2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版

一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ．

〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；

〔2〕假设 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．

解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接

EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么

11

,22EQ OB RM MQ OC RF ====，

又OQMR 是平行四边形，因此

OQM ORM ∠=∠，

由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此

ABD ACD ∠=∠，

因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，

因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ∆≅∆， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ⋅=⋅．

〔2〕答案是否定的．

当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有

EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：

如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么

11

,22

NS OD EQ OB ==，

C

B

因此

NS OD

EQ OB

=．①又

11

,

22

ES OA MQ OC

==，因此

ES OA

MQ OC

=．②

而AD∥BC，因此

OA OD

OC OB

=，③

由①，②，③得NS ES EQ MQ

=．

因为2

NSE NSA ASE AOD AOE

∠=∠+∠=∠+∠，

()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB

∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠

(180)2

AOE EOB AOD AOE

=∠+︒-∠=∠+∠，

即NSE EQM

∠=∠，

因此NSE

∆～EQM

∆，

故

EN SE OA

EM QM OC

==〔由②〕．同理可得，

FN OA

FM OC

=，

因此EN FN EM FM

=，

从而EM FN EN FM

⋅=⋅．

C

B

二、求所有的素数对〔p ，q 〕，使得q p pq 55+．

解：假设pq |2，不妨设2=p ，那么q q 55|22+，故255|+q q ．

由Fermat 小定理， 55|-q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．

假设pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，那么q q 55|55+，故6255|1+-q q ． 当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1--q q ，故

626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，因此313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．

假设q p ,都不等于2和5，那么有1155|--+q p pq ，故

)(m od 05511p q p ≡+--． ①

由Fermat 小定理，得 )(m od 151p p ≡- ， ② 故由①，②得

)(m od 151p q -≡-． ③

设)12(21-=-r p k ，)12(21-=-s q l ， 其中s r l k ,,,为正整数． 假设l k ≤，那么由②，③易知

)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)

12(2

1)

12(2

p r r q s r s p s l

k

l k

l -≡-≡==≡=----------，

这与2≠p 矛盾！因此l k >．

同理有l k <，矛盾！即现在不存在合乎要求的),(q p ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为

)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．

三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，

{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．

解 先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．

事实上，设那个凸m 边形为m P P P 21，只考虑至少有一个锐角的情形，现在不妨设2

21π

<

∠P P P m ，那么

)13(2

122-≤≤>

∠-=∠m j P P P P P P m m j π

π，

更有)13(2

11-≤≤>

∠+-m j P P P j j j π

．

而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，假设凸m 边形中恰有两个内角是锐角，那么它们对应的顶点相邻． 在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边〔n r ≤≤1〕，如此的),(j i 在r 固定时恰有

12+n 对．

〔1〕 假设凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1-r 个

P 中的点，现在那个2-m 顶点的取法数为21--m r C ．

〔2〕 假设凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，

j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，因此，其余的2-m 个顶点全在劣

弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，现在那个2-m 顶点的取法数为2-m r C ．

因此，满足题设的凸m 边形的个数为

))()()(12()12()()12(1

1

1

1111112121122

1

∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪

⎭

⎫

⎝⎛++=++n

r n

r m r

m r m r m r n r m r n r m r n

r m r

m r C C C C n C C n C

C

n

))(12(1

11--+++=m n

m n C C n ．