （5）=f （102
）=f （10）-f （2）=1-0.3010=0.6990． 故答案为：0.6020；0.6990．
③若f （3）≠2a -b ，则f （9）=2f （3）≠4a -2b ，
f （27）=3f （3）≠6a -3b ，
从而表中有三个对应的f （x ）是错误的，与题设矛盾，
∴f （3）=2a -b ；
若f （5）≠a +c ，则f （2）=1-f （5）≠1-a -c ，
∴f （8）=3f （2）≠3-3a -3c ，
f （6）=f （3）+f （2）≠1+a -b -c ，
表中也有三个对应的f （x ）是错误的，与题设矛盾，
∴f （5）=a +c ，
∴表中只有f （1.5）和f （12）的对应值是错误的，应改正为：
f （1.5）=f （32）=f （3）-f （2）=（2a -b ）-（1-a -c ）=3a -b +c -1，
f （12）=f （663
⨯）=2f （6）-f （3）=2（1+a -b -c ）-（2a -b ）=2-b -2c ． ∵9=32，27=33，
∴f （9）=2f （3）=2（2a -b ）=4a -2b ，f （27）=3f （3）=3（2a -b ）=6a -3b ．
【点睛】
本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．
28．（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
解：（1
1.41414.14≈141.4≈，……
0.1732 1.732≈17.32，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一；
（2 3.873 1.225≈12.25≈0.3873；
故答案为：12.25；0.3873；
（31=10=100=，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵
2.154≈0.2154≈-， ∴
0.2154≈， ∴
0.2154≈-，
∴y=-0.01．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
29．（1）111n n -+；1n n +；（2）①1341-；②112424+；（ 3 ）14
． 【分析】
（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；
（2）①先变形为111234=⨯，再利用（1）中的规律解题；②先变形为121224
=，再逆用分数的加法法则即可分解；
（3）按照定义“⊗”法则表示出193
⊗，再利用（1）中的规律解题即可．
【详解】
解：（1）观察发现：
()11n n =+111n n -+， 1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ ＝11111111223341
n n -+-+-+⋯+-+ ＝111n -
+ ＝1
n n +； 故答案是：111n n -+；1
n n +. （2）初步应用： ①111234=⨯=1134-； ②121112242424
==+； 故答案是：1134-；112424+. （ 3 ）由定义可知：
193⊗＝11111111112203042567290110132
++++++++ =455111111611311412-+-+-+⋯+- =132
11- =14
. 故193⊗的值为14
． 【点睛】
考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 30．(1) 111n n -+；(2)①20192020
；②1n n +；(3) 50101． 【分析】
（1）根据题目中的式子可以写出第n 个式子的结果；
（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）由题目中的式子可得，
111(1)1
n n n n =-++， 故答案为：111
n n -+； （2）①111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯ 1111111122334
20192020
-+-+-++-= 211200=- 20192020
=， 故答案为：
20192020； ②1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ 11111111223341
n n =-+-+-+⋯+-+ 111
n =-+ 1n n =+， 故答案为：
1n n +； （3）
111113355799101++++⨯⨯⨯⨯ 11111111123355799101⎛⎫=
⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭ 1112101⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭
11002101
=⨯ 50101
=． 【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．。