分数的意义和性质,教材分析

《分数的意义和性质》教材分析本单元的主要内容有：分数的意义、真分数和假分数、分数的基本性质（约分、通分）、分数和小数的互化。

其中分数的意义和分数的基本性质是整个单元的重点，“分数的意义和性质”和后面“分数的加法和减法”是学生开始系统地学习分数的起始，在系统认识了小数和初步认识分数的基础上，引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分、分数与小数互化等技能；真分数与假分数是分数意义的引申；约分和通分则是分数基本性质的运用；分数与小数的互化，则是沟通了两者在形式上的相互联系，得出小数与分数的互化方法。

整个单元的内容，基本是由概念到性质，再到方法、技能这样的递进发展关系编排的。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别（一）分数大小比较，不再设置在第1节中单列一段，而是充分利用前面学习分数初步认识时打下的基础，把有关内容与通分结合在一起学习。

这样既简化了第1节的内容，也体现出通分的作用。

（二）增加了带分数的概念。

虽然《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定，分数运算中不含带分数，但考虑到把假分数化成带分数，容易看出这个假分数的大小在哪两个整数之间，以及便于比较两个分数的大小，从而有利于数感的形成。

因此，教材增加了带分数的认识。

（三）最大公约数、最小公倍数先给出概念和求法，再应用到解决问题中。

原来将解决问题与概念引入结合在一起，学生理解起来难度较大，所以，教材先给出最大公约数、最小公倍数的概念，突出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，加深对概念的理解。

二、教材例题分析（一）分数的意义本节由分数的产生、分数的意义、分数与除法三个层次的内容组成，帮助学生比较完整地建立起分数的概念。

1．分数的产生。

首先，从历史的角度、从现实生活中等分量的需要出发，呈现分数的现实来源，让学生了解分数产生的背景和过程。

使学生感受到在进行测量或分物时，往往不能刚好得到整数的结果，这时就需要用分数来表示，有了分数，这些结果就能准确地表示出来。

教材这样通过测量与分物的实例，引入分数的编排目的，就是为了使学生感悟到分数是适应现实需要而产生的，从而提高学习的积极性，促进对分数意义的理解，并受到历史唯物主义观点的教育。

2．分数的意义。

通过举例说明的含义，它可以是一个物体（如一张正方形纸、一张圆形纸、一条线段）的，也可以是一个整体（如一把4根的香蕉、一盘8个面包）的，引出分数概念的描述。

教学中，应注意结合实例理解、归纳分数的意义，并重点理解单位“1”和分数单位的含义。

3．分数与除法。

前面是从部分与整体的关系揭示分数的意义。

这里，分数表示两个整数相除的商揭示分数另一方面的意义，以加深和扩展对分数意义的理解，为学习假分数化为整数或带分数做好准备。

例1和例2都是把一个物体（如1个蛋糕、3个月饼）平均分成若干份，求每份是多少。

学生根据整数除法的含义，列出除法算式，容易理解为什么用除法算，但根据图示或分数的意义说出结果，将除法与分数联系起来，要相对困难些。

因此，教学中要结合操作和直观图示，帮助学生加深对计算结果的理解。

特别要提醒学生注意弄清谁是单位“1”，如例2，这里要求每人分得多少个，是看每人分得的月饼是1块月饼的几分之几，就是把1块月饼看作单位“1”。

学生容易出现这样的错误：把3个月饼平均分成4份，就是12小块，每人3小块，得到错误的结果，就是把12小块也就是3个月饼看作了单位“1”。

正确的是把1个月饼也就是4小块看作单位“1”，3小块是1个月饼的。

最后在两个实例的基础上概括出分数与除法的关系，并让学生用字母表示分数与除法的关系（强调分数的分母不能为0）。

例3教学“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题。

教材编排此例的目的主要有两个：一是让学生经历解决问题的过程；二是利用分数意义以及分数与除法关系，来解决实际问题，加深对分数意义的理解。

例如：在分析与解答环节，教材首先借助图示引导学生分析解答“把10只看作一个整体，平均分成10份，每份是1只，7只就是10只的”，所以鹅的只数是鸭的。

再根据分数与除法的关系，求7只是10只的几分之几，可以用除法计算。

所以算式是7÷10=。

最后，回顾求一个数是另一个数的几分之几（或几倍）这两个问题，沟通它们之间的联系：都是用除法解决。

显然，教材特别注重加强新旧知识的联系，从而帮助学生促进知识的迁移，不断完善认知结构。

（二）真分数和假分数本小节对分数进行分类，增加了带分数的认识。

通过学习真分数、假分数以及带分数，可以使学生比较全面地理解分数的概念，也有利于培养学生关于分数的数感。

例1、例2：真分数和假分数的认识，突出了单位“1”，并且将原教材的例2（假分数）和例3（带分数）整合在一起，很好地沟通了假分数和整数、带分数的关系，为后面例3把假分数化成整数或带分数作了铺垫。

两个例题的内容都是依次呈现直观涂色、比较辨析、归纳抽象这样一个编排过程。

特别是例2教学引出假分数概念后，接着由涂色的直观图对假分数进行分拆，引出带分数的概念。

同时加强了对化法的道理的理解，并明确：假分数的分子是分母的倍数，是整数；假分数的分子不是分母的倍数，是带分数。

例3：教学把假分数化成整数或带分数。

转化的方法是根据分数与除法的关系用除法计算。

利用图示结合分数的意义说明算理：如7/3，根据分数与除法的关系用7÷3计算。

结合图示和分数的意义，可以看出：3份是1个整圆，7÷3=2……1表示7份里面有2个3份余1份，2个3份是2个整圆也就是2，余1份就是，所以结果就是。

在理解算理的基础上，再引导学生小结假分数化成整数或带分数的一般方法及两种情况。

（三）分数的基本性质例1：探索分数的基本性质。

教材重点呈现了展开合情推理的全过程。

首先，借助动手操作和直观图示发现分数的相等关系，接下来进一步观察相等的分数中分子和分母的变化规律，引发猜想，再举例加以验证，最后概括总结出分数的基本性质。

整个过程渗透了不完全归纳的思想，培养学生合情推理的能力。

紧接着，教材提示学生根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，自主完成分数的基本性质的演绎推理过程。

两种推理相互印证，加深学生对分数基本性质的理解。

例2：把一个分数化成分母不同，大小不变的分数。

本例是分数基本性质的初步运用，目的在于帮助学生运用和掌握分数的基本性质。

同时为后面的约分和通分做好准备。

（四）约分先给出最大公因数、最小公倍数的概念和求法，再应用到解决问题中。

原来将解决问题与概念引入结合在一起，学生理解起来难度较大，所以，教材先给出最大公约数、最小公倍数的概念，突出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，帮助学生加深对概念的理解。

例1：最大公因数。

本例教学公因数和最大公因数的概念。

教材直接提出：“8和12公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？”并直接给予解答提示：“我先分别找出8和12的因数。

”引导学生分别找出8和12的因数；在小精灵的提示下，“还可以这样表示”，用集合圈直观呈现8、12各自的因数，从而引出公因数、最大公因数的概念。

例2：求最大公因数。

教材首先呈现了两种求最大公因数的方法。

一种是根据定义，即先找出18和27各自的因数，再从中找出两个数的公因数、最大公因数；另一种是先写出18（两数中较小数）的因数，再从中圈出27的因数，再看哪个最大。

教学中，学生可以有不同的方法。

并通过交流，逐步形成适合自己的方法。

最后，引导学生观察思考，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？以进一步揭示公因数与最大公因数的概念。

例3：公因数和最大公因数在实际生活中的应用。

教材选取铺地砖的相同情境，让学生在解决问题的应用中体会公因数和最大公因数的现实意义，加深对概念的理解。

教材通过创设用整块的正方形地砖铺满长方形地面的问题情境，应用公因数、最大公因数的概念求方砖的边长及其最大值。

首先，通过画图理解题意，特别是“整块”“正好铺满”的含义，也就是用正方形的地砖去铺，要用整数块完整的地砖正好铺满地面。

接下来，通过分析找出解决问题的方法。

结合实际情境，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，通过分析，学生发现这样的地砖的边长必须“既是16的因数，又是12的因数”，后面自然就是利用公因数和最大公因数的概念解决问题了。

最后利用画图验证的策略来检验。

例题的学习，重点是让学生体会解决这类问题的关键就是将实际问题转化为数学问题。

例4：约分。

约分依据的原理是分数的基本性质。

方法是找分子和分母的公因数。

教材在小精灵的提示、提问引领下，即“可以用分子和分母的公因数（1除外）去除”“每一步都是用分子、分母的哪一个公因数去除？”呈现可以逐步约，也可以直接找到最大公因数一步约的约分过程以及简便书写形式。

在经历约分的过程中，引出约分和最简分数的概念，并将最简分数作为约分的一般要求。

（五）通分例1：最小公倍数。

最小公倍数的编排与最大公因数的编排相似，在此不再展开叙述。

例2：求最小公倍数。

求最小公倍数的编排与求最大公因数的编排类似，在此也不再展开叙述。

例3：公倍数、最小公倍数在生活中的实际应用。

例3延续前面的素材，创设了用长方形墙砖铺正方形的实际问题情境，用公倍数、最小公倍数的知识求正方形的边长及其最小值。

同样先通过画图初步理解题意，感受铺出正方形的不确定性。

接下来，找出解决问题的方法。

也就是将实际问题转化为数学问题，即“正方形的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数”。

这样就可以利用公倍数和最小公倍数来解决了。

最后，利用画图验证的策略来检验。

这个例题的学习，重点是让学生体会解决这类问题的关键就是将实际问题转化为数学问题。

例4：同分母、同分子分数大小的比较。

教材呈现分两个层次展开。

首先，由现实问题“地球上陆地多还是海洋多？”引出同分母分数大小的比较。

其次，安排同分母或同分子分数的大小比较。

在此题解答的过程中，借助小精灵提出的问题“分母相同的两个分数怎样比较大小？分子相同的两个分数呢？”引导学生回忆与思考比较的方法和经验，并进一步结合分数的意义加深理解和巩固，最终概括总结出一般方法。

并由此引出异分母分数的大小比较。

例5：通分及异分母分数大小的比较。

在例4学习的基础上，自然引出比较异分母分数的大小。

同时，运用迁移类推的思想，引出通分的概念，并探索通分的一般方法。

（六）分数和小数的互化本小节是教学分数和小数的互化的方法，沟通小数和分数的联系，加深对分数、小数意义的理解。

例1：小数化分数。

本例教材是按如下思路编排的。

首先根据除法的意义列出除法算式，然后分别用小数和分数表示计算结果，第三，让学生思考：怎样能较快地把小数化成分数？联系小数的意义，直接给出小数化成分数的一般方法，最后通过“试一试”，小精灵问题“把小数化成分数需要注意什么？”的引领，再让学生自主概括与总结。