2020版高考数学(理)大一轮核心素养提升练 三十五 7.3基本不等式 含解析

核心素养提升练三十五
基本不等式
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ( )
A.a+b≥2
B.+>
C.+≥2
D.a2+b2>2ab
【解析】选C.因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.
2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.[0,2]
B.[-2,0]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
【解析】选D.因为1=2x+2y≥2=2,
所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.
3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为
( )
A. B. C. D.2
【解析】选B.f(x)==x+,
因为x∈N*,所以x+≥2 =2,
当且仅当x=,即x=时取等号.
但x∈N*,故x=5或x=6时,f(x)取最小值,
当x=5时,f(x)=,当x=6时,f(x)=,
故f(x)在定义域上的最小值为.
4.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为-4
D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时,取等号.
5.若a≥0,b≥0,且a(a+2b)=4,则a+b的最小值为( )
A. B.4 C.2 D.2
【解析】选 C.因为a≥0,b≥0,所以a+2b≥0,又因为a(a+2b)=4,所以4=a(a+2b)≤
,当且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)2≥4,所以a+b≥2.
6.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选D.因为x>0,y>0,x+2y≥2,
所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,
所以4≤4xy-2,
即(-2)(+1)≥0,
所以≥2,所以xy≥2.
7.(2018·衡水模拟)若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为
( ) A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】选 C.由a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有
+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.设P(x,y)是函数y=(x>0)图象上的点,则x+y的最小值为________.
【解析】因为x>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,当且仅当x=y 时等号成立.
答案:2
9.已知x,y为正实数,则+的最小值为
【解析】因为x,y为正实数,则+=++1=++1,
令t=,则t>0,所以+=+t+1=+t++≥
2+=,当且仅当t=时取等号.
所以+的最小值为.
答案:
10.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为9平方米,且高度不低于米,记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y 米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰
长x=________.
【解析】设横断面的高为h,
由题意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,
所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,
所以y=BC+2x=+(2≤x<6),
从而y=+≥2 =6,
当且仅当=(2≤x<6),即x=2时等号成立.
答案:2
(20分钟40分)
1.(5分)当0<m<时,若+≥k2-2k恒成立,则实数k的取值范围为( )
A.[-2,0)∪(0,4]
B.[-4,0)∪(0,2]
C.[-4,2]
D.[-2,4]
【解析】选D.因为0<m<,所以×2m×(1-2m)≤×=,当且仅当
2m=1-2m,即m=时取等号,所以+=≥8,又+≥k2-2k恒成立,所以k2-2k-8≤0,所以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2,4].
2.(5分)(2018·石家庄模拟)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a取得最大值时a的值为( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.因为圆心到直线的距离d=,则直线被圆截得的弦长
L=2=2=2,所以4a2+b2=4,则t=a=
·(2a)·
≤××[(2a)2+()2]=·[8a 2
+1+2(4-4a 2)]=,当且仅当
时等号成立,此时a=.
3.(5分)(2019·邯郸模拟)设x>0,y>0,且
=
,则当x+取最小值
时,x 2+=________.
【解析】因为x>0,y>0,所以当x+取最小值时,取得最小值,因为
=x 2++,又=,所以x 2+=+,
所以=+≥2 =16,
所以x+≥4,当且仅当=,
即x=2y 时取等号,
所以当x+取最小值时,x=2y,x 2++=16,
所以x 2++=16,
所以x 2+=16-4=12.
答案:12
4.(12分)已知x,y ∈(0,+∞),x 2+y 2=x+y.
(1)求+的最小值.
(2)是否存在x,y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.
【解析】(1)因为+==≥=2,当且仅当x=y=1时,等号成立,
所以+的最小值为2.
(2)不存在.理由如下:
因为x2+y2≥2xy,
所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).
又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.
从而有(x+1)(y+1)≤≤4,
因此不存在x,y满足(x+1)(y+1)=5.
5.(13分)某厂家拟在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年
产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
【解析】(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k⇒k=2,所以x=3-,每件
产品的销售价格为1.5×(元),
所以2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0). (2)因为m≥0时,+(m+1)≥
2=8,
所以y≤-8+29=21,
当且仅当=m+1,即m=3(万元)时,y max=21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.。