【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 8-1(2)直线的倾斜角与斜率、直线方程限时规范训练 理

05限时规X 特训
A 级 基础达标
1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( ) A ．(－12，3) B ．(1
2，3)
C ．(12，－3)
D ．(－1
2
，－3)
解析：原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点(－1
2
，－3)．
答案：D
2．[2014·滨州模拟]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，
c 应满足( )
A ．ab >0，bc <0
B ．ab >0，bc >0
C ．ab <0，bc >0
D ．ab <0，bc <0
解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b <0且－c b
>0，故ab >0，bc <0.
答案：A
3．[2014·某某一检]已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－2或－1
D ．－2或1
解析：当直线过(0,0)时，a ＝－2；当直线不过原点时，a ＝1，选D 项． 答案：D
4．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )
A ．[π6，π3)
B ．(π6，π
2)
C ．(π3，π2)
D ．[π6，π2
]
解析：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)， ∴k PA ＝
33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的X 围是(π6，π2
)． 答案：B
5．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值X 围是( ) A ．[－π6，π6] B ．[π6，5
6
π]
C ．[0，π6]∪[56π，π) D．[0，π6]∪[5
6
π，π]
解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈[－33，3
3]，设直线的倾斜角为θ，
则tan θ∈[－
33，33]，且θ∈[0，π)，所以θ∈[0，π6]∪[5
6
π，π)．故选C. 答案：C
6．已知函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)，当x <0时，f (x )>1，方程y ＝ax ＋1a
表示的直线
是( )
解析：∵f (x )＝a x
且x <0时，f (x )>1， ∴0<a <1，1
a
>1.
又∵y ＝ax ＋1a ，令x ＝0得y ＝1
a
，
令y ＝0得x ＝－1
a
2.
∵|－1a 2|>1a
，
故C 项图符合要求． 答案：C
7．[2014·某某模拟]已知点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．
解析：直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1，
又∵x 3＋y 4
≥2
xy
12
，即2
xy
12
≤1， 当x >0，y >0时，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝3
2
，y ＝2时取等号，
∴xy ≤3，则xy 的最大值是3. 答案：3
8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．
解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，
∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3. 答案： 3
9．[2014·金版]已知直线l 经过点(1
2，2)，其横截距与纵截距分别为a 、b (a 、b 均为
正数)，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值X 围为________．
解析：设方程x a ＋y b ＝1，过点(1
2
，2)，
∴12a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(12a ＋2b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，故c ≤9
2. 答案：(－∞，92
]
10．[2014·某某联考]已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．
解：解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，
x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．
①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－1
2
，
由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －5＝0.
②若点A ，B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，5
2)，
由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52
－2
4－1，
即x －6y ＋11＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.
11．[2014·某某某某]设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋
y ＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ＋1>0，
a －2≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ＋1＝0，
a －2≤0，∴a ≤－1.
综上可知a 的取值X 围是(－∞，－1]．
12．[2014·莱芜模拟]已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的取值X 围．
解：解法一：直线x ＋my ＋m ＝0恒过点A (0，－1)，
k AP ＝
－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝3
2
， 则－1m ≥32或－1
m ≤－2.
∴－23≤m ≤1
2
且m ≠0.
又m ＝0时，直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值X 围是[－23，12]．
解法二：过P 、Q 两点的直线方程为
y －1＝
2－1
2＋1
(x ＋1)， 即y ＝13x ＋4
3，代入x ＋my ＋m ＝0，整理
得x ＝－
7m m ＋3
， 由已知－1≤－
7m m ＋3≤2，解得－23≤m ≤12
. 即m 的取值X 围是[－23，1
2
]．
B 级 知能提升
1．设M ＝π2011
－2012π2012＋2011，N ＝π2013
－2012
π2014＋2011，则M 与N 的大小关系为( )
A ．M >N
B ．M ＝N
C ．M <N
D ．无法判断
解析：设A (－2011,2012)，B (π
2012
，π
2011
)，C (π
2014
，π
2013
)，则有M ＝π2011
－2012
π2012
－－2011
＝k AB ，N ＝π2013
－2012
π2014－－2011
＝k AC ，如图所示．
则直线AB 的倾斜角∠BDO 和直线AC 的倾斜角∠CEO 均为锐角，且∠BDO <∠CEO ，所以
k AB <k AC ，即M <N .
答案：C
2．[2014·某某模拟]已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，
PQ 中点为M (x 0，y 0)，且y 0>x 0＋2，则y 0
x 0
的取值X 围为________．
解析：易知PQ 的中点M 应在直线x ＋2y ＋1＝0上，即x 0＋2y 0＋1＝0，又y 0>x 0＋2，联
立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＋1＝0，y ＝x ＋2，得交点坐标(－53，13)，所以y 0x 0＝y 0－0x 0－0，从几何意义上看，y 0
x 0
表示点(x 0，
y 0)与(0,0)连线的斜率．结合线性规划知识可知y 0x 0的X 围为(－12，－1
5
)．
答案：(－12，－1
5
)
3．[2014·某某质检]若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值X 围是________．
解析：由题意，知|x －1|＝kx ，有且只有一个正实根，结合图形，可得k ＝0或k ≥1.
答案：k ＝0或k ≥1
4．如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB
分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
解：由题意可得k OA ＝tan45°＝1，
k OB ＝tan(180°－30°)＝－
33
， 所以射线OA 的方程为y ＝x (x ≥0)， 射线OB 的方程为y ＝－
3
3
x (x ≥0)． 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C (
m －3n 2
，
m ＋n
2
)，
由点C 在y ＝1
2
x 上，且A 、P 、B 三点共线得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3， 所以A (3，3)． 又P (1,0)， 所以k AB ＝k AP ＝
33－1
＝
3＋3
2
， 所以直线AB 的方程为y ＝3＋3
2(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。